Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный торгово-экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

.pdf
Скачиваний:
123
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
7.12 Mб
Скачать
☆

189

2. Диференціальні рівняння у координатній формі

Прискорення матеріальної точки в цьому разі визначається у його проекціях на три відповідні осі координат, тобто

 

 

 

d

2

x

 

 

a

 

x

 

 

 

;

x

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

y

 

a

 

y

 

 

;

y

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

z

 

 

a

 

z

 

,

z

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.5)

а тому диференціальні рівняння руху матеріальної точки теж визначають у проекціях на ці ж осі і відповідно з основним законом динаміки (3.1) вони мають такий вигляд

 

 

 

n

ix

 

 

 

mx

 

 

 

 

 

F

;

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

n

iy

 

 

 

my

 

 

 

 

 

F

;

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

n

iz

 

 

 

mz

 

 

 

 

 

F

,

 

 

 

i 1

 

 

n

n

n

 

 

 

де Fix ,

Fiy ,

i Fiz – алгебраїчні суми проекцій всіх сил на осі

i 1

i 1

i 1

 

 

 

та

z .

(3.6)

x, y

3. Диференціальні рівняння у натуральній формі

Прискорення матеріальної точки в цьому разі визначаються у

 

 

та нормаль n

і дорівнюють

проекціях на дотичну

a dvdt ,

an v2 ,

190

де v

– швидкість матеріальної точки;

 

– радіус кривизни кривої, по якій

рухається точка.

 

 

 

 

 

 

Проекція прискорення точки на бінормаль відсутня

a

b

0 .

 

 

Тоді диференціальні рівняння руху матеріальної точки мають такий вигляд

 

dv

 

 

n

 

 

 

 

 

i

 

 

m

 

 

 

 

 

F

 

,

dt

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

n

 

 

 

m

 

 

i

n

 

 

 

 

 

F

,

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

0

 

F

b

,

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

(3.7)

де останнє рівняння, в проекції на бінормаль, є, фактично, рівнянням статики.

§ 10.5. Диференціальні рівняння руху невільної матеріальної точки

При вивченні невільної точки, що обмежена в русі іншими умовами або тілами – в’язями, то використовують принцип звільнення від в’язей.

Він дозволяє вважати точку вільною, якщо прикласти до неї реакції в’язей.

Тому диференціальне рівняння в векторній формі має вигляд:

де

F

 

 

 

 

 

 

ma F R ,

 

 

– рівнодійна активних сил,

R

– рівнодійна реакцій в’язей.

В проекціях на декартові і натуральні осі маємо

m

d 2 x

 

F R

 

 

,

m

dv

F R ,

 

 

 

x

 

 

 

dt 2

 

x

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

d 2 y

F

 

R

 

,

m

v2

 

F R ,.

 

 

 

y

y

 

 

dt 2

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 z

 

Fz

Rz ,

0 F R

m

 

 

 

 

 

 

b

b

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.8)

(3.9)

191

§ 10.6. Дві основні задачі динаміки матеріальної точки

Оскільки основний закон динаміки матеріальної точки (3.1) та складені за його допомогою диференціальні рівняння руху мають у лівій частині прискорення, тобто кінематичну характеристику руху, а у правій частині – геометричну суму сил, які діють на точку, тобто силові характеристики руху, то у залежності від того, яка характеристика руху потребує визначення, формулюються дві основні задачі динаміки матеріальної точки.

1. Перша задача динаміки

Перша задача динаміки формулюється таким чином: "По заданим масі матеріальної точки та закону її руху визначити силу, яка діє на матеріальну точку або рівнодійну силу".

В цьому випадку розв’язок задачі зводиться до диференціювання рівнянь руху матеріальної точки.

Розглянемо приклад розв’язування першої задачі динаміки матеріальної точки.

Приклад

Умова: матеріальна точка рухається згідно таких рівнянь

x at,

y bt ct 2 ,

де

a,

b,

c

 

const

.

Треба визначити рівнодійну силу, яка діє на цю матеріальну точку.

Розв’язання

Знайдемо проекції швидкості на координатні осі x та y

192

vy

v

 

x

 

dx

a;

x

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

dy

b 2ct

dt

 

 

 

 

 

.

Знайдемо проекції прискорення матеріальної точки на ці осі координат

 

 

 

 

 

dv

 

 

a

x

x

x

0;

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

y

dvy

2c .

y

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

Тоді проекції рівнодійної сили на координатні осі дорівнюють

 

F

 

x

F

 

y

 

max

ma

y

 

 

 

0 , 2mc

.

Рівнодійна сила, яка діє на матеріальну точку, дорівнює

F

F

2

 

 

 

 

 

x

 

Ця сила діє паралельно осі

Oy

напрямку даної осі.

2

2mc .

Fy

і спрямована у бік, протилежний від

2. Друга задача динаміки

Сформулюємо другу задачу динаміки "Згідно заданим силам, які діють на матеріальну точку, визначити закон її руху".

Таким чином, друга задача динаміки матеріальної точки зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь руху. При цьому повинні бути заданими початкові умови руху матеріальної точки: положення і швидкості точки у початковий момент часу.

193

Якщо розглядається рух вільної матеріальної точки, то існує така

послідовність розв’язку основної задачі динаміки матеріальної точки:

–зображують точку у довільному положенні її руху та показують усі сили, які діють на точку;

–вибирають систему координат;

–записують початкові умови руху матеріальної точки;

–складають диференціальні рівняння руху точки;

–методом інтегрування диференціальних рівнянь руху знаходять рівняння її руху і, виходячи з початкових умов, визначають сталі інтегрування;

–аналізують отриманий розв’язок та визначають невідомі величини.

При розв’язанні другої задачі відомими є сили, які діють на точку певної маси, координати і швидкість в початковий момент часу. Необхідно знайти кінематичні рівняння руху точки (закон руху). Розв’язання цієї задачі зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки (3.6) або (3.7). Визначивши проекції сил на осі координат Fx , Fy , Fz і підставивши їх в праву частину рівнянь, інтегруємо систему. Розв’язком цієї системи рівнянь буде функція часу і шість сталих

інтегрування C1,C2 ,...,C6

:

x x t,C1,C2 ,...,C6 ,

 

y y t,C1,C2 ,...,C6 ,

(3.10)

z z t,C1,C2 ,...,C6 .

Для визначення сталих інтегрування необхідні початкові умови –

координати і швидкості в початковий момент:

x t0 x0 ;

y t0 y0 ;

z t0

z0

;

(3.11)

x t0 x0 ;

y t0 y0 ;

z t0 z0 .

 

194

Тоді, остаточно, розв’язок має вираз

x x t, x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 ,

 

y y t, x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 ,

(3.12)

z z t, x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 .

Вирази (3.12) називають загальним розв’язком диференціальних рівнянь руху точки.

Розглядаючи рух в натуральній формі, для розв’язання основної задачі застосовують диференціальні рівняння (3.7). Початковими умовами руху є значення дугової координати при t 0 : s to і початкова швидкість v t0 s0 .

§ 10.7. Інтегрування диференціальних рівнянь руху

матеріальної точки у простих випадках

Інтегрування диференціальних рівнянь в значній мірі залежить від

виду функції сили, яку підставляють в праву частину рівняння.

У загальному визначенні сила є функцією одночасно трьох кінематичних параметрів: часу, переміщення і швидкості F F t, s, v . Інтегрування в цьому випадку є складною задачею. Проте, у техніці і природі часто зустрічаються сили, які залежать від одного кінематичного параметра. Так,

сили, що мають місце при досліджені роботи різного роду механізмів і машин, явно залежать від часу.

До позиційних сил, що залежать від положення точки (переміщення),

належать сили пружності, які виникають у пружних тілах при їх деформації, а також сили тяжіння або відштовхування, що виникають при взаємодії тіл, які мають електромагнітні заряди.

Сили, що залежать від швидкості, зустрічаються при дослідженні руху тіл у в’язкому середовищі (рідкому, газоподібному).

195

Надамо методику і приклади розв’язування другої задачі динаміки у випадках, якщо сили є сталими за величиною і напрямом і коли змінюються в залежності від часу, переміщення і швидкості.

Прямолінійний рух точки

Матеріальна точка рухається прямолінійно, вісь

x - направимо в

сторону руху точки. Тоді

 

 

 

 

 

y 0

Fy 0 ;

Fz 0 .

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

 

 

Рушійна сила спрямована вздовж

осі:

Fx

F .

Проте, ця умова

необхідна, але недостатня. Потрібно, щоб і початкова швидкість була спрямована вздовж осі v0 v0 x .

а) Рух точки під дією сили, яка є сталою величиною

Приклад

 

 

 

Матеріальна точка масою m рухається вздовж осі

x

під дією сили

Q const . Визначити

закон руху точки, якщо в початковий момент її

координата була x x0

, а початкова швидкість v to v0 .

 

 

Розрахункова схема (рис. 3.2):

Рис. 3.2

196

Розв’язання

Запишемо диференціальне рівняння в проекції на вісь

mx Fkx .

Підставимо в праву частину (а) проекції сили (рис. 3.2)

x

(3.6):

(а)

mx Q

Q

 

 

 

 

dx

 

 

dvx

 

 

dvx

Q ;

x

 

;

x

dt

 

 

dt

;

m

dt

розділимо змінні:

 

 

dv

 

 

 

Q

t .

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Інтегруємо ліву і праву частини

підставимо vx dxdt ;

раз:

dvx

Q

dt C1

vx

Q

t C1

;

(б)

m

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

Q

t C1

; розділимо змінні і інтегруємо ще один

dt

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

Q

tdt

m

 

 

1

 

 

C

 

dt

;

 

Q t

2

x

 

m 2

 

C1t

C2

.

(в)

Для визначення сталих інтегрування

C1

і

C2

підставимо в рівняння

(б) і (в) початкові умови

при t t0 0

:

x x0

;

v t0

v0

;

 

 

 

 

v

Q

t 0 C C v

;

 

 

 

 

 

0

 

 

m

 

1

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Q

 

0

v 0 C

 

C

 

x .

 

 

 

2

2

 

0

m 2

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно закон руху точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q t

2

 

 

 

 

 

 

x x0 v0t

 

.

 

(г)

 

 

m 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналіз виразу (г) показує, що матеріальна точка під дією сталої сили

197

рухається рівнозмінно з прискоренням, яке дорівнює

a

Q m

.

б) Рух точки під дією сили, яка залежить від часу

Приклад

 

 

Трактор вагою

P

рухається по прямій лінії і під час розгону його

сила тяги збільшується по закону F kt , де t – час у секундах,

k

- сталий

коефіцієнт. Визначити закон руху трактора під час розгону.

 

 

Розв’язання

Маса трактора рухається поступально, тому його можна вважати точкою. Направимо вісь x в напрямку руху, а початок відліку помістимо в нерухомій точці, де трактор був при t0 0 , тоді x x0 0 .

Диференціальне рівняння:

 

 

mx Fkx

 

 

 

 

 

dv

x

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

;

m

 

 

 

Fx kt ;

m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділимо змінні в (а), помножуючи на dt

ліву і праву частини:

 

 

 

 

 

 

 

dvx

 

k

tdt

C1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Інтегруємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

k

 

t 2

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підставимо в (б) vx

dx

і розділяємо змінні:

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

k

 

t 2

C

;

 

 

 

dx

k

 

t 2

dt C

 

dt C

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

2

 

dt m 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Інтегруємо:

(а)

(б)

198

 

k t

3

x

 

m 6

 

C1t

C2

.

(в)

Для визначення сталих початкові умови при t t0 0

інтегрування в рівняннях (б) і (в) підставимо

:

x x0

0

;

vx

v0x

0

;

 

0

k 0

C

C 0

 

 

 

 

m 2

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

k 0

0 C C

 

C

 

 

2

2

 

m 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно закон руху має вигляд

 

kg t

3

 

x

 

(м).

P

6

 

 

;

0.

в) Рух точки під дією сили, яка залежить від швидкості

Приклад

Тіло M

яка прийнята швидкості R

руху тіла:

вагою G

падає донизу без початкової швидкості із точки O ,

за початок координат (рис. 3.3). Опір повітря пропорційний

v , де - коефіцієнт пропорційності. Визначити закон

Рис. 3.3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности