3.10. Матричные умножители

Микросхемы множительных устройств появились в 80-х годах 20 столетия, когда достигнутый уровень интеграции позволил разместить в одном кристалле достаточно большое количество логических элементов.

Структура матричных умножителей тесно связана со структурой математических выражений, описывающих операцию умножения.

Пусть имеются два целых двоичных числа без знаков A_m=a_m-1…a₀ и B_n=b_n-1…b₀. Их перемножение выполняется по известной схеме «умножения столбиком». Если числа четырехразрядные, т.е. m=n=4, то

Произведение выражается числом P_m+n-1=p_m+n-1 p_m+n-2… p₀. Члены a_ib_j, где i=0… (m-1) и j=0… (n-1) вырабатываются параллельно во времени конъюнкторами. Их сложение в столбцах, которое можно выполнять разными способами, составляет основную операцию для умножителя и определяет почти целиком время перемножения.

Матричные перемножители могут быть просто множительными блоками (МБ) или множительно-суммирующими (МСБ), при этом последние обеспечивают удобство наращивания размерности умножителя.

МСБ реализуют операцию P=A_m×B_n+ C_m×D_n, т.е. добавляют к произведению два слагаемых: одно разрядности m, совпадающего с разрядностью множимого, другое разрядности n, совпадающей с разрядностью множителя.

Рис.3.27 Схема множительно-суммирующего блока для четырёхразрядных сомножителей (а), обозначение одноразрядного сумматора для данной схемы

Множительно-суммирующий блок для четырехразрядных операндов без набора конъюнкторов, вырабатывающих члены вида a_ib_j, показан на

рис. 3.27,а, где для одноразрядного сумматора принято обозначение

(рис. 3.27,б).

Максимальная длительность умножения – сумма задержек сигналов в конъюнкторах для выработки членов a_ib_j и задержки в наиболее длинной цепочке передачи сигнала в матрице одноразрядных сумматоров, равной 2n-1 (m+n-1 в общем случае). Таким образом, t_МСБ=t_K+(2n-1)t_SM.

Построение умножителей большей размерности из умножителей меньшей размерности на основе МСБ предполагает нахождение частичных произведений и дальнейшее их сложение с учётом взаимного положения (сдвига одного относительно другого).

3.11 Постановка и методы решения задач синтеза комбинационных узлов

3.11.1 Синтез комбинационных узлов

В задачу синтеза любых цифровых схем, в том числе и комбинационных, входит построение принципиальной схемы устройства, реализующего заданные условия его работы с учетом заданного базиса элементов. Задание комбинационного узла сводится к заданию тех функций, которые он должен реализовать. Число функций определяется только числом выходов разрабатываемого комбинационного узла.

Процесс синтеза КУ состоит из 2-х этапов:  

1. Абстрактный синтез, который включает:

• формирование задачи, словесное описание функций устройства, определение типа устройства;

• описание устройства на формализованных языках: таблица истинности, карта Карно, аналитическое выражение и т.д.;

• минимизация булевых функций;

• построение логической схемы устройства.

2. Схемный синтез, в процессе которого осуществляется:

• переход в требуемый базис;

• построение принципиальной схемы;  

• разработка монтажной схемы;  

• изготовление устройства и его испытания.  

По завершении испытаний и анализа их результатов может потребоваться корректировка схемы. Завершается синтез подготовкой технической документации.

В практике проектирования ЭВМ накоплен огромный опыт по синтезу различных схем. Общая постановка задачи структурного синтеза комбинационных схем (КС) заключается в построении оптимального проектируемого устройства, моделирующего закон функционирования цифрового устройства без памяти, представленного одной булевой функцией или системой булевых функций.

Существует множество способов задания законов функционирования цифровых устройств комбинационного типа, но чаще всего для этого пользуются таблицами функционирования (таблицами истинности), задающими значения искомых функций на всех наборах входных аргументов. От таблицы истинности легко перейти к искомой функции в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ). Для этого составляется логическая сумма тех наборов аргументов, на которых функция принимает единичное значение. Например, для подлежащей воспроизведению функции четырех аргументов, заданной в табл. 3.11, получим:

Таблица 3.11 Таблица истинности функции четырёх переменных

x1	x2	x3	x4	F	x1	x2	x3	x4	F
0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 0 0 0 1 0 1

Дальнейшие действия зависят от средств реализации функций, к которым в современной схемотехнике относятся:

• логические блоки, собираемые из логических элементов некоторого базиса;

• универсальные логические блоки на основе мультиплексоров;

• логические блоки табличного типа;

• логические блоки в виде последовательности матриц элементов И и ИЛИ.

Синтез КС на логических блоках является самым традиционным и изученным. В этом случае абстрактный синтез КС содержит следующие этапы:

• минимизация логических функций;

• переход к заданному логическому базису.

Минимизация – это такое преобразование логических функций, которое упрощает их в смысле заданного критерия. Исторически первым критерием было стремление минимизировать число логических элементов в схеме (элементы были наиболее дорогими компонентами), что приводит к критерию сложности схемы в виде числа букв в реализуемых выражениях. Для минимизации по этому критерию разработано несколько методов, в их числе как аналитические, основанные на преобразованиях математических выражений, так и графические, основанные на применении специальных карт (карты Карно, диаграммы Вейча), удобных в использовании, если число аргументов функции не превышает 6.

Переход к заданному логическому базису от исходных выражений, которые получают в булевом базисе И, ИЛИ, НЕ, основан на применении закона двойственности (дуальности, теоремы де-Моргана).

К примеру, для перехода к базису И-НЕ функции необходимо выполнить следующее преобразования:. Как видим, в исходном представлении функции присутствовали как конъюнкциии, так и их дизъюнкция. В преобразованном выражении присутствуют только конъюнкции с инверсиями. Это означает, что для реализации не преобразованной функции потребуются 2 логических элемента «И» и 1 «ИЛИ», а для преобразованной – 3 ЛЭ «И-НЕ».

Различные методы выполнения абстрактного синтеза КС на базе логических блоков и на основе мультиплексоров были использованы ранее в этом разделе при рассмотрении наиболее распространённых комбинационных узлов, выпускаемых в виде микросхем – шифраторов, компараторов, мультиплексоров и т.д.

Для синтеза КС на основе логических блоков табличного типа обязательно необходимо чтобы функция была представлена в СДНФ. Дело в том, что табличный блок представляет собою память, в которой имеется столько ячеек, сколько необходимо для хранения всех значений функций, т.е. 2^m, где m – число аргументов функций. При этом, набор аргументов является адресом той ячейки, в которой хранится значение функции на данной наборе (0 или 1). СДНФ как раз и содержит все адреса, по которым нужно хранить единичные значения функции. Если функция выражена в какой-либо сокращенной форме, то следует перевести ее в СДНФ. Для этого конъюнктивные члены, не содержащие переменной , умножаются на равную единице дизъюнкцию . К примеру, функция видапосле умножениянаи, анапримет вид:

или, опустив знак конъюнкции - .

Блок памяти для воспроизведения функции m переменных имеет вид, представленный на рис. 3.28.а. Если требуется воспроизвести n функций, то в каждой ячейке нужно будет хранить бит (по одному биту для каждой функции), и блок памяти должен быть организован так, как показано на рис. 3.28.б.

Если размерность блоков табличного типа такова, что не позволяет получить искомую функцию с помощью одного блока, т.е. число входов блока памяти меньше числа аргументов функции, то появляется необходимость решения сложной задачи выражения искомой функции через подфункции с меньшим числом аргументов.

Рис. 3.28 Блоки памяти для воспроизведения одной (а) и нескольких (б) логических функций

В случае реализации проекта на логических блоках в виде последовательно включенных матриц элементов И и ИЛИ либо их эквивалентов в другом базисе, то исходную СДНФ можно минимизировать, если, конечно возникает такая необходимость. Логические блоки с матрицами И и ИЛИ воспроизводят системы переключательных функций и имеют параметры: число входов, выходов и термов. Число входов (аргументов воспроизводимых функций) и число выходов (самих функций) от формы выражения функций не зависят и предопределены заданием. Число термов (имеются в виду конъюнктивные термы) зависит от формы представления функций системы. Если число термов при данной форме представления функции превышает возможности логического блока, то возникает вопрос о минимизации функции. Целью минимизации будет сокращение числа конъюнктивных термов в данной системе функций, т.е. поиск кратчайших дизъюнктивных форм. Практически это сводится к поиску минимальных дизъюнктивных нормальных форм (МДНФ) и отбору среди них вариантов с достаточно малым числом термов. Как только находится форма с достаточно малым числом термов, поиск других форм можно прекратить, т.к. дальнейшее уменьшение числа термов системы эффекта не даст: сложность аппаратных средств воспроизведения системы не уменьшится. Разумеется, речь идет о реализации на уже выбранных средствах, а не о том, что могут быть применены иные логические блоки – того же типа, но иной размерности.