5. 7. 1. Метод сканiрованiя

Алгоритм методу слідуючи й . Iнтервал пошуку [Umin, Umax] розбивається на N рівних дільниць, кожний з яких равен кроку пошуку h. Далі послідовно визначається R(U_j) значення цільової функції у всіх точках розбивки, включаючи граничні точки та запам’ятається максимальне чи мінімальне значення цільової функції (рис.5.23).

Екстремальне значення функції може бути знайдено з точністю до величини кроку пошуку. Основним достоїнством наданого методу є його простота та можливість знаходження глобального екстремуму. До недоліків треба віднести великий обсяг обчислювань, що необхідно виконати для знаходження екстремуму, особливо з високою точністю.

Рис. 5. 23

5. 7. 2. Метод локалiзації екстремума

Iнтервал пошуку [Umin, Umax] розбивається на 4 рівні частини та у точках розбивки та на кордонах інтервалу вираховуються значення цільової функції - у точках 0, 1, 2, 3 та 4 (рис. 5.24). Неважко помітити, що розбивка інтервалу на 4 - найбільш зручний варіант, так як на кожному наступному кроці необхідно обчислювати тільки 2 нових значення цільової функції. У наданому випадку Рис 5.24

у точках 5 та 6.

Локалiзація екстремуму продовжується до отих пор, доки не буде досягнута задана точність. Абсолютна помилка у знаходженні стану екстремуму визначається по формулі :

Δ=(U_max-U_min)*2^-(S-1)/2 (5.51)

де S- кількість обчислювань значень цільової функції завжди непарне число.

Так, наприклад, при S=21 відносна помилка у знаходженні стану екстремуму складе:

Δ=(U_max-U_min)*2^-10 ≈ 0.001

5. 7. 3. Метод "золотого перетину"

Результати пошуку можуть бути краще, якщо ділення iнтервала [Umin, Umax], у якому знаходиться екстремум, виробляти не на ціле число, а у певному ірраціональному відношенні.

(a / b) = (b / c) або a*c = b² (5.52)

В основі цього методу лежить закон геометричного відношення чи "золотого перетину". Нехай даний відтинок a, що поділений на дві нерівні частиниbтаcтак, що виконується. Відповідно до цього закону визначаються точки досліджуваного інтервалу, у яких необхідно виробляти обчислення цільової функції.

Оскільки c = a – b, отой підставив вираз длясв (5.52) та запровадивши нову переміннуk = b / a, після перетворень одержимо:

K² + K – 1 = 0(5.53)

Вирішив (5.53), одержимо близьке значення K ~ 0. 62.

Порядок пошуку екстремуму методом "золотого перетину" наступний . На досліджуваним iнтервалі визначаються дві точки Umin та Umах:

U₁=U_min+(1-K).a

U₂=U_min+K.a(5.54)

де а - довжина інтервалу Umin – Umax.

У точках U₁ іU₂ розраховується цільова функція. За знайденим значеннямR(U₁і U₂)з облікомR(U_min і U_max)визначається подінтервал, у якому локалізований екстремум. У даному випадку це [U_min,U₂] (рис. 5.25).

Далі усередині великого подінтервалу [U_min,U₁] знаходиться крапка, що відстоїть від загального кінця подінтервалу на відстані

(1–К)Wb= K² .b,

де b- довжина подінтервалу [U_min,U₂], у якому локалізований екстремум, причомуb = K.a. Тоді:

U3=Umin+K2.b =Umin+K2.(K.a)=Umin+K3.a

(5.55)

Неважко показати, що в інтервалі [U_min,U₂] також дотримується"золотий перетин". Далі обчислюється значення цільової функціїR(U₃)і порівнюються значенняR(U₂), R(U₁), R(U₃). Знаходиться мінімальне значення (у даному випадкуR(U₃)) і процедура продовжується - визначається аналогічно крапкаR(U₄)і т.д., поки не буде знайдений екстремум із заданою точністю. Абсолютна помилка у визначенні положення екстремуму післяSобчислень складе

(5.56)

При S=21 відносна помилка : Δ/(U_max-U_min)= 0,5*0.62¹⁸ ≈ 0.9*10^-4Отже, точність розрахунку по методу "золотого перетину" практично на порядок перевершує точність розрахунку по методу локалізації екстремуму при тому самому кількості обчислень.

Розглянемо тепер деякі з методів багатомірного пошуку.