Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный торгово-экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

.pdf
Скачиваний:
123
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
7.12 Mб
Скачать
☆

219

де

 

d

 

d

 

 

 

2

 

 

dt

 

dt

2

 

 

 

 

 

– кутове прискорення обертання тіла,

I

z

const

 

 

–

осьовий момент інерції маси тіла, – кутова швидкість, - кут повороту тіла, mz Pke - сума моментів усіх зовнішніх рушійних сил, що діють на тіло при його обертанні відносно осі z .

Тобто, добуток осьового моменту інерції маси тіла відносно осі обертання на кутове прискорення дорівнює алгебраїчній сумі моментів

усіх зовнішніх сил відносно цієї ж осі.

При вивченні обертального руху тіла за додатний приймають напрямок обертання. Тоді моменти рушійних сил, які рухають і спрямовані в напрямку обертання, мають завжди додатні значення, а моменти сил

опору, які спрямовані протилежно напряму обертання – від’ємні.

 

 

e

0

, то 0

– обертальний рух прискорений.

Якщо mz Pk

 

 

 

 

 

 

 

 

e

0

, то 0

– обертальний рух сповільнений.

 

 

Якщо mz Pk

 

 

 

 

 

 

Якщо mz Pke 0 , то 0

– обертання рівномірне (

const

).

Рис. 3.10

220

Приклад

 

 

 

 

 

Колесо масою

M

і радіусом R

обертається

навколо осі

кутовою швидкістю

0

. Визначити час гальмування t

і кут повороту

 

 

 

1

 

зупинки, якщо сила тиску, яка прикладена до колодки, дорівнює коефіцієнт тертя ковзання дорівнює f (рис. 3.11).

M

– маса колеса (розподілена по ободу);

0

– початкова кутова швидкість;

T – сила, яка притискує гальмівну колодку до колеса;

f

– коефіцієнт тертя ковзання;

R

– радіус колеса;

1

0 – кінцева кутова швидкість.

Рис. 3.11

Oz

з

1

до

T

,

а

Розв'язання

Диференціальне рівняння обертального руху колеса:

I

 

d

F

R f

oz

 

 

dt

тр

 

 

 

 

 

T

R

;

d fTR . dt Ioz

Після розділення змінних і інтегрування маємо:

221

 

fTR

t c1 ;

при

t 0 : 0 c1 0 ; 0

fTR

t

I

 

I

 

 

oz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При зупинці колеса 0

і із виразу (а) маємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

fTR t

t

0 Ioz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

fTR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ioz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначимо кут повороту колеса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fTR

 

 

 

 

 

fTR

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

0

 

t

 

dt 0t

 

 

t

2

c2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ioz

 

 

 

 

2Ioz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При t 0 :

0 ,

тоді

c2 0 і остаточно:

 

 

 

 

 

 

 

 

(а)

(б)

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

t

 

fTRt

 

fTRt

.

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0 1

 

2I

 

 

2I

 

 

 

 

 

 

 

oz

 

oz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислимо за умовою момент інерції колеса

Ioz

:

(в)

2

.

Ioz MR

Підставимо його значення в рівняння (б) і (в) і отримаємо відповідь:

t

1

 

 

 

M 0 R fT

,

 

1

 

 

 

fTt2 1

2MR

.

3. Диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла

Відомо, що плоский або плоскопаралельний рух твердого тіла можна уявити, як суму двох найпростіших рухів: поступального разом з полюсом і обертального відносно полюса. Якщо обрати за полюс центр мас тіла -

точку С, то поступальна частина руху буде визначатись рівнянням:

mac

 

 

 

Pke .

(3.37)

222

Обертальний рух відносно полюса визначається рівнянням:

I zc

d 2

mz

Pke .

(3.38)

dt 2

 

 

 

 

У координатній формі диференціальні набувають вигляду:

M

x

 

 

 

P

 

,

 

 

c

 

 

kx

 

M

y

 

 

P

 

,

 

 

 

 

c

 

 

ky

 

 

 

 

 

 

m

P

I

zc

 

 

 

 

e

 

 

z

 

k

рівняння плоского руху тіла

(3.39)

.

Приклад

Суцільний однорідний круглий циліндр радіуса R скочується з

похилої площини без ковзання. Визначити величину прискорення центра циліндра ac і силу F , яка утримує циліндр від ковзання (рис. 3.12).

M – маса циліндра,

G m g – вага циліндра,

R

– радіус циліндра,

 

– кутове прискорення циліндра.

Рис. 3.12

Розв'язання

Диференціальні рівняння плоского руху:

M a

c

G sin F,

 

 

 

 

I zc F R,

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

– підставимо в рівняння (б):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

a

c

F R,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zc

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

звідки F

I

zc

a

c

. Тоді рівняння (а) буде мати вигляд:

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M a

 

 

Mg sin

 

I

zc

a

c

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MR

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I zc

 

 

 

 

 

 

 

 

;

Mac

Mg sin

 

 

c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Після скорочення на М маємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 a

 

 

g sin

; a

 

 

2

g sin ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

a

 

 

 

 

 

 

MR

2

a

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

F

zc

c

 

 

 

c

 

Mg sin

G sin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

2R

2

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

a

 

 

2

g sin ;

F

1

G sin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запитання для самоконтролю

223

(a) (б)

1.Чому динаміка поступального руху тіла може бути зведена до динаміки точки?

224

2.Напишіть формулу і сформулюйте словами вираз диференціального рівняння обертального руху тіла відносно осі.

3.В яких випадках дії сил обертальний рух тіла буде рівномірним,

прискореним чи сповільненим?

4.Скільки диференціальних рівнянь визначають динаміку плоского руху твердого тіла і який вигляд вони мають?

5.Що таке центр мас і як визначаються його координати?

6.Які властивості внутрішніх сил ви знаєте?

7.Запишіть диференціальне рівняння руху механічної системи в векторній і координатній формах.

8.Напишіть алгебраїчний вираз і сформулюйте теорему про рух центра мас механічної системи.

9.Чи можуть внутрішні сили змінити положення центра мас?

10.Які моменти інерції маси тіла Вам відомі?

11.В яких одиницях вимірюється момент інерції тіла і що він характеризує?

12.Що таке радіус інерції тіла?

13.Як визначити момент інерції тіла відносно паралельних осей?

14.Як обчислити моменти інерції стержня, суцільного і трубчастого циліндра, кулі, конуса?

15.Що таке відцентрові моменти інерції тіла і як вони характеризують розподіл маси тіла?

16.Як визначити момент інерції тіла відносно довільної осі?

17.Які осі в тілі є головними, центральними осями?

225

РОЗДІЛ 12

РОБОТА І ПОТУЖНІСТЬ СИЛИ

§ 12.1. Елементарна робота сили

Для характеристики дії сили на матеріальну точку або тіло при деякому його переміщенні, застосовується поняття роботи сили. При цьому робота характеризує ту дію сили, якою визначається зміна модуля швидкості руху точки.

Робота сили на нескінченно малому переміщенні її точки прикладення називається елементарною роботою сили

де dr

дотична

 

dA P dr ,

 

 

 

 

 

dA P dr cos P , dr

ds

– елементарне переміщення точки

до траєкторії руху точки М (рис. 3.13).

 

(3.40)

,

М вздовж траєкторії, –

dA

P ds

cos P,v

,

(3.41)

Рис. 3.13

226

 

 

P cos P, v

dA P

ds

 

 

P

.

,

(3.42)

Згідно (3.41) елементарна робота сили дорівнює добутку сили на елементарне переміщення точки прикладення сили вздовж траєкторії і на косинус кута між силою і напрямком руху (напрямком швидкості).

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо

 

 

, v 900 ; – робота додатна,

P

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо

P, v 0

0

;

 

dA P ds – робота має максимум,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо

P, v 90

0

;

– робота від’ємна,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо

P, v 90

0

;

dA 0 – робота дорівнює нулю.

 

Елементарна робота сили на переміщенні, яке перпендикулярне до

напрямку руху точки, дорівнює нулю.

 

 

 

Елементарну роботу сили

dA P dr

можна виразити в аналітичній

формі. Для цього уявимо силу P

 

 

через їх проекції на осі

і переміщення dr

координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r i x jy kz,

dr i dx

P

i

Px jPy kPz ,

і підставимо у вираз роботи (3.40):

dA i P

jP

kP i dx jdy kdz

x

y

z

звідки остаточно маємо:

dA Px dx Py dy Pz dz.

jdy kdz,

,

(3.43)

Таким чином, елементарна робота сили дорівнює сумі добутків проекцій сили на варіації відповідних координат точки прикладення сили.

227

§ 12.2. Робота сили на кінцевому переміщенні

Припустимо, що точка М перемістилась з положення М1 до положення М2 (рис. 3.14). Тоді робота сили P на цьому переміщенні дорівнює інтегралу від елементарної роботи, взятому вздовж цього переміщення

M 2

 

A dA .

(3.44)

M1

 

Рис. 3.14

В залежності від того, в якій формі записана елементарна робота,

маємо різні формули роботи сили на кінцевому переміщенні.

A

A

A

M 2

 

 

 

P cos

 

, v ds ,

P

M1

 

 

 

M

 

 

 

2

 

 

 

P ds ,

M

 

 

 

1

 

 

 

M 2 Px dx Py dy Pz dz .

(3.45)

(3.46)

(3.47)

M1

228

Якщо вектор сили є сталою величиною

P const

P P cos P, v const і тоді

A

 

 

 

 

 

 

P

,

v

.

S P S cos P

 

(рис. 3.15), то

Рис. 3.15

Робота сталої сили на прямолінійному переміщенні її точки прикладення дорівнює добутку модуля сили на величину переміщення і на косинус кута між вектором сили і напрямком руху (швидкістю).

Розмірність роботи в системі СІ: А 1H 1м 1Дж ,

§ 12.3. Графічний спосіб обчислення роботи

Робота сили може бути обчислена аналітично за допомогою формули

(3.47) або графічно на підставі формули (3.46).

Для графічного обчислення роботи використовують графік зміни

сили в функції переміщення, наприклад,

P

f

S

(рис. 3.16).

 

 

Вздовж осі абсцис цього графіка відкладають у деякому масштабі

значення дугової координати S , а вздовж осі ординат відповідні значення

проекції сили на дотичну P :

P f (S) ;

dA P dS' ,

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности