Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный торгово-экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

.pdf
Скачиваний:
123
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
7.12 Mб
Скачать
☆

209

§ 11.5. Геометрія мас. Моменти інерції маси тіла

Положення центра мас тіла недостатньо повно характеризує розподіл мас по об'єму. Якщо маси усіх точок змістити на однакову відстань від центра мас, то положення центра мас не зміниться, але на рух тіла,

особливо обертальний, це вплине суттєво. Тому у механіці введена ще одна характеристика розподілу мас по об'єму – момент інерції маси тіла.

Розрізняють моменти інерції осьові, полярні, відцентрові.

Осьовий момент інерції маси тіла (системи матеріальних точок)

відносно осі " z " – це скалярна величина, яка дорівнює сумі добутків мас окремих точок на квадрати їх відстаней до осі z .

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

m

 

r

2

,

k 1,...,n.

z

k

 

 

 

 

kz

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

(3.25)

Осьовий момент інерції маси тіла є завжди додатною величиною.

Рис. 3.5

210

Осьовий момент характеризує міру інертності тіла при обертальному русі. Тому тіло, у якого осьовий момент інерції більший, важче розкрутити, а якщо тіло уже обертається – важче зупинити.

Одиниця виміру осьового моменту інерції маси тіла:

Система CI : 1 кг·м2.

Якщо тіло суцільне або має неперервний розподіл маси, то його момент інерції визначається інтегралом, поширеним на всю масу:

I z

r

2

dm .

 

 

M

 

 

Визначимо осьові і полярні моменти інерції тіла (рис. 3.5).

Якщо відомі координати окремих точок тіла, то осьові інерції маси тіла можна обчислювати за формулами:

2

2

2

,

I z mk rkz

mk xk

yk

2

2

2

,

I y mk rky mk xk

zk

2

2

2

.

Ix mk rkx mk yk

zk

Якщо додати три осьових моменти інерції, то отримуємо:

I

 

I

 

I

 

2 m

x

2

y

2

z

2

2 m r

2

2I

 

,

x

y

z

 

k

k

 

0

 

 

 

k

k

 

 

k k

 

 

(3.26)

моменти

(3.27)

де rk

– діагональ показаного на схемі паралелепіпеда, радіус-вектор k-тої

точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(3.28)

 

 

I0 mk rk ,

 

2

2

2

2

,

 

rk

xk

yk

zk

де I0 – полярний момент інерції, як сума добутків мас точок тіла на квадрати їх відстаней до полюса O .

211

§ 11.6. Радіус інерції тіла

Радіус інерції маси тіла – це відстань, на квадрат якої потрібно помножити масу тіла, щоб отримати осьовий момент інерції маси тіла.

 

I z 2 ,

(3.29)

де

– маса тіла.

 

 

 

 

 

З виразу (3.29) випливає співвідношення для визначення радіуса

інерції

 

 

 

 

 

 

I

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

Геометрично радіус інерції тіла можна уявити як радіус умовного нескінченно тонкого колового циліндра, маса і момент інерції якого дорівнюють масі і моменту інерції тіла.

§ 11.7. Моменти інерції маси тіла відносно паралельних осей

Припустимо, що маємо тіло, центр мас якого відомий і через нього проведена система центральних осей координат. Тоді момент інерції маси тіла відносно осі, яка паралельна даній центральній осі і розміщена на

відстані a від неї, визначається наступним чином:

Момент інерції маси тіла відносно будь - якої осі z дорівнює

моменту інерції маси тіла відносно паралельної осі, яка проходить через центр мас, доданим до добутку маси тіла на квадрат відстані між осями

(рис.3.6).

I z I z

c

M a2 .

(3.30)

 

 

 

212

 

Рис. 3.6

 

 

 

 

 

 

– маса тіла; C – центр мас;

zc – вісь, яка проходить через центр мас;

z – вісь, яка паралельна осі zc ; a

– відстань між осями.

 

 

 

 

 

 

Розглянемо довільну точку m

с координатами

x

, y

k

, z

k

відносно

 

k

 

k

 

 

 

центральної осі. Відстані її до осей zc

і z дорівнюють відповідно Rk і rk .

Визначимо момент інерції маси тіла відносно осі, як суму добутків мас на квадрати їх відстаней до осі z :

n

a 2 xk2

mk yk2 xk2 a2 mk 2a mk yk .

I z mk rk2 mk yk

k 1

 

 

 

 

 

 

Проаналізуємо три

доданки:

2

2

2

–

момент

mk yk

xk mk Rk I z

 

 

 

 

c

 

 

інерції тіла відносно центральної осі zc , mk M –

маса тіла,

доданок

mk yk M yc 0 дорівнює нулю,

оскільки координата центра мас yc 0

відносно центральної осі і тоді остаточно отримаємо вираз (3.30).

 

 

213

§ 11.8. Приклади визначення моментів інерції тіл простої

форми

1) Однорідний тонкий стержень масою осі z , яка проходить через кінець стержня (рис. 3.7).

Рис. 3.7

обертається навколо

I z

 

dm r

2

, як для суцільного тіла;

 

 

 

тонкого стержня (лінії) дорівнюватиме

 

 

 

 

 

dm dx ,

де

 

– маса одиниці довжини стержня.

l

 

 

 

 

 

Тоді осьовий момент інерції дорівнює:

r

x

; елементарна маса для

 

 

l

l

l

x

3 l

 

l

3

 

l

3

l

2

I z

dm x2 dx x2 x2 dx

 

 

 

 

 

,

 

 

0

 

0

0

3

0

 

3

 

 

l 3

 

3

(3.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I z

 

Ml2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Однорідний

стержень масою

 

 

і довжиною

l обертається

навколо осі, яка проходить через його середину (рис. 3.8).

214

Рис. 3.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

2

 

Момент інерції відносно паралельної осі

I z

I zc

 

, звідкіля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

l

2

 

 

 

l

2

 

l

2

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I zc I z

4

 

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

12

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.32)

 

 

 

z

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Однорідне тонке кільце

 

 

радіуса

R

.

Вісь

 

z

перпендикулярна

площині кільця.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Усі точки кільця розташовані на однаковій відстані

R від осі

z , тому

момент

інерції маси кільця дорівнює

 

I

z

R2 .

Для

двох

інших

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

взаємоперпендикулярних осей момент інерції вдвічі менше.

4) Кругла однорідна

(рис.3.9).

Враховуючи, що

пластина або однорідний циліндр радіуса

R

 

 

– маса, яка припадає на одиницю площі

R

2

 

 

 

 

 

круга, то елементарна маса буде дорівнювати:

dm ds 2r dr ,

215

тоді

R

 

R

 

 

R

 

 

R

4

R

4

 

R

2

I z dm r

2

 

2 r dr r

2

2 r

3

dr

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

0

 

 

2

 

2 R

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

I

z

 

 

 

I

x

I

y

 

 

MR

2

 

,

 

 

2

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

4

 

 

 

 

.

(3.33)

Рис. 3.9

5) Прямий коловий однорідний конус масою

Μ

і радіусом основи R

I z

0.3 R

2

 

,

де z – вісь, яка проходить крізь вершину і центр кола основи. 6) Однорідна куля радіуса R

I z I x I y 0.4 R2 .

216

§ 11.9. Відцентрові моменти інерції маси тіла

Осьові моменти інерції маси тіла не повністю характеризують розподіл маси по об'єму тіла. Для характеристики асиметричного розподілу мас в механіці введені, так звані, відцентрові моменти інерції.

I

xy

 

 

m x

y

k

; I

xz

m

y

z

k

; I

xz

m x

z

k

 

 

k k

 

 

k

k

 

 

k k

 

Для суцільного тіла знак суми замінюється інтегралом

(3.34)

I xy

dm x

y

.

Таким чином, відцентровий момент інерції дорівнює сумі добутків мас точок на їх відстані до двох координатних осей.

Величини відцентрових моментів інерції залежать від напрямку координатних осей і вибору початку координат. Тому, говорячи про відцентровий момент у даній точці, розуміють, що початок координат збігається з цією точкою. Відцентрові моменти інерції можуть дорівнювати нулю і мати додатний або від'ємний знак.

§ 11.10. Головні осі та головні моменти інерції тіла

Нехай вісь Oz

– вісь симетрії тіла. Тоді в тілі завжди знайдуться

точки з симетричними координатами по одну і другу сторону від осі:

 

x

k

; y

k

; z

k

;

 

 

 

 

 

 

 

 

yk ; zk .

 

xk ;

Асиметрія в цьому випадку відсутня і моменти інерції тіла, що характеризують асиметрію – відцентрові моменти інерції – повинні дорівнювати нулю:

217

mk xk zk 0

, тобто

 

mk yk zk 0

 

 

 

I

 

I

 

 

xz yz

0

0.

Ixz

Вісь

0, I yz

Oz0

,для якої відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю,

,є головною віссю інерції тіла.

Таким чином, якщо тіло має вісь симетрії, то вона є головною віссю інерції.

Якщо усі відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, тобто

I xy 0 ; I xz 0 ; I yz 0 ,

то кожна з координатних осей є головною віссю інерції даного тіла для точки O початку координат.

Моменти інерції тіла відносно головних осей інерції є головними моментами інерції.

Через довільну точку будь-якого тіла завжди можна провести хоч би одну систему трьох взаємно перпендикулярних осей, для котрих відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, тоді кожна з цих осей буде головною віссю інерції тіла.

Довільна вісь, яка проходить через центр мас тіла, називається центральною. Головна вісь інерції, яка проходить через центр мас, є

головною центральною віссю інерції.

Моменти інерції маси тіла відносно цих осей – головні центральні моменти інерції тіла.

§ 10.11. Диференціальні рівняння руху твердого тіла

Визначимо диференціальні рівняння руху твердого тіла як системи матеріальних точок, що його утворюють. При цьому послідовно розглянемо поступальний, обертальний і плоскопаралельний рух тіла.

218

1. Диференціальні рівняння поступального руху твердого тіла

При поступальному русі твердого тіла усі його точки рухаються однаково, як і його центр мас. Тому диференціальні рівняння руху центра мас тіла і є диференціальними рівняннями поступального руху твердого тіла.

Mxc Fk ex ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

,

(3.35)

Myc Fk y

 

 

 

F e

 

 

Mz

,

 

 

c

 

k z

 

 

де

m

– маса тіла,

x

c

,

y

c

,

z

c

 

 

 

 

 

– координати центра мас, Fk ex , Fk ey , Fk ez –

проекції зовнішньої k -ї сили на осі координат.

Таким чином, вивчення поступального руху твердого тіла зводиться до вивчення руху його окремої точки – центра ваги або центра мас.

2. Диференціальні рівняння обертального руху твердого тіла

відносно нерухомої осі

Якщо тверде тіло (рис. 3.10) обертається навколо нерухомої осі

z

кутовою швидкістю під дією прикладених до нього сил

 

e

, P2

e

, ..., Pn

1

 

 

 

P

 

 

 

 

то диференціальне рівняння його обертального руху може бути записане трьох варіантах:

із

e ,

у

I

I

I

z

z

z

mz Pk

,

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

k

 

 

d

 

 

m

 

P

e ,

(3.36)

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 mz Pke , dt 2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности