239
РОЗДІЛ 13
ЗАГАЛЬНІ ТЕОРЕМИ ДИНАМІКИ
§ 13.1. Кількість руху матеріальної точки і механічної
системи
Існує багато задач динаміки, розв’язання яких не потребує повної інформації про всі властивості досліджуваного руху системи, що містяться у диференціальних рівняннях (2.7). Ці задачі пов’язані з визначенням зовнішніх сил, діючих на матеріальні точки системи, або з визначенням руху центра мас і мір механічного руху системи. До ефективних методів розв’язування таких задач належать використання загальних теорем динаміки, які встановлюють співвідношення між мірами механічного руху системи матеріальних точок або однієї точки і діючими на них силами.
Загальні теореми динаміки характеризують окремі властивості механічного руху і надають часткову інформацію про цей рух. Тому їх застосування дозволяють уникнути в задачах складних операцій інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки і механічної системи, що значно спрощує процес розв’язання.
Для задач динаміки матеріальної точки та динаміки механічної системи розглянемо наступні загальні теореми динаміки: теорему про зміну кількості руху і теорему про зміну кінетичної енергії, які випливають із основного закону динаміки матеріальної точки.
Однією з динамічних характеристик руху матеріальної точки і механічної системи є кількість руху.
Кількість руху матеріальної точки є векторною величиною, яка є добутком маси точки на вектор її швидкості
Напрямок вектора кількості руху |
q |
співпадає з напрямком вектора |
швидкості |
v . За одиницю вимірювання кількості руху приймається |
Кількість руху механічної системи є також векторною величиною,
яка є геометричною сумою векторів кількостей руху окремих точок системи:
|
n |
k |
|
n |
k k |
|
Q |
|
|
|
|
|
q |
|
m v |
, |
|
k 1 |
k 1 |
|
З іншого боку є можливість визначити вектор кількості руху через швидкість центра мас. Згадаємо, як був визначений радіус-вектор центра мас механічної системи:
|
n |
k k |
|
|
|
|
m |
r |
rc |
k 1 |
, |
|
M |
|
|
|
n |
|
|
|
mk – маса механічної системи. |
|
k 1 |
|
|
|
Зведемо вираз (3.68) до спільного знаменника
n
M rc mk rk , k 1
і візьмемо похідну за часом:
M |
dr |
n |
dr |
. |
c |
mk |
|
|
k |
|
|
dt |
k 1 |
dt |
|
Оскільки drdtc c , а drdtk k , то остаточно маємо:
n
M c mk k Q .
k 1
241
Таким чином, вектор кількості руху механічної системи або головний вектор системи дорівнює добутку маси усієї системи на вектор швидкості її центра мас.
Проекції кількості руху механічної системи на осі прямокутної системи координат запишуться так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
m |
kx |
M |
cx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
m |
ky |
M |
cy |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
m |
kz |
M |
cz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звідки головний вектор механічної системи дорівнює: |
|
|
|
модуль |
Q |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qx |
Qy |
Qz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
Q |
y |
|
|
^ |
|
|
Q |
|
|
напрямок |
|
Q ,x |
|
|
|
x |
; |
|
|
|
Q , y |
|
|
|
|
; |
|
Q ,z |
|
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 13.2. Імпульс сили
Ефект дії сили на матеріальну точку або механічну систему залежить не тільки від модуля сили і маси точки або системи, а і від тривалості дії сили. Для характеристики дії сили на тіло за певний проміжок часу вводиться поняття елементарного імпульсу сили та імпульсу сили за кінцевий проміжок часу. Визначимо ці поняття.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
Елементарний імпульс |
сили F |
– це векторна величина, яка |
дорівнює добутку вектора сили на елементарний проміжок часу її дії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS F dt . |
(3.73) |
Напрямок елементарного імпульсу сили співпадає з напрямком вектора сили. За одиницю вимірювання імпульсу сили приймається
Імпульс сили за кінцевий проміжок часу дорівнює інтегралу від елементарного імпульсу сили за проміжок часу від 0 до t1
Для обчислення імпульсу сили використовують його проекції на відповідні осі координат
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
dS |
|
|
|
F dt, |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
S y dS y |
|
Fy dt, |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
z |
|
1 |
z |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
dS |
|
|
|
F dt. |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Повний імпульс дорівнюватиме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
S 2 |
S |
2 S |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
z |
Якщо сила є сталою величиною, то імпульс сили дорівнює:
S Ft .
§ 13.3. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки
Запишемо основний закон динаміки матеріальної точки в формі,
коли маса m вважається сталою:
Але більш загальний вираз закону може бути записаний так:
У лівій частині в дужках є визначалась виразом (3.66): q m
кількість руху матеріальної точки, яка
. Перепишемо (3.78) так:
Помноживши ліву і праву частини (3.78) на
n
d m Fk dt .
k 1
Вираз (3.80) і є теоремою про зміну кількості руху матеріальної точки у диференціальній формі: диференціал від кількості руху матеріальної точки дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх сил, які діють на точку.
Проінтегруємо почленно ліву та праву частини виразу (3.80).
Використаємо означені інтеграли, які беремо в границях, що відповідають
швидкостям від 0 |
до 1 |
і моментам часу від 0 |
до t1 . Матимемо |
|
|
V1 |
|
|
|
|
t1 |
n |
|
|
|
n t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
Fk dt Fk dt . |
|
|
d (m |
(3.81) |
|
V0 |
0 |
k 1 |
|
|
k 10 |
|
|
|
|
Права частина виразу (3.81) є сумою імпульсів сил за кінцевий |
проміжок часу. Після інтегрування одержимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 m 0 Sk . |
|
|
|
(3.82) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
Таким чином, теорему про зміну кількості руху матеріальної точки можна сформулювати так: зміна кількості руху матеріальної точки за певний проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів сил, які діють на точку, за цей час.
Вираз (3.82) у проекціях на осі координат x, y, та z буде мати такий вигляд:
mv |
m |
|
|
|
n |
S |
|
, |
|
0 x |
|
|
|
1x |
|
|
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv |
mv |
|
|
n |
S |
|
|
, |
|
|
|
ky |
|
1y |
0 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
m 1z m 0 z Skz . |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
Приклад |
|
|
Автомобіль масою |
m 1000 кг |
рухається по горизонтальній дорозі |
зі швидкістю v0 5м / с . Далі протягом 10 с сила тяги автомобіля збільшується на 150 Н за кожну секунду. Визначити швидкість автомобіля v1 після десятої секунди розгону.
Розв’язання
Вважаємо рух автомобіля поступальним, тоді приймаємо його за матеріальну точку. На підставі (3.83) запишемо вираз теореми про зміну кількості руху матеріальної точки:
mv1x mv0x Skx . |
(а) |
Оскільки рух по прямій, то можна записати |
|
v1x v1; |
v0x v0 ; |
Sx S . |
|
245
Визначимо імпульс сили тяги, враховуючи умову і вираз (3.75):
t |
10 |
t |
2 |
|
|
150 10 |
2 |
1 |
|
|
10 |
|
|
S |
150tdt 150 tdt 150 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 13.4. Теорема про зміну кількості руху та закон збереження
кількості руху механічної системи.
Для механічної системи, що складається із |
n |
матеріальних точок, на |
підставі теореми про рух її центра мас можна записати
d n e
M dtc Fk ,
k 1
Якщо далі внести M – масу механічної системи, яка вважається сталою величиною, під знак похідної, то матимемо
Як бачимо, що у лівій частині у дужках, згідно виразу (3.71),
Q – кількість руху механічної системи.
Тоді перепишемо вираз (3.84) наступним чином:
Формула (3.85) і є теоремою про зміну кількості руху механічної системи у диференціальній формі: похідна за часом від вектора кількості руху механічної системи дорівнює геометричній сумі усіх зовнішніх сил, які діють на механічну систему.
Помножимо ліву і праву частину (3.85) на dt , поділивши змінні,
Інтегруємо ліву та праву частини (3.86). Для цього використаємо означені інтеграли, які беремо в границях, що відповідають кількості руху
від Q0 |
до Q1 |
і моментам часу від 0 |
до t1 |
: |
|
|
|
|
|
Q1 |
|
t1 |
n |
|
|
n t1 |
|
|
|
|
|
dQ |
|
|
Fke dt Fkedt . |
(3.87) |
|
|
Q0 |
|
0 k 1 |
|
|
k 10 |
|
Після інтегрування, якщо врахувати те, що у правій частині отриманого виразу є сума імпульсів зовнішніх сил, які діють на механічну систему, матимемо:
n
Q1Q0 Ske . (3.88)
k 1
Отже, зміна вектора кількості руху механічної системи за певний проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів усіх зовнішніх сил,
які діють на дану систему.
Вираз (3.88) у проекціях на осі координат x,y, та z має вигляд:
|
|
|
|
n |
|
|
e |
|
|
|
Q |
Q |
|
|
S |
|
|
, |
|
kx |
|
|
1x |
0 x |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
e |
|
|
|
Q |
Q |
|
|
S |
|
, |
|
ky |
|
1y |
0 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
e |
|
|
|
Q |
Q |
|
|
S |
. |
|
kz |
|
1z |
0 z |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
Визначимо закон збереження кількості руху механічної системи.
Якщо геометрична сума усіх зовнішніх сил, які діють на механічну
систему, буде дорівнювати нулю, то у виразі (3.84)
тобто, якщо геометрична сума усіх зовнішніх сил, які діють на механічну систему, дорівнює нулю, то кількість руху системи залишається незмінною.
Якщо сума проекцій імпульсів зовнішніх сил на будь - яку вісь
, то з рівняння (3.89) випливає, що
, тобто проекція кількості руху на вісь
§ 13.5. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної
точки
Кінетична енергія характеризує здатність механічного руху
перетворюватись в еквівалентну кількість іншої форми руху (потенціальна
енергія, теплота тощо).
Нехай матеріальна точка масою m переміщується вздовж
криволінійної траєкторії із положення М1 в положення М2 під дією рівнодійної сили Р (рис. 3.21).
Рис. 3.21
Згідно з основним законом динаміки Ньютона запишемо:
|
|
m a P , |
де m |
– маса точки, a |
– вектор прискорення точки, |
сил, що діють на точку |
|
|
Спроектуємо рівняння (3.91) на дотичну: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m a |
P cos |
|
|
,v , |
|
|
|
P |
(3.92) |
де a |
dv |
– тангенціальне прискорення. |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
m |
P cos |
|
,v . |
(3.93) |
|
|
P |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння (8.3) помножимо на елементарне переміщення точки ds:
|
|
dv |
|
|
|
|
m |
ds P ds cos |
|
,v , |
(3.94) |
|
P |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
але P ds cos P,v – елементарна робота сили Р,
dsdt v .
