Прикладна механіка_ЛЕКЦІЇ

415

випадку чистого згину. Проте нею можна користуватись і у випадку прямого поперечного згину, коли в перерізах виникає не тільки згинаючий момент M z але і поперечна сила Qy . Поперечні сили, як показує практика

і теоретичні дослідження, суттєво не впливають на нормальні напруження.

§ 22.6. Розрахунки на міцність при згині.

Міцність при згині балки визначається по максимальним нормальним напруженням розтягу (стиску) в поперечному перерізі за умовою:

Згідно умови міцності (5.60) можна виконати три види розрахунків:

проектний, перевірний і на визначення допустимого навантаження.

Слід зауважити, що при проведенні проектних розрахунків для балок

стандартного профілю визначається величина осьового моменту опору перерізу Wz :

Wz M z ,

а розміри відповідного профілю балки (його номер) вибирається по найбільшому ближчому значенню Wz із стандартних таблиць сортового прокату.

416

§22.7. Дотичні напруження при згині

Взагальному випадку плоского згину в поперечних перерізах балки

крім згинаючого моменту M z існує також поперечна сила Qy . При цьому в точках перерізу виникають не тільки нормальні напруження , але і дотичні напруження .

Дотичні напруження є наслідком деформації зсуву волокон балки і діють як у поперечному напрямку, так і вздовж волокон. Наявність дотичних напружень в поздовжніх перерізах пояснює факт утворення в дерев’яних балках при поперечному згині поздовжніх тріщин (рис. 5.34).

Рис. 5.34

Вперше формула для визначення дотичних напружень при поперечному згині балок прямокутного перерізу була виведена у 1885 р.

російським інженером, проф. Д.І. Журавським. Необхідність в такій формулі була викликана широким застосуванням на той час дерев’яних конструкцій, які погано працюють на сколювання вздовж волокон.

Визначимо приблизну величину дотичних напружень при згині балки прямокутного профілю b h . Для цього виділимо елемент балки,

довжиною dx двома поперечними перерізами m m і n n , в яких відповідно діють згинаючі моменти M z і M z dM z (рис. 5.35).

418

Підставивши в це рівняння знайдені величини зусиль, отримаємо:

Sz y відносно нейтральної осі частини перерізу, що лежить вище від розглянутого шару волокон, поділеному на момент інерції I z всього перерізу відносно нейтральної осі і на ширину b розглянутого перерізу.

частини площі змінюється за висотою у квадратичній залежності:

При цьому на поверхні балки і у волокнах нейтрального шару дотичні напруження відповідно будуть дорівнювати:

Закон розподілу дотичних напружень балки прямокутного перерізу представлений на рис. 5.36. Аналогічний розподіл дотичних напружень за висотою стінки має балка двотаврового перерізу.

Таким чином, максимальні значення дотичних напружень виникають у волокнах нейтрального шару, там де нормальні напруження дорівнюють нулю. І навпаки – у волокнах, де нормальні напруження максимальні,

дотичні напруження відсутні.

Довготривалий досвід експлуатації балок показав, що найбільш небезпечними є розтягнені волокна на поверхні балки. Тому більшість балок розраховують тільки по нормальним напруженням.

420

Рис. 5.36

У разі необхідності можна провести перевірочний розрахунок по дотичним напруженням із умови міцності:

1.Дерев’яні балки, тому що деревина погано працює на сколювання.

2.Вузькі балки (наприклад двотаврові), тому що максимальні дотичні напруження обернено пропорційні ширині нейтрального шару.

3.Короткі балки, тому що при відносно невеликих згинаючому моменті і нормальних напруженнях в таких балках можуть виникати

значні поперечні зусилля і дотичні напруження.

422

РОЗДІЛ 23

СКЛАДНИЙ ОПІР

§ 23.1. Поняття про складний опір та теорії міцності

На відміну від простих видів деформації на практиці досить часто зустрічаються випадки, коли в поперечних перерізах бруса виникають відразу декілька внутрішніх силових факторів. Прикладами можуть бути одночасна деформація згину і кручення, кручення і розтягу і т. ін. Такі випадки називають складним опором. Розрахунки на міцність і жорсткість при складному опорі звичайно грунтуються на принципі незалежності дії сил. Необхідно зауважити, що інколи дані види розрахунків можна спростити, якщо знехтувати (у межах необхідної точності ) другорядними деформаціями і звести, таким чином, складну деформацію до більш простої.

Напружений стан в точці деформованого тіла буде повністю визначений, якщо будуть відомими нормальні і дотичні напруження на довільних трьох взаємно перпендикулярних площадках, які проходять через цю точку (рис. 5.37, а). У довільній точці тіла можна знайти такі площадки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю. Такі площадки називають головними, а нормальні напруження, що виникають на них – головними напруженнями 1 , 2 , 3 (рис. 5.37, б).

Напружений стан, коли існує тільки одне головне напруження, а два інших дорівнюють нулю, називається одноосним або лінійним. Якщо існують два головних напруження, а одне дорівнює нулю, то такий напружений стан називається двохосним або плоским. Коли існують всі три головних напруження, маємо трьохосний або об’ємний напружений стан.

424

Розглянемо найбільш поширені теорії міцності.

Теорія найбільших нормальних напружень (перша теорія

міцності). Згідно цієї теорії переважний вплив на міцність здійснює величина найбільшого нормального напруження. Мається на увазі, що порушення міцності в загальному випадку напруженого стану відбудеться у той момент, коли найбільше за абсолютною величиною нормальне напруження досягає значення, яке відповідає граничному стану матеріалу при простому розтягу або стиску.

Умову міцності можна записати наступним чином:

де max – величина максимального за абсолютним значенням головного напруження, – допустиме напруження одноосного розтягу (стиску).

Таким чином, перша теорія міцності із трьох головних напружень враховує лише найбільше. Для пластичних матеріалів, як показали експериментальні дослідження, ця теорія міцностсті непридатна і дає задовільні результати лише для дуже крихких матеріалів (цегла, каміння і т.п.).

Теорія найбільших лінійних деформацій (друга теорія міцності).

Згідно цієї теорії, основною причиною руйнування матеріалу є найбільша відносна лінійна деформація. Вважається, що порушення міцності в загальному випадку напруженого стану відбудеться у той момент, коли

значення, яке відповідає граничному стану матеріалу при простому розтягу або стиску.