5.2.3. Особливі крапки і лінії цільової функції

Нагадаємо, що необхідною умовою існування екстремуму функції багатьох перемінних є виконання системи рівнянь

dR/dU_j=0 , j=1,2,...,n (5.11)

Оскільки умова (5.11) необхідне, але ще недостатнє, можуть представитися випадки, коли при його виконанні в деякій крапці U_s екстремуму функції R(U) у ній не буде – так звані "сідлови" крапки (рис.5.6).

Іншим типом особливостей цільової функції є так називані "яри", при наявності яких уздовж визначених напрямків величина цільової функції змінюється дуже слабко. Як приклад можна привести рівняння еліпса, , коли а > в (рис.5.7):

Рис.5.6

У загальному випадку лінія "дна яру" може не збігатися по напряму Рис.5.7

зосями координат і, крім того, істотно

відрізняється від прямої, тобто можливі також "криволінійні яри" (рис.5.8).

Рис.5.8

5.2.4. Глобальний і локальний оптимуми

При відшуканні оптимуму цільової функції R(U) задачею, як правило, є визначення сукупності значень незалежних змінних U_j , що відповідає не якому-небудь екстремуму функції R(U) , а найбільшому чи найменшому значенню R(U_j) у припустимої області Vдоп . Якщо шукається, наприклад, мінімум, то рішення задачі оптимізації повинне задовольняти умові:

R(U_опт ) < R(U) (5.12)

причому U  V.

Умова(5.12) повинна виконуватися для будь-яких припустимих значень U.

Оптимум, для якого справедливо умова (5.12), звичайно називається гло-

бальним. Крім нього функція R(U) може

мати один чи трохи локальних

екстремумов (рис.5.9). У цьому випадку

складність задачі пошуку екстремума

для функції багатьох перемінних значно

збільшується.

Рис.5.9

5.3. Методи рішення задач оптимізації

Вибір методу рішення - один з найважливіших етапів оптимізації.

Можна виділити наступні групи методів:

- аналітичні методи;

- методи математичного програмування.

Розглянемо більш докладно групи цих методів і деякі з них.

Група аналітичних методів оптимізації поєднує аналітичний пошук екстремуму функції, метод множників Лагранжа, вариаційні методи і принцип максимуму.

Аналітичний пошук екстремуму функції, заданих без обмежень на незалежні перемінні, застосовується до задач, у яких оптимізуєма функція має аналітичне вираження, що диференцується у всьому діапазоні дослідження, а число перемінних невелике. Це один з найбільш простих методів.

Група методів математичного програмування включає динамичнє програмування, лінійне програмування і нелінійне програмування.

Динамічне програмування - ефективний метод рішення задач оптимізації багатостадійних процесів. Метод припускає розбивку аналізованого процесу на стадії (в часі чи в просторі)- наприклад, реактор у каскаді чи тарілка в колоні. Розгляд задачі починається з останньої стадії процесу й оптимальний режим

визначається постадійно.

Лінійне програмування - метод для рішення задач оптимізації з лінійними вираженнями для критерію оптимальності і лінійними обмеженнями на область зміни перемінних. Подібні задачі зважуються ітераційними способами. Ці методи використовуються при оптимальному плануванні виробництва при обмеженій кількості ресурсів, для транспортних задач і ін.

Методи нелінійного програмування- поєднують різні способи рішення оптимальних задач: градієнтні, безградієнтні і випадкового пошуку. Загальним для методів нелінійного програмування є те, що їх використовують при рішенні задач з нелінійними критеріями оптимальності. Усі методи нелінійного програмування - це чисельні методи пошукового типу. Суть їх - у визначенні набору незалежних перемінних, що дають найбільше збільшення оптимізуємої

функції. Дана група методів застосовується як для детерминованіх, так і стохастичних процесів.