Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

92

довжини, то таке тіло можна розглядати як матеріальну лінію. Це може бути, наприклад, дріт малого діаметра і постійного поперечного перерізу

S (рис. 1.39).

Вага і об'єм окремих частинок такого тіла будуть пропорційні їх довжинам lk і положення центра ваги всього тіла будуть залежати тільки

координати центра ваги кожної частки лінії.

Точка C , координати якої визначаються формулами (1.94), має назву центра ваги лінії.

Слід зауважити, що вище наведені формули можуть бути використані для визначення центру ваги однорідних тіл, які можливо розбити на окремі частини правильної форми, центри ваги кожної з яких легко знайти.

Якщо тіло неможливо розбити на кінцеве число правильних елементів, тоді переходять від кінцевих сум до інтегрування. В такому випадку формули визначення координат центра ваги об'єму, площі і лінії приймають відповідно вигляд:

94

Із формул (1.92) – (1.97) випливає, що положення центра ваги однорідного тіла не залежить від фізичних властивостей його матеріалу, а

залежить лише від геометричної форми і розмірів тіла.

§ 5.4. Статичний момент площі плоского тіла

Рис. 1.40

95

Тоді у формулах (1.98) в чисельниках стоять вирази статичних моментів площі всього плоского тіла відносно координатних осей y і x :

Із формул (1.100) можна зробити висновок, якщо координата xC і yC

дорівнює нулю, тобто якщо осі y і x проходять через центр ваги площі, то відповідно дорівнюють нулю і статичні моменти площі відносно цих осей.

Такі осі називають центральними.

Таким чином, статичний момент площі плоского тіла відносно осі в площині розміщення тіла – це геометрична характеристика, яка дорівнює добутку площі тіла на відстань від його центра ваги до цієї осі.

Статичний момент площі відносно будь – якої центральної осі дорівнює нулю.

На завершення слід відмітити, що статичний момент площі, як геометрична характеристика плоского перерізу тіла, знаходить широке застосування в опорі матеріалів.

96

§ 5.5. Способи визначення координат центра ваги тіла

Існують наступні способи визначення координат центра ваги тіл:

метод симетрії, метод розбиття і доповнення, експериментальні способи.

Розглянемо послідовно ці способи.

Метод симетрії. Якщо однорідне тіло має площину, вісь, або центр симетрії, то його центр ваги лежить відповідно у площині симетрії, або на осі симетрії, або в центрі симетрії.

Таким чином, центр ваги однорідних симетричних тіл, таких як кільця,

прямокутні пластини, прямокутні паралелепіпеди, кулі та інші тіла, які мають центр симетрії, розташований у геометричних центрах (центри симетрії) цих тіл.

Метод розбиття. Якщо тіло можна розбити на скінченне число таких частин, для кожної з яких положення центра ваги неважко визначається, то координати центра ваги усього тіла можна визначити безпосередньо за формулами (1.88), (1.92), (1.93) і (1.94). Причому кількість доданків у чисельнику кожного з указаних виразів буде дорівнювати кількості частин,

на яке розбивається тіло.

Наведемо приклад визначення центра ваги тіла методом розбиття його на окремі тіла, центри ваги яких відомі.

Приклад

Визначити координати центра ваги однорідної пластини (рис. 1.41).

Розв'язання

97

прямокутника.

У прийнятій системі координат неважко отримати значення координат цих точок. А саме: c1 1, 1 , c2 1, 5 , c3 5, 9 . Площі кожного

Рис. 1.41

Для визначення координат центра ваги заданої пластини використаємо вираз (1.93). Підставивши значення всіх відомих величин у рівняння, отримаємо

98

За обчисленими значеннями координат центра ваги пластини можна позначити точку C на рисунку. Як бачимо, центр ваги (геометрична точка)

пластини розташований за її межами.

Метод доповнення. Спосіб, про який йдеться далі, є деяким випадком способу розбиття. Він може застосовуватись до тіл, які мають вирізи, порожнини, причому без врахування вирізу, або вирізаної частини тіла положення центра ваги тіла відомо. Розглянемо приклад застосування такого методу.

Рис. 1.42

99

Розв'язання

Як бачимо з рисунка, центр ваги пластини міститься на осі симетрії

пластини x , тобто на прямій, яка проходить крізь точки C1 і C2 . Таким чином, для визначення положення центра ваги цієї пластини необхідно

складається з двох тіл – з повного круга (без врахування вирізу) і тіла, яке

заданої пластини використаємо перше рівняння виразу (1.93). Підставивши значення усіх відомих величин у це рівняння, отримаємо

Визначити положення центру ваги однорідної плоскої фігури в координатних осях x , y (рис. 1.43).

100

Розв'язання

Оберемо осі координат x і y , як показано на рис. 3.

Уявимо, що задана плоска фігура може бути складена із чотирьох

діаметром d4 160 мм , яке вирізано з фігури і тому має від'ємну площу.