Тема 2. Логические основы построения элементов Лекция 2.

В электронных вычислительных машинах ( ЭВМ) вся информация представлена на языке, содержащем всего два символа алфавита – 0 и 1. Элементы, выполняющие простейшие операции над такими символами, называются логическими. На основе логических элементов строятся узлы ЭВМ, предназначенные для выполнения всего многообразия более сложных операций, выполняемых ЭВМ.

Теоретической базой для построения узлов ЭВМ является алгебра логики, разработанная английским математиком Джорджем Булем и обычно называемая булевой алгеброй. Для реализации какой-либо функции в виде узла ЭВМ на основе законов булевой алгебры разрабатывается логическое уравнение для этой функции, в соответствии с которым выбираются и соединяются между собой логические элементы.

2.1. Основные понятия, определения и законы Булевой алгебры

Булева алгебра состоит из следующих элементов:

1. числа,

2. переменные,

3. операции,

4. выражения,

5. функции,

6. законы.

Рассмотрим каждый из представленных элементов:

1. Числа – два числа: логический ноль (лог. «0») и логическая единица (лог. «1») в Булевой алгебре отождествляются с понятиями «истина» и «ложь»;

2. Переменные – булевы (логические, двоичные) переменные называются переменными, принимающими значения из множества ноль и единица {0;1};

3. Операции – простейшие логические функции Булевой алгебры, в состав которых входят:

1. Отрицание (инверсия):

Только операция отрицания является унарной (операция с одной переменной). К примеру: операция означает отрицание переменной, т.е., прии наоборот – при. Отрицание может быть применено и к выражению –, т.к. выражениеможно представить в виде функции, то инверсия функциибудет иметь следующий вид.

Операция отрицания (НЕ) f=читается, как f есть (эквивалентна)НЕ . Элемент, реализующий функциюНЕ, называется элементом НЕ (инвертором).

2. Конъюнкция (логическое умножение):

Операции конъюнкции и дизъюнкции выполняются над, как минимум, двумя переменными или одной переменной и константой.

Для написания операции конъюнкции применяются следующие символы (знакооперации): , а так же, как и при записи арифметического умножения, допускается опускание символа операции умножения. К примеру, записи:,,иозначают операцию конъюнкции над переменнымии.

Операция конъюнкции (логического умножения) записывается в виде f=X₁·X₂. Функция конъюнкции читается так: f есть (эквивалентна) Х₁ и Х₂, поскольку функция истинна тогда, когда истинны 1-й и 2-й аргументы (переменные). Конъюнкцию называют функцией И, а элемент, реализующий эту функцию, элементом И.

В общем случае функцию логического умножения от n переменных записывают так:

Количество переменных (аргументов), участвующих в одной конъюнкции, соответствует количеству входов элемента И.

3. Дизъюнкция (логическое сложение):

Для написания операции дизъюнкции применяются следующие символы: . К примеру, записи: иозначают операцию дизъюнкции над переменнымии.

Дизъюнкция (логическое сложение) записывается в виде

f=X₁ + X₂, и читается так: f есть Х₁ или Х₂, поскольку функция истинна, когда истинна одна или другая переменная (хотя бы одна). Поэтому функцию дизъюнкции часто называют функцией ИЛИ.

В общем случае функцию логического сложения от n переменных записывают так:

3.4. Исключающее ИЛИ ( сложение по модулю 2)

Для написания операции исключающего ИЛИ используют знак .

Операция исключающего ИЛИ записывается как f=X1X2 , и читается как f есть исключающее ИЛИ от X1 и X2, или f равно сумме по модулю 2 X1 и X2.

4. Выражения – переменные и знакооперации, соединенные вместе при возможном наличии скобок для задания порядка выполнения операций. Приоритет задается порядком операции. У операции конъюнкции порядок выше, чем у операции дизъюнкции.

5. Функции – Булевой (логической) функцией называется такая функция, аргументами которой являются булевы переменные, и сама функция принимает значение из множества {0;1}.

Областью определения Булевой функции является совокупность 2^m двоичных наборов ее аргументов. Набор аргументов можно рассматривать как m-компонентный двоичный вектор.