Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

130

РОЗДІЛ 7

КІНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА.

НАЙПРОСТІШІ ВИДИ РУХУ

§7.1. Поступальний рух твердого тіла

Взадачах кінематики твердого тіла визначають як кінематичні параметри тіла в цілому, так і кінематичні параметри окремих його точок.

Найпростішими видами руху твердого тіла є поступальний і обертальний рухи.

Розглянемо спочатку поступальний рух.

Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому довільна пряма, що проведена в цьому тілі, під час руху залишається завжди паралельною самій собі.

Прикладами поступального руху твердого тіла може бути: рух шарнірного паралелограма O1 A BO2 (рис. 2.5, а), який здійснює коловий поступальний рух; поступальний рух штанги кулачкового механізму

(рис. 2.5, б), що здійснює зворотно-поступальний рух; рух педалі велосипеда відносно рами, поршня двигуна відносно циліндра, рух кузова автомобіля при прямолінійному русі і т.п.

Таким чином, траєкторією руху точок тіла при поступальному русі можуть бути як пряма лінія, так і будь-які криві. Термін “поступальний рух” стосується тільки тіла, а не точки.

При поступальному русі тіла всі його точки описують одинакові траєкторії і мають в кожну дану мить часу однакові за модулем і паралельно напрямлені швидкості та прискорення”.

132

Оскільки rAB = const, друга складова правої частини цього виразу буде дорівнювати нулю:

і остаточно маємо:

d rB d rA , dt dt

а це є швидкості точок А і В:

133

Таким чином, швидкості точок А і В тіла, що рухається поступально,

рівні за величиною і мають однаковий напрямок, оскільки вони розташовані на дотичних до однакових траєкторій руху і спрямовані в один і той же бік.

Визначимо прискорення точок А і В. Після другого диференціювання за часом виразу (2.31) маємо:

Таким чином, поступальний рух тіла цілком визначається рухом будь-якої однієї його точки.

Остаточно можна зробити висновок, що визначення поступального руху твердого тіла зводиться до визначення руху тільки однієї його точки,

оскільки всі інші точки тіла рухаються ідентично. Внаслідок цього більшість задач з кінематики поступального руху тіла вирішується методами кінематики матеріальної точки.

134

§ 7.2. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

Закон обертального руху

Обертальним рухом твердого тіла називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній прямій, яка називається віссю обертання.

Вісь обертання може знаходитись, як всередині самого тіла, так і бути зовні його.

Для здійснення обертального руху твердого тіла, необхідно закріпити нерухомо будь-які дві його точки, наприклад, у підшипниках,

тоді пряма, яка проходить крізь ці точки і буде віссю обертання.

Розглянемо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі z

(рис. 2.7). Проведемо через вісь обертання z дві півплощини, одна з яких

1 є нерухомою, а друга півплощина 2 незмінно поєднана з тілом і обертається разом з ним. Тоді положення тіла у будь-який момент часу t

однозначно визначає кут між півплощинами 1 і 2 , який називається кутом повороту тіла .

Рис. 2.7

135

Вираз (2.34) називається законом обертального руху тіла або

кінематичним рівнянням обертального руху.

проти руху годинникової стрілки. І навпаки, рахується від'ємним ( <0),

коли цей напрямок обертання - за годинниковою стрілкою.

Кут повороту тіла вимірюється у радіанах або обертах.

Так як один оберт складає 2π рад, тому зв'язок між кутом повороту, що вимірюється у радіанах, і кутом повороту N, що вимірюється в обертах, буде таким:

2 N ,

де N - кількість обертів тіла.

§ 7.3. Кутова швидкість і кутове прискорення тіла, що обертається

Кутова швидкість ω і кутове прискорення ε тіла, як і його кут повороту , являються кінематичними характеристиками його

обертального руху.

Визначимо ці кінематичні характеристики.

136

Таким чином, кутова швидкість тіла у будь-який момент часу

дорівнює першій похідній від кута повороту за часом.

Знак кутової швидкості ω визначає напрямок обертання тіла і

137

Таким чином, кутове прискорення тіла у будь-який момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другій похідній від кута повороту за часом.

Також зауважимо, що обертання тіла навколо осі буде прискореним,

якщо знаки перед кутовою швидкістю ω і кутовим прискоренням ε будуть однаковими, і навпаки – сповільненим, якщо знаки перед вказаними величинами будуть різними.

138

§ 7.4. Деякі випадки обертання тіла

навколо нерухомої осі

Розглянемо деякі випадки обертального руху в залежності від кінематичних характеристик тіла при обертанні навколо нерухомої осі.

2. Рівнозмінний обертальний рух

У такому випадку обертання кутове прискорення тіла const ,

тобто його кутова швидкість за рівні проміжки часу змінюється на одну

139

і ту ж величину.

Як і в попередньому випадку, знайдемо кут повороту тіла , взявши визначені інтеграли від лівої і правої частин виразу (2.41) у верхніх та