Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

120

руху точки і характеризує зміну швидкості за величиною в одиницю часу t :

Дотичне прискорення матеріальної точки дорівнює першій похідній від функції швидкості за часом або другій похідній від закону руху.

Нормальне прискорення an спрямоване по нормалі n до траєкторії у бік вгнутості останньої і характеризує зміну швидкості за напрямком в одиницю часу t :

Нормальне прискорення матеріальної точки дорівнює квадрату

швидкості, поділеному на радіус кривизни траєкторії у даній точці.

нормалі до центра кривизни в даній точці і його величина завжди додатна,

вказаних векторах, як на сторонах (рис. 2.4). Модуль повного прискорення

121

2. Рівномірний криволінійний рух

У даному випадку модуль швидкості const , а радіус кривизни

122

3. Рівнозмінний рух

У випадку, коли прискорення a є величиною сталою, рух точки буде рівнозмінним (тобто, за рівні проміжки часу швидкість матеріальної точки буде змінюватись на одну і ту ж величину).

швидкості руху точки.

звідки

o a t ,

або

o a t ,

123

визначені інтеграли від лівої і правої частин останнього виразу в межах від початкового значення So переміщення точки до кінцевого S :

звідки

Остаточно останній вираз можна переписати так

де So - початкове переміщення точки.

Таким чином, при рівнозмінному русі матеріальної точки її швидкість та переміщення визначаються за допомогою знайдених виразів.

Слід зауважити, що знаки у правих частинах цих формул (перед a )

визначають характер рівнозмінного руху. Так, якщо вони додатні, то рух точки є рівноприскореним, а якщо від'ємні, то – рівносповільненим.

124

§ 6.7. Приклади визначення кінематичних параметрів

матеріальної точки

Приклад

Траєкторію руху матеріальної точки можна визначити двома способами:

а) задати різні моменти часу та зобразити координати точки х, у на графіку;

б) виключити час t із заданих рівнянь руху. Так, з першого рівняння

Таким чином, траєкторією руху точки є парабола з вершиною, яка розташована в початку координат, і віссю симетрії O y .

Приклад

Палець кривошипу двигуна рухається відповідно заданих рівнянь:

x b sin t, y b cos t,

де x і y - у метрах; t - у секундах; b і - сталі величини.

Визначити траєкторію руху, швидкість та прискорення пальця.

125

Розв'язання

Для визначення рівняння траєкторії руху пальця кривошипа треба виключити з заданих рівнянь руху параметр часу t . Спочатку визначимо з заданих рівнянь тригонометричні функції

sin t bx , cos t by .

Оскільки тригонометричні функції є функціями одного аргументу, то піднесемо до квадрату ліві та праві частини цих виразів і додамо їх почленно:

Таким чином, з останнього виразу бачимо, що траєкторією руху пальця кривошипа є коло радіуса b з центром у початку координат.

Для визначення швидкості руху знайдемо спочатку проекції швидкості руху пальця на координатні осі:

x ddtx b cos t ,

126

Таким чином, з останнього виразу бачимо, що палець рухається зі сталою швидкістю, яка дорівнює b .

Знайдемо прискорення пальця кривошипу. Також визначимо його через проекції на осі координат. Для цього візьмемо другі похідні від

заданих координат руху:

Повне прискорення буде дорівнювати:

Оскільки палець кривошипу рухається по колу, тобто по криволінійній траєкторії руху сталого радіуса b , то його прискорення можна було б визначити, якщо використати вирази, що описують натуральний спосіб задання руху матеріальної точки. Дотичне прискорення пальця кривошипу буде дорівнювати нулю, оскільки швидкість b const . А саме:

127

Таким чином, як бачимо, прискорення пальця кривошипу, які визначені різними способами, співпадають.

Приклад

Точка на ободі барабана механізму в період розгону рухається згідно

Розв'язання

Рівняння руху точки задане натуральним способом, а тому швидкість можна визначити так:

По заданому значенню швидкості точки 30 м/с знайдемо час.

Підставимо значення цієї швидкості в отриманий вираз і знайдемо t :

30 0,3 t 2 ,

звідки

128

Дотичне прискорення точки буде дорівнювати:

Нормальне прискорення визначимо так:

зернозбирального комбайна перебуває у стані розгону, що відповідає умові задачі.

Запитання для самоконтролю

1.Що вивчає кінематика?

2.У чому полягають основні задачі кінематики?

3.Які існують способи завдання руху точки?

4.Що таке закон руху матеріальної точки?

5.Яка залежність між радіус-вектором точки та її координатами?

6.Як спрямовується вектор швидкості точки?