Аналіз виразу (г) показує,
|
тобто максимальна швидкість буде max |
g |
, а рух стає рівномірним. |
|
k |
|
|
|
|
Представимо рівняння (г) у вигляді |
|
|
vdy g 1 e kt , dt k
або
Інтегруємо рівняння(д):
y gk t kg2 e kt C2 .
визначення C2 підставимо в (е) початкові умови
:
0
Підставимо значення
падає, долаючи опір повітря:
в (е), отримаємо рівняння руху тіла, що
г) Рух точки під дією сили, яка залежить від переміщення
Приклад
Матеріальна точка M масою m рухається вздовж осі x під дією
відстані F kmx, де k 4 . На початку руху при
2 м
с . Визначити закон руху точки (рис 3.4).
Рис. 3.4
Розв’язання
Складаємо диференціальне рівняння руху в проекції на вісь x :
mx Fkx |
; |
mx Fx |
kmx ; |
|
|
|
|
x 4x 0. |
(а) |
|
|
|
|
Рівняння (а) є однорідним |
|
лінійним |
диференціальним рівнянням |
другого порядку зі сталим коефіцієнтом. Розв’язок його шукаємо в формі
|
|
|
|
ut |
(б) |
|
|
x Ae |
Взявши першу |
x |
та другу |
x |
похідні за часом від |
виразу (б), |
|
|
|
|
|
|
підставимо в (а) і після скорочень отримаємо характеристичне рівняння
|
u2 4 0 , |
|
корні якого дорівнюють: |
u 2 ; u |
2 |
2 . |
|
|
1 |
|
|
|
Тоді загальний розв’язок диференціального рівняння буде: |
|
x C e2t C |
e 2t . |
(г) |
|
1 |
|
2 |
|
|
Для визначення двох сталих інтегрування C1 і C2 |
необхідне друге |
рівняння, яке отримаємо, взявши похідну за часом від (г): |
|
Підставимо в (г) і (д) початкові умови, отримаємо алгебраїчні рівняння, з яких і визначимо сталі інтегрування:
Звідки |
C1 3; C |
Остаточно |
C2 2 : |
|
|
5 C C |
; |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2C |
2C |
. |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 .
матимемо закон руху точки, підставивши в (г)
Запитання для самоконтролю
1.Що вивчає динаміка? Її основні задачі.
2.Сформулюйте основні закони динаміки.
3.Напишіть диференціальні рівняння руху точки в координатній і натуральній формах.
4.Напишіть диференціальні рівняння руху невільної точки.
5.Як формулюється і розв’язується перша задача динаміки?
6.Як формулюється і розв’язується друга задача динаміки?
7.Що таке початкові умови руху точки?
8.Як визначаються сталі інтегрування диференціальних рівнянь?
203
РОЗДІЛ 11
ДИНАМІКА СИСТЕМИ МАТЕРІАЛЬНИХ ТОЧОК.
ГЕОМЕТРІЯ МАС. ДИНАМІЧНІ РІВНЯННЯ РУХУ
§ 11.1. Механічна система матеріальних точок. Сили зовнішні
та внутрішні
В попередніх випадках розглядався рух окремих матеріальних точок.
Але в задачах механіки досить часто необхідно розглядати не окрему матеріальну точку, а їх систему.
Слід нагадати, що механічна система матеріальних точок (далі – механічна система) – це така сукупність точок, положення і рух яких є взаємопов’язаними.
Класичним прикладом механічної системи є сонячна система, в якій всі тіла, що розглядаються як матеріальні точки, взаємопов’язані силами взаємного тяжіння. Всяке тверде матеріальне тіло, що складається з окремих його точок, взаємопов’язаних внутрішніми міжмолекулярними силами взаємодії, може також розглядатись як механічна система. Іншим прикладом механічної системи може бути люба машина або механізм, в
яких робочі органи зв’язані шарнірами, стержнями, тросами і т. ін. (тобто різними геометричними в’язями). В цьому випадку на тіла системи діють сили взаємного тиску або натягу, що передаються через в’язі.
Сукупність тіл, між якими немає ніяких сил взаємодії (наприклад,
група літаків, що рухаються в небі), систему не створюють.
Внаслідок цього, сили, що діють на точки або тіла системи, можуть поділяються на зовнішні і внутрішні.
– внутрішні сили – це сили взаємодії між точками самої механічної системи;
– зовнішні сили – це сили, які діють на точки системи з боку точок,
які не належать даній механічній системі.
Внутрішні сили позначаються Fkin , зовнішні – Fke .
Внутрішні сили мають такі властивості:
–внутрішні сили діють на механічну систему попарно, як дія і протидія (F1in F2in ) ;
–геометрична сума внутрішніх сил або головний вектор внутрішніх сил дорівнює нулю
– геометрична сума моментів усіх внутрішніх сил відносно будь– якого центра або головний момент внутрішніх сил і алгебраїчна сума сил відносно осі дорівнюють нулю
Як внутрішні, так зовнішні сили можуть бути в свою чергу або активними, або реакціями в’язей. Розподіл сил на зовнішні і внутрішні сили є умовним і залежить від того, рух якої системи тіл розглядають. Так,
наприклад, тиск пару на поршень парової машини є зовнішньою силою по відношенню до поршня і внутрішньою силою по відношенню до всієї машини.
§ 11.2. Маса і центр мас механічної системи
На рух системи, крім діючих сил, впливає також її сумарна маса і розподіл мас.
|
|
205 |
|
|
|
Нехай механічна система складається із |
n |
матеріальних точок, з |
масами m1, m2 , m3 , ..., mn , положення кожної з яких відносно фіксованої у просторі точки O , визначається її радіус – вектором r1, r2 , r3 , ..., rn .
Маса такої системи дорівнює арифметичній сумі мас кожної її точки:
Центр мас системи визначається відповідно до положення центра ваги тіла і буде геометричною точкою, радіус-вектор якої визначається виразом:
де M |
– маса механічної |
|
Тоді положення |
rk – радіус-вектор k -ї точки системи.
мас механічної системи в системі визначити за наступними виразами:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk xk |
|
|
|
|
x |
|
|
k 1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk yk |
|
|
|
|
y |
c |
|
k 1 |
|
|
, |
(3.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
c |
|
k 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
xk , yk , |
zk |
– координати окремих |
матеріальних |
точок механічної |
системи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У однорідному силовому полі Землі центр мас механічної системи співпадає з його центром ваги.
§ 11.3. Диференціальні рівняння руху механічної системи
Розглянемо деяку механічну систему, яка складається з матеріальних точок, маси яких
m1, m2 , m3 , ..., mn ;
положення кожної точки відносно будь – якого центра визначається її радіус-вектором
до кожної точки системи прикладена рівнодійна внутрішніх сил
in |
in |
|
in |
in |
; |
F1 |
|
, F2 |
|
, F3 |
, ..., Fn |
а також і зовнішніх сил |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
, |
e |
|
e |
|
F1 |
, F2 |
F3 |
, ..., Fn . |
|
Для кожної точки даної механічної системи у векторній формі можна скласти такі рівняння руху
|
|
d |
2 |
r |
|
|
|
m |
|
|
|
|
k 1, 2, ..., n. |
k |
|
|
k F in F e , |
|
dt |
2 |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
Система отриманих рівнянь і є системою диференціальних рівнянь руху механічної системи у векторній формі.
В проекціях на координатні осі рівняння (3.18) матимуть вигляд
d 2 x2k Fkxin Fkxe ;
dt
|
d 2 yk |
|
|
in |
|
e |
|
|
|
F |
F |
; |
(3.19) |
|
|
|
dt 2 |
|
ky ky |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 z2k Fkzin Fkze .
dt
Таким чином, якщо система складається із n матеріальних точок, то необхідно скласти 3 n диференціальних рівнянь другого порядку (3.19).
207
§ 11.4. Рух центра мас механічної системи
Характер руху механічної системи іноді можна визначити по закону руху центра мас механічної системи.
Для механічної системи, яка складається з n матеріальних точок,
запишемо диференціальні рівняння у формі (3.18) і просумуємо почленно по всіх точках:
d |
2 |
r |
|
n |
|
in |
|
n |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
dt |
2 |
|
F |
|
|
F |
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
Згідно наведених вище властивостей внутрішніх сил
другий доданок у рівнянні (3.20) зникає і воно матиме наступний вигляд
n |
2 |
r |
n |
|
|
d |
e |
|
mk |
|
k |
|
(3.21) |
dt |
2 |
Fk . |
k 1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
Із виразу (3.16) можна записати:
n
M rc mk rk . (3.21)
k 1
Візьмемо другу похідну за часом від лівої та правої частин виразу
(3.21):
|
|
2 |
r |
n |
2 |
r |
|
|
|
|
d |
d |
|
|
|
M |
|
c |
mk |
|
k |
. |
(3.22) |
|
dt |
2 |
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
З отриманого виразу (3.22) випливає, що його права частина співпадає з лівою частиною виразу (3.21), тому, остаточно, можна записати:
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
d |
rc |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
Fke , |
(3.23) |
dt |
2 |
|
|
|
|
k 1 |
|
Таким чином, добуток маси механічної системи на прискорення її центра мас дорівнює геометричній сумі усіх зовнішніх сил, які діють на дану механічну систему.
Останнє рівняння виражає теорему про рух центра мас механічної системи:
Центр мас механічної системи рухається, як матеріальна точка,
маса якої дорівнює масі усієї системи і на яку діють усі зовнішні сили системи.
Рівнянню (3.23) відповідає три рівняння в проекціях:
Μd 2 xc dt 2
Μd 2 yc dt 2
Μd 2 zc dt 2
З цієї теореми можна зробити висновок, що рух центра мас системи залежить тільки від зовнішніх сил, які діють на механічну систему,
внутрішні сили не змінюють положення центра мас.
Проте, внутрішні сили можуть здійснювати не прямий вплив на рух центра мас, а лише через зовнішні сили. Наприклад, в автомобілі внутрішні сили, що розвиває двигун, впливають на рух його центра мас лише через сили тертя коліс з дорогою.
Пара сил, яка прикладена до тіла, не може змінити характер руху його центра мас, бо головний вектор пари сил дорівнює нулю. Пара сил може спричинити лише обертання тіла навколо центра мас.
