Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

110

Рівняння (2.2) називають кінематичними рівняннями руху

матеріальної точки у координатній формі.

Рівняння (2.2) фактично є рівняннями траєкторії руху матеріальної точки у параметричній формі, в яких роль параметра відіграє час t . Для знаходження траєкторії руху у звичайній формі необхідно виключити з рівнянь руху час t, тобто здобути залежність між самими координатами. Це можна зробити декількома способами. Наприклад, підстановкою або піднесенням обох частин рівнянь до квадрату та почленним додаванням

(якщо рівняння містять тригонометричні функції).

Слід зауважити, що у випадку руху матеріальної точки в одній

У випадку прямолінійного руху матеріальної точки досить вибрати

3. Натуральний спосіб

Якщо розглянути безпосередньо траєкторію точки M (рис. 2.1), то її відстань S по дузі траєкторії від деякого центра 0 (нуль), що має назву дугової координати, змінюється в часі, тобто є деякою функцією часу t :

(2.5)

111

При умові, що ця функція відома, говорять, що закон руху матеріальної точки заданий натуральним способом.

Співвідношення (2.5) називається кінематичним рівнянням руху матеріальної точки у натуральній формі (або законом зміни криволінійної координати). Це фактично відстань рухомої точки M від початку відліку вздовж траєкторії руху.

§ 6.3. Взаємозв’язок між способами завдання руху

матеріальної точки

Для переходу від одного способу завдання руху матеріальної точки до іншого необхідно знайти залежності між основними параметрами цих рухів.

координатам точки М, то взаємозв'язок між векторною і координатною формами завдання закону руху має наступний вираз:

або координати рухомої точки M .

Існує також взаємозв'язок між координатною і натуральною формами завдання закону руху.

112

то ці рівняння розглядають як рівняння руху точки в параметричній формі.

Для визначення рівняння траєкторії з виразів (2.8) виключають час як параметр, а для визначення функції S S t користуються відомими співвідношеннями для елемента дуги кривої:

знак вибирають у залежності від напрямку додатного і від’ємного відліку дугової координати.

§ 6.4. Швидкість руху точки

Друга кінематична характеристика – швидкість руху матеріальної точки M , показує, як швидко і в якому напрямку змінюється її положення у просторі.

Швидкість – це векторна величина, яка характеризує степінь змінювання переміщення за часом.

Для визначення цієї кінематичної характеристики розглянемо рух матеріальної точки М по довільній траєкторії АВ (рис. 2.2). Якщо за деякий проміжок часу t точка з положення М переміститься в деяке інше

113

Рис. 2.2

Якщо розглянути границю середньої швидкості c за умовою, що t

прямує до нуля ( t 0), то швидкість точки M у будь-який момент часу t (миттєва швидкість) дорівнює:

114

Оскільки в граничному випадку (2.12) вектор переміщення MM1

спрямований по дотичній до траєкторії точки, то швидкість (м/с) точки

М також є вектор, спрямований по дотичній до траєкторії точки у бік її руху (рис. 2.2).

Якщо закон руху точки заданий у векторній формі, тоді за формулою (2.1) отримаємо:

вираз:

де x , y , і z - проекції вектора швидкості на відповідні осі координат.

Із виразів (2.14) і (2.15) бачимо, що є можливість прирівняти

для проекцій вектора швидкості на відповідні вісі координат:

Таким чином, проекції вектора швидкості матеріальної точки на координатні осі дорівнюють першим похідним за часом від відповідних

координат.

косинуси кутів, які цей вектор утворює з відповідними осями координат:

Знаючи напрямні косинуси, через арккосинуси можна знайти і самі кути.

У випадку руху матеріальної точки в одній площині у виразах (2.16),

(2.17) і (2.18) залишається дві координати, а у випадку прямолінійного руху – одна координата.

116

Якщо закон руху точки заданий у натуральній формі, тобто задана траєкторія руху точки (рис. 2.2) і функція відстаней (дугова координата),

Модуль швидкості матеріальної точки при натуральному способі завдання її руху дорівнює першій похідній за часом від закону руху точки.

Похідна по часу визначає чисельну алгебраїчну величину швидкості.

Якщо >0, то вектор швидкості спрямований у додатному напрямку відліку і точка рухається у бік зростання дугової координати S, а якщо<0, то протилежно.

§ 6.5. Прискорення руху точки

Прискорення – це векторна величина, яка характеризує степінь змінювання вектора швидкості за часом.

проміжок часу t (рис. 2.3) їх відношення є середнім прискоренням точки за цей час t :

c t

Вектор ac буде паралельним вектору .

118

напрямок вектора прискорення матеріальної точки буде далі.

Якщо закон руху точки заданий у координатній формі, то з формул

(2.7) і (2.22) одержимо для прискорення точки наступний вираз:

Таким чином, проекції вектора прискорення матеріальної точки на осі координат дорівнюють другим похідним за часом від відповідних координат.

Модуль вектора a можна знайти через його проекції на осі x, y,z :

119

Використовуючи значення напрямних косинусів, через арккосинуси знаходять самі кути.

У випадку руху матеріальної точки в одній площині у виразах (2.25), (2.26) і (2.27) залишається дві координати, а у випадку прямолінійного руху – одна координата.

Якщо закон руху точки заданий у натуральній формі, тобто задані траєкторія і закон руху S (рис. 2.4), то повне прискорення точки виражається геометричною сумою нормального і дотичного прискорень:

Рис. 2.4