Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

140

Таким чином, при рівнозмінному обертальному русі твердого тіла

формул (2.39) та (2.43). Слід зауважити, що знаки у правих частинах цих формул (перед ) показують характер цього руху. Якщо вони додатні, то обертальний рух тіла рівноприскорений, а якщо від'ємні, то рівносповільнений.

Приклад

Привідний вал механічного пристрою починає обертатись із стану

Розв'язання

За умовою прикладу кутове прискорення вала є стала додатна величина, а тому його обертальний рух буде рівноприскореним.

141

Для знаходження загального числа обертів вала скористаємось

виразом:

142

§ 7.5. Кінематичні характеристики точок тіла,

що обертається навколо нерухомої осі

Крім загальних кінематичних характеристик тіла, що обертається навколо нерухомої осі – кутової швидкості та кутового прискорення –

розглянемо кінематичні характеристики окремих його точок. До цих характеристик відносяться лінійні або колові швидкості точок та лінійні або колові прискорення точок тіла.

Рис. 2.8

143

Ця швидкість називається лінійною або коловою швидкістю точки,

тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

Таким чином, лінійна швидкість точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, чисельно дорівнює добутку кутової швидкості тіла на радіус обертання (відстань від даної точки до осі обертання).

Напрямок вектора лінійної швидкості – по дотичній до кола, що описує точка М (перпендикулярно радіусу обертання) у бік обертання тіла.

Рис. 2.9

144

Оскільки для всіх точок тіла у даний момент часу кутова швидкість

ω однакова, то їх лінійні швидкості пропорційні відстаням точок до осі обертання.

Тоді для діаметра KL тіла, що обертається навколо осі,

перпендикулярної до площі рисунка, буде мати місце лінійний характер розподілу швидкостей точок (рис. 2.9).

Лінійне прискорення

Лінійне прискорення точки М тіла, яке обертається навколо нерухомої осі (див. рис. 2.9), визначається рівняннями (2.29) і (2.30):

Із урахуванням виразу (2.44) та того, що ρ = R, отримаємо значення обертального, дотичного прискорення

та доцентрового, нормального прискорення

При цьому дотичне прискорення a завжди спрямоване по дотичній до траєкторії руху точки M (перпендикулярно радіусу R ). Якщо обертання тіла прискорене, то напрямок a буде у бік вектора швидкості , якщо сповільнене – то проти. Нормальне прискорення an завжди додатне і його вектор спрямований до центра кола, по якому рухається точка M .

Рис. 2.10

146

Приклад

Вантаж Р масою m 100 кг із стану спокою починає опускатись на

швидкість і кутове прискорення валів барабана і приводу та швидкість і прискорення точки М. Трос прийняти таким, що не розтягується.

Рис. 2.11

Розв'язання

За умовою вантаж P рухається поступально. Рівняння швидкості руху вантажу має вигляд:

VP dSdt dtd 0,8t 2 1,6t .

147

В момент часу t1 0,5c швидкість вантажу буде дорівнювати

VP1 1,6t1 1,6 0,5 0,8 м / с .

В даному випадку прискорення вантажу не залежить від часу, тобто

При опусканні вантажу барабан 1 механічного пристрою буде обертатися із кутовою швидкістю ω1 , яка визначається:

де VP1 – колова швидкість точки на ободі барабана (ця швидкість дорівнює швидкості вантажу P , так як за умовою задачі трос не розтягується), r1 0,32 м – радіус барабана 1.

Таку саму кутову швидкість буде мати колесо радіусом r3 , оскільки воно жорстко з’єднано з барабаном і знаходиться з ним на одному валу:

3 1 2,5 рад / с ,

Аналогічно можна визначити кутові прискорення барабана і колеса:

148

Передаточне відношення при передачі обертального руху в механічному пристрої від ведучого колеса 2 приводу до веденого колеса 3

визначається як:

Звідки можна знайти кутову швидкість і кутове прискорення вала приводу,

на якому закріплено колесо 2:

149

§ 7.6. Вектори кутової швидкості і кутового прискорення тіла

при його обертанні

Кутову швидкість і кутове прискорення обертового тіла можна уявити як вектори.

Вектор кутової швидкості обертового тіла розташований на осі обертання і спрямований так, що, дивлячись з його кінця, можна бачити обертання тіла проти напрямку руху годинникової стрілки.

Це так зване "правило свердлика".

Вектор кутового прискорення обертового тіла розташований на осі обертання і спрямований у той же бік, що і вектор кутової швидкості якщо обертання прискорене, і в напрямку, яке протилежне напрямку вектора кутової швидкості, якщо обертання сповільнене.