Запитання для самоконтролю
1.Що таке складний рух точки? Яка основна задача цього руху?
2.З яких складових складається абсолютний рух точки?
3.Як визначається швидкість точки в абсолютному русі?
4.З яких складових утворюється абсолютне прискорення точки?
5.Визначте модуль прискорення Коріоліса. Коли модуль дорівнює нулю?
6.Як спрямувати вектор прискорення Коріоліса?
7.Назвіть фізичні причини виникнення прискорення Коріоліса?
8.Як визначити напрямок прискорення Коріоліса методом Жуковського?
9.Як проявляється дія прискорення Коріоліса в природі?
181
ЧАСТИНА ІІІ. ДИНАМІКА
РОЗДІЛ 10
ОСНОВИ ДИНАМІКИ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
§ 10.1. Вступ до динаміки
Динаміка – це розділ теоретичної механіки, в якому вивчають закони руху матеріальних об’єктів під дією сил, які до них прикладені.
Під матеріальними об’єктами тут розуміють матеріальну точку,
системи матеріальних точок і матеріальні тверді тіла певної маси , а якщо йдеться про матеріальні тіла – і певної геометричної форми.
Рух тіл з чисто геометричної точки зору розглядався в кінематиці. В
динаміці, на відміну від кінематики, при вивченні руху тіл враховують як діючі сили, так і інертність самих матеріальних тіл.
Поняття про силу як величину, що характеризує міру механічної взаємодії матеріальних тіл, було введено в статиці. Але при цьому, по сутності, сили розглядались сталими величинами. Між тим на тіло в процесі його руху крім постійних сил можуть діяти сили, що змінюють свою величину та напрямок в залежності від часу, положення тіла і його швидкості. Особливість впливу цих сил на закони руху тіл можливо врахувати в динаміці.
До поняття інертності тіла можна підійти, зрівнюючи наслідки дії однієї і тієї ж сили на рух різних матеріальних тіл.
Інертність – це властивість матеріальних тіл скоріше або повільніше змінювати швидкість свого руху під дією однакових сил або систем сил.
Кількісною мірою інертності тіла є фізична величина – маса тіла
(одночасно маса є мірою гравітаційних властивостей тіла за законом всесвітнього тяжіння). В класичній механіці маса розглядається величиною
скалярною, додатною і постійною для кожного даного тіла.
В загальному випадку рух тіла залежить не тільки від його сумарної маси і прикладених сил. Характер руху може також залежати від форми тіла, точніше від взаємного розташування утворюючих його матеріальних точок (тобто від розподілу мас).
Перш ніж вивчати такі тіла і характер врахування їх форми, в
динаміці розглядають більш простий матеріальний об’єкт – матеріальну точку як окреме тіло або як його окрему складову. Тому традиційно динаміка поділяється на динаміку матеріальної точки, динаміку твердого тіла і динаміку матеріальної системи.
Матеріальна точка – тобто тіло, розмірами якого у даній задачі можна знехтувати, є найпростішим рухомим об’єктом механіки.
Рух матеріальної точки, як і інших матеріальних об’єктів, в
класичній механіці розглядається відносно інерціальної системи відліку – такої системі відліку, в якій ізольована матеріальна точка може безмежно довго перебувати у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху.
Якщо матеріальна точка рухається під впливом тільки активних сил,
то таку матеріальну точку називають вільною.
Слід нагадати, що матеріальні умови, які накладають обмеження на положення та рух невільної матеріальної точки, називають в’язями, а сили,
з якими в’язі діють на цю точку, називають реакціями в’язей.
У динаміці розглядають дві основні задачі.
Перша або пряма задача полягає у тому, щоб за заданими силами і законом руху матеріального об’єкта визначити діючу на нього силу.
Друга або обернена задача динаміки полягає у тому, щоб за заданими силами, прикладеними до матеріального об’єкта , і початковими умовами визначити закон його обумовленого руху.
Найпростіше ці задачі розв’язати для матеріальної точки.
183
§10.2. Закони динаміки (Закони Галілея-Ньютона)
Воснову динаміки покладені закони, які для матеріальної точки були сформульовані І. Ньютоном в 1687 р. і є об’єктивними законами природи,
встановленими на основі багатьох дослідів і спостережень.
Перший закон (закон інерції). Ізольована матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху доти, поки прикладені сили не примусять її змінити цей стан.
Рівномірний і прямолінійний рух ще називають рухом за інерцією.
Матеріальна точка не може сама змінювати свій стан руху чи спокою, а ця зміна з’являється лише в результаті впливу на неї інших тіл. Тобто, рух матеріальної точки змінюється тільки в результаті її взаємодії з іншими тілами. Якщо рух відхиляється від рівномірного – виникає прискорення по відношенню до інерціальної системи відліку.
Відмінність від нуля абсолютного прискорення матеріальної точки свідчить про вплив на неї інших тіл з певною інтенсивністю і спрямованістю, що характеризується в класичній механіці поняттям сили.
Другий закон (основний закон динаміки матеріальної точки).
Прискорення матеріальної точки пропорційно прикладеній до неї силі і спрямоване вздовж вектора сили.
Якщо силу або рівнодійну декількох сил, прикладених до точки,
позначити через F , прискорення – через a , масу матеріальної точки –
через m і вважати її згідно уявлень класичної механіки сталою, то закон матиме вираз:
n
де сила може бути рівнодійною n сил: F FK .
K 1
Співвідношення (3.1), яке встановлює зв’язок між силою, масою та прискоренням, є найважливіше у класичній механіці і називається
основним рівнянням динаміки.
Таким чином, сила – це є та дія на матеріальну точку з боку будь-
яких інших тіл, яка надає цій точці певне прискорення.
За сучасними уявленнями в основі механічних взаємодій знаходяться гравітаційні і електромагнітні сили – сили тяжіння, сили пружності, сили тертя, сили опору середовища і т. п. При цьому сила може бути, як сталою величиною і напрямком, так і змінною, яка, взагалі, є функцією часу,
переміщення (координат) і швидкості
F F t,r ,v .
Сили можуть залежати від окремих кінематичних параметрів.
Наприклад, сила гравітаційної взаємодії на підставі закону всесвітнього тяжіння визначається
|
|
|
|
|
|
|
F |
m m |
|
r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
m1 |
і |
m2 - маси тіл; - гравітаційна стала, |
r r1 r2 |
- відносна відстань |
( |
|
|
і |
|
|
|
- радіус-вектори мас в інерціальній системі відліку). |
r1 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
При описанні руху тіла в середовищі (повітря, рідина) сила опору, як |
встановлено експериментально, є функцією від швидкості |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оп v , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
де |
|
|
– коефіцієнт в’язкого тертя, |
який |
залежить |
від форми тіла і |
властивостей середовища. Коли швидкість збільшується, то сила опору стає пропорційною квадрату швидкості.
Маса матеріальної точки в основному рівнянні динаміки є мірою її інертних і гравітаційних властивостей. Тому маса може бути визначена методами, які відображають вище вказані властивості.
185
Перший метод пов’язаний з гравітаційними властивостями матерії.
Експериментально встановлено, що відношення ваги тіла до прискорення вільного падіння в пустоті у всіх точках земної кулі є сталою величиною.
Це відношення визначає вагому масу
де G – вага тіла, g – прискорення вільного падіння у вакуумі.
Із формули (3.2) випливає, що маси тіл і їх вага пропорційні. Тому можна одну з мас взяти за еталон одиниці маси і визначати інші маси зважуванням.
Другий спосіб, динамічний, пов’язаний з інертними властивостями тіл. Якщо одна і та ж сила діє на тіла з різною вагою, то вона викликає різні прискорення. Тоді з (3.1) маємо:
. Якщо вибрати одну з мас за еталон, можна визначити
другу масу, яку називають інертною.
Дослідами І. Ньютона і Б. Бесселя встановлюється тотожність гравітаційної і інертної маси з точністю до 10 10 значень.
В другій половині ХІХ сторіччя з’являється нове формулювання другого закону Ньютона: перша похідна за часом від вектора кількості руху матеріальної точки дорівнює за величиною і напрямком вектору прикладеної до точки сили.
де mv – кількість руху матеріальної швидкості.
F , |
(3.3) |
точки, |
як добуток маси на вектор |
Слід відмітити, що з другого закона можна одержати перший закон динаміки (закон інерції), якщо покласти F 0 і m const . Тоді v const
або a 0 тобто, швидкість точки зберігається за весь час її руху сталою величиною без прискорення.
Третій закон (закон дії та протидії). Кожній дії одного тіла завжди відповідає рівна їй за модулем і протилежна за напрямом протидія другого тіла. Коротко – дія дорівнює протидії.
Це є закон, який встановлює парність усіх сил природи. Якщо,
наприклад, тіло, яке лежить на столі, тисне на нього вниз з силою власної ваги, то стіл тисне з такою ж силою на тіло, яка напрямлена вгору.
Четвертий закон (закон незалежності дії сил). Прискорення, яке отримує матеріальна точка від дії системи сил, дорівнює геометричній сумі прискорень, які б отримувала точка від дії кожної сили окремо.
Закони Ньютона є лише першим наближенням до дійсності, оскільки вважають властивості матеріальних об’єктів незалежними від властивостей простору і часу. Проте, при швидкостях, відносно малих від швидкості світла, для Земних умов, ці закони добре узгоджуються з реальними механічними процесами, що зустрічаються на практиці.
§ 10.3. Системи одиниць вимірювання фізичних величин.
Для вимірювання всіх механічних величин достатньо вибрати три основні одиниці вимірювання. Дві з них – це одиниці довжини і часу, які вже зустрічались в кінематиці. В якості третьої одиниці може бути вибрана одиниця вимірювання маси або сили. Так як довільними обидві ці одиниці при наявності рівняння (3.1) бути не можуть, то звідси витікає можливість вибору в механіці двох принципово різних систем одиниць.
187
Технічна система одиниць (МкГС)
Основні одиниці цієї системи:
1.Довжина – метр [м].
2.Час – секунда [с].
3.Сила – кілограм-сила [кГс], або [кГ ].
У цій системі основною одиницею прийнята сила, а маса вимірюється похідною одиницею. Якщо прийняти силу тяжіння G за силу,
яка надає точці прискорення g, будемо мати
нехай G = 1000 [кГ ], тоді
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
к Г |
|
|
кГ с |
2 |
|
m |
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
м |
м |
|
9,81 |
|
|
|
|
|
с |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Міжнародна система одиниць (СІ)
Основні одиниці цієї системи:
1.Довжина – метр [м].
2.Час – секунда [с].
3.Маса – кілограм маси [кг].
У системі СІ основною одиницею прийнята маса, а сила вимірюється похідною одиницею. Розмірність сили у міжнародній системі СІ буде
Сила, яка надає тілу з масою 1 [кг], прискорення 1 [м/с2], дорівнює
1 [Н], а сила 1 [кГ ] надає тілу з масою 1 [кг], прискорення 9,8 [м/с2], звідки
1 [кГ] = 9,8 [Н],
1 [Н] = 0,102 [кГ ].
§ 10.4. Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної
точки
З розділу "Кінематика" відомо три способи завдання руху матеріальної точки – векторний, координатний та натуральний. Відповідно до цього мають місце і форми складання диференціальних рівнянь руху матеріальної точки. Проте в основу цих рівнянь покладено основний закон
1. Диференціальне рівняння у векторній формі
Розглянемо рух матеріальної точки М маси m під дією системи сил
F1, F2 , Fn , положення |
якої |
визначає радіус – вектор |
r |
(рис. 3.1) із |
законом зміни |
r r t . |
|
|
|
|
Оскільки |
в цьому |
разі |
прискорення матеріальної |
точки дорівнює |
, то диференціальне рівняння руху буде мати такий вигляд
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
d |
r |
|
|
|
|
|
|
. |
|
m |
|
|
Fi |
(3.4) |
dt 2 |
|
|
|
i 1 |
|
