big_doc_LKG
.pdf
. Наприклад,
;
;
.
;
|
|
|
Випадкові процеси та їх статистичні характеристики |
181 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
......................................... |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
. |
|
|
|
Отримані таким чином результати представлені в табл. 3.9. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 3.9 |
||
|
|
Результати обчислень нормованої кореляційної функції |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
|
0,74 |
0,81 |
0,72 |
0,76 |
0,65 |
0,74 |
0,53 |
0,81 |
1,00 |
|
2 |
|
|
1 |
0,92 |
0,99 |
0,94 |
0,91 |
0,86 |
0,77 |
0,89 |
0,89 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
0,94 |
0,91 |
0,95 |
0,98 |
0,90 |
0,92 |
0,91 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
0,96 |
0,96 |
0,76 |
0,82 |
0,92 |
0,84 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
0,94 |
0,89 |
0,72 |
0,99 |
0,89 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,97 |
0,90 |
0,93 |
0,83 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,94 |
0,91 |
0,84 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,70 |
0,71 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,81 |
|
|
Для отримання середніх значень нормованої кореляційної функції (останній стовпець табл. 3.9) необхідно знайти суму значень діагональних елементів матриці 
вздовж паралелей головної діагоналі і поділити її на кількість елементів в цій діагоналі:
;
;
;
..................................................................................
; 
.
Обчислені середні значення нормованої кореляційної функції 
занесемо до табл. 3.9 та побудуємо графіки (рис. 3.6) емпіричних характеристик процесу доставки вантажів.
182 |
Розділ 3 |
Рис. 3.6. |
Графіки характеристик випадкового процесу доставки вантажів |
Проаналізуємо отримані результати з точки зору передбачуваної стаціонарності випадкового процесу 
. Судячи із графіків, можна зробити висновок, що випадковий процес 
не є стаціонарним, так як 
не має постійного значення, дисперсія 
змінюється у часі, значення нормованої кореляційної функції 
уздовж паралелей головної діагоналі також мають різні значення.
Однак, приймаючи до уваги дуже обмежену кількість реалізацій (
), ці видимі відхилення від стаціонарності можна враховувати несуттєвими. Тому цілком доцільним буде припущення про стаціонарність випадкового процесу 
.
Метод Фостера-Стюарта.
Цей метод дає можливість визначити стаціонарність за середніми і дисперсією. Реалізація методу здійснюється за чотири етапи.
На першому етапі виконується порівняння випадкової функції у кожному перерізі, починаючи з другого, із всіма попередніми. При цьому визначаються дві числові послідовності:
Випадкові процеси та їх статистичні характеристики |
183 |
де 
– дискретні моменти часу.
На другому етапі розраховуються величини 
і 
:
; |
. |
(3.17) |
Величина 
характеризує змінювання функції і приймає значення від 0 (всі значення функції однакові між собою) до 
(функція змінюється монотонно). Величина 
характеризує змінювання дисперсії значень функції і змінюється від 
(функція монотонно спадає) до 
(функція монотонно зростає).
Третій етап полягає у перевірці таких гіпотез:
1)випадковості відхилення величини 
від математичного очікування 
;
2)випадковості відхилення величини 
від нуля.
Ця перевірка виконується з використанням розрахункових значень t-критерію Стьюдента для середнього та для дисперсії :
; 
. (3.18)
При 
значення 
та 
приймаються за табл. 3.10.
Таблиця 3.10 Значення 
та 
критерію Фостера-Стюарта
|
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
|
1,964 |
2,153 |
2,279 |
2,373 |
2,447 |
2,509 |
2,561 |
2,606 |
2,645 |
|
1,288 |
1,521 |
1,677 |
1,791 |
1,882 |
1,956 |
2,019 |
2,072 |
2,121 |
При 
величини 
та 
обчислюються за формулами
-критерію Стьюдента за прийнятим рів-
і 
.
і 
.
знаходяться 
та 
.
і 
.
в залежності від вибраного рівня
) і кількості ступенів вільності 
.
і 
, то процес вважається 
і 
, то процес вважається 
;
і 
, то процес вважається 
навіть приблизно не може вважатися стаціонарним;
і 
, то процес вважається 
) за час перебування транспортних засобів в наряді 
Випадкові процеси та їх статистичні характеристики |
185 |
Необхідно перевірити вантажопотік на стаціонарність.
Розв’язок.
1. Розраховуємо (табл. 3.12) величини 
, 
і знаходимо 
і 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 3.12 |
|
|
|
|
Результати розрахунку значень |
, , |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
76 |
– |
– |
– |
– |
26 |
92 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
2 |
78 |
1 |
0 |
1 |
1 |
27 |
94 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
3 |
79 |
1 |
0 |
1 |
1 |
28 |
99 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
4 |
77 |
0 |
0 |
0 |
0 |
29 |
98 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
5 |
76 |
0 |
0 |
0 |
0 |
30 |
100 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
6 |
75 |
0 |
1 |
1 |
–1 |
31 |
97 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
7 |
75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
32 |
94 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
8 |
73 |
0 |
1 |
1 |
–1 |
33 |
95 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
9 |
74 |
0 |
0 |
0 |
0 |
34 |
100 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
10 |
74 |
0 |
0 |
0 |
0 |
35 |
104 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
11 |
74 |
0 |
0 |
0 |
0 |
36 |
113 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
12 |
65 |
0 |
1 |
1 |
–1 |
37 |
111 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
13 |
66 |
0 |
0 |
0 |
0 |
38 |
114 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
14 |
67 |
0 |
0 |
0 |
0 |
39 |
110 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
15 |
71 |
0 |
0 |
0 |
0 |
40 |
109 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
16 |
71 |
0 |
0 |
0 |
0 |
41 |
115 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
17 |
67 |
0 |
0 |
0 |
0 |
42 |
119 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
18 |
73 |
0 |
0 |
0 |
0 |
43 |
123 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
19 |
81 |
1 |
0 |
1 |
1 |
44 |
119 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
20 |
88 |
1 |
0 |
1 |
1 |
45 |
123 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
21 |
90 |
1 |
0 |
1 |
1 |
46 |
131 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
22 |
89 |
0 |
0 |
0 |
0 |
47 |
147 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
23 |
89 |
0 |
0 |
0 |
0 |
48 |
151 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
24 |
85 |
0 |
0 |
0 |
0 |
49 |
147 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
25 |
91 |
1 |
0 |
1 |
1 |
50 |
141 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
22 |
16 |
2. За табл. 3.10 для 
знаходимо:
; 
;
3. Використовуючи формули (3.18), обчислюємо статистики для випадкових величин r і d:
;
.
і для кількості ступенів вільності 
знаходимо критичне значення 
.
і 
, то процес вважаємо 
мають 
(
).
випадкових величин в 
реалізаціях необхідно:
значень 
випадкової величини
чисел є 
однакових, то кожному із них присвоюється ранг, який дорівнює 
;
спостережень величин 
(
);
Випадкові процеси та їх статистичні характеристики |
187 |
або
, (3.20)
де 
– середній ранг для кожної випадкової величини 
;
– середній ранг за всією послідовністю.
Якщо всі 
мають один і той же закон розподілу, то 
набуває невеликих значень, при різних законах розподілу 
(тобто при від-
сутності стаціонарності) 
набуває великих значень.
При збігу законів розподілу випадкової величини 
статистика 
має 
-розподіл з кількістю ступенів вільності 
. Для
перевірки стаціонарності (однаковості розподілів випадкових величин 
) необхідно:
1)задатися рівнем значимості 
(зазвичай 0,05 або 0,01);
2)за таблицею 
-розподілу для рівня значимості 
та кількості ступенів вільності 
знайти квантиль 
розподілу;
3)якщо 
, то гіпотезу щодо стаціонарності слід відхилити і вважати потік вимог нестаціонарним.
Приклад 4. Аналізується робота транспортної системи металургійного комбінату. В табл. 3.13 наведені статистичні дані кількості повідомлень 
з вузлової станції про прибуття вантажів на адресу підприємства, що надійшли погодинно за 10 год. (
) робочого часу (з 8:00 до 18:00 год.) за три доби (
).
Таблиця 3.13
Статистичні дані про кількість повідомлень
Доба |
|
|
Погодинна кількість повідомлень |
|
|
|
|||||
(реалізація) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
2 |
5 |
5 |
0 |
5 |
6 |
|
4 |
2 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
8 |
4 |
3 |
3 |
|
2 |
4 |
2 |
3 |
2 |
4 |
1 |
5 |
7 |
2 |
8 |
|
6 |
8 |
7 |
Для обґрунтування виду математичної моделі потоку повідомлень необхідно перевірити його на стаціонарність.
Розв’язок.
(табл. 3.15). Значення рангу для 
дорівнює
; для 
: 
і т. д. Отримаємо
. Із таблиці квантилей розподілу 
(додаток Д3) для кількості ступенів вільності 
знаходимо 
.
.
, то потік повідомлень вважаємо