Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Mat_Analiz_Prokhorov

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
2.14 Mб
Скачать

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО Факультет компьютерных наук и информационных технологий

Кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий

“МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ”

Авторский курс профессора Прохорова Д.В.

2002—2004

Содержание курса

 

Содержание курса.............................................................................................................................................................................................................................................................

2

Лекция 1................................................................................................................................................................................................................................................................. ............

8

1.

Организация курса математического анализа........................................................................................................................................................................................................

8

2.

Рекомендуемая литература.......................................................................................................................................................................................................................................

9

3.

Разделы элементарной математики в курсе математического анализа..............................................................................................................................................................

10

4.

Множества и действия над ними...........................................................................................................................................................................................................................

15

5.

Отображения множеств..........................................................................................................................................................................................................................................

17

Лекция 2. ................................................................................................................................................................................................................................................................ .........

20

1.Счетные множества и их свойства..........................................................................................................................................................................................................................

20

2.

Бесконечные подмножества счетного множества................................................................................................................................................................................................

22

3.

Счетное объединение счетных множеств.............................................................................................................................................................................................................

22

4.

Несчетность множества действительных чисел...................................................................................................................................................................................................

26

Лекция 3................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........

28

1.

Лемма об элементарном переходе к пределу в неравенствах.............................................................................................................................................................................

28

2.

Границы и грани множества...................................................................................................................................................................................................................................

29

3.

Теорема существования верхней грани................................................................................................................................................................................................................

32

4.

Соотношение между гранями множества.............................................................................................................................................................................................................

36

Лекция 4................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........

38

1.

Предел последовательности...................................................................................................................................................................................................................................

38

2.

Единственность предела сходящейся последовательности................................................................................................................................................................................

39

3.

Ограниченность сходящейся последовательности..............................................................................................................................................................................................

40

4.

Сходимость монотонной ограниченной последовательности............................................................................................................................................................................

41

Лекция 5................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........

45

1.

Арифметические действия над последовательностями.......................................................................................................................................................................................

45

2.

Бесконечно малые последовательности и их свойства........................................................................................................................................................................................

45

3.

Арифметические действия над сходящимися последовательностями...............................................................................................................................................................

48

4.

Переход к пределу в неравенстве..........................................................................................................................................................................................................................

52

5.

Сходимость последовательности, ограниченной двумя последовательностями с одинаковыми пределами................................................................................................

53

Лекция 6................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........

56

1.

Подпоследовательность сходящейся последовательности ................................................................................................................................................................................

56

2.

Частичные пределы последовательности..............................................................................................................................................................................................................

56

3.

Существование верхнего предела ограниченной последовательности..............................................................................................................................................................

57

4.

Сходимость последовательности, имеющей равные верхний и нижний пределы...........................................................................................................................................

62

Лекция 7................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........

64

1.

Фундаментальные последовательности................................................................................................................................................................................................................

64

2.

Критерий Коши сходимости последовательности...............................................................................................................................................................................................

65

3.

Взаимосвязь различных свойств последовательности........................................................................................................................................................................................

67

4.

Ряд как иная форма последовательности..............................................................................................................................................................................................................

69

 

 

2

5.

Перенос фактов теории последовательностей в теорию рядов..........................................................................................................................................................................

70

Лекция 8................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........

73

1.

Признак мажорации сходимости числового ряда................................................................................................................................................................................................

73

2.

Признак сравнения сходимости числового ряда..................................................................................................................................................................................................

74

3.

Признак Коши сходимости числового ряда.........................................................................................................................................................................................................

76

4.

Признак Даламбера сходимости числового ряда.................................................................................................................................................................................................

78

5.

Признак Коши для рядов с убывающими слагаемыми........................................................................................................................................................................................

82

Лекция 9................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........

85

1.

Абсолютная и условная сходимость числового ряда...........................................................................................................................................................................................

85

2.

Преобразование Абеля............................................................................................................................................................................................................................................

87

3.

Признак Дирихле сходимости числового ряда.....................................................................................................................................................................................................

88

4.

Признак Абеля сходимости числового ряда.........................................................................................................................................................................................................

90

5.

Признак Лейбница сходимости числового ряда...................................................................................................................................................................................................

93

Лекция 10................................................................................................................................................................................................................................................................ .........

95

1.

Сочетательное свойство сходящегося числового ряда........................................................................................................................................................................................

95

2.

Переместительное свойство абсолютно сходящегося числового ряда..............................................................................................................................................................

96

3.

Теорема Римана.......................................................................................................................................................................................................................................................

98

4.

Произведение числовых рядов.............................................................................................................................................................................................................................

102

5.

Понятие о бесконечном произведении................................................................................................................................................................................................................

103

Лекция 11................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

105

1.

Предел и непрерывность функции в точке.........................................................................................................................................................................................................

105

2.

Эквивалентность определений Коши и Гейне....................................................................................................................................................................................................

108

3.

Арифметические действия над непрерывными функциями..............................................................................................................................................................................

110

4.

Непрерывность сложной функции.......................................................................................................................................................................................................................

111

5.

Сохранение знака функции в окрестности точки непрерывности....................................................................................................................................................................

112

Лекция 12................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

114

1.

Критерий Коши существования предела функции............................................................................................................................................................................................

114

2.

Односторонние пределы и непрерывность функции.........................................................................................................................................................................................

116

3.

Односторонние пределы монотонной функции.................................................................................................................................................................................................

122

4.

Классификация точек разрыва функции.............................................................................................................................................................................................................

125

5.

Символы O и o.......................................................................................................................................................................................................................................................

127

Лекция 13................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

130

1.

Равномерная непрерывность................................................................................................................................................................................................................................

130

2.

Теорема Кантора...................................................................................................................................................................................................................................................

132

3.

Первая теорема Вейерштрасса.............................................................................................................................................................................................................................

133

4.

Вторая теорема Вейерштрасса.............................................................................................................................................................................................................................

135

5.

Лемма о вложенных отрезках..............................................................................................................................................................................................................................

136

Лекция 14................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

138

1.

Теорема Коши о промежуточном значении.......................................................................................................................................................................................................

138

2.

Непрерывность обратной функции......................................................................................................................................................................................................................

142

3

3.

Дифференцируемые функции и производная.....................................................................................................................................................................................................

144

4.

Непрерывность дифференцируемой функции....................................................................................................................................................................................................

147

Лекция 15................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

148

1.

Арифметические действия над дифференцируемыми функциями...................................................................................................................................................................

148

2.

Дифференцируемость сложной функции............................................................................................................................................................................................................

152

3.

Производная обратной функции..........................................................................................................................................................................................................................

154

4.

Локальный экстремум. Теорема Ферма..............................................................................................................................................................................................................

155

Лекция 16................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

159

1.

Теорема Ролля о среднем значении.....................................................................................................................................................................................................................

159

2.

Теорема Лагранжа о среднем значении..............................................................................................................................................................................................................

162

3.

Теорема Коши о среднем значении.....................................................................................................................................................................................................................

164

4.

Правило Лопиталя для отношения бесконечно малых......................................................................................................................................................................................

166

5.

Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших..................................................................................................................................................................................

169

Лекция 17................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

174

1.

Критерий монотонности функции.......................................................................................................................................................................................................................

174

2.

Производные высших порядков..........................................................................................................................................................................................................................

175

3.

Формула Тейлора с остатком Пеано...................................................................................................................................................................................................................

176

4.

Формула Тейлора с остатком Лагранжа.............................................................................................................................................................................................................

179

5.

Достаточное условие экстремума функции........................................................................................................................................................................................................

181

Лекция 18................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

183

1.

Выпуклые множества............................................................................................................................................................................................................................................

183

2.

Выпуклые функции...............................................................................................................................................................................................................................................

185

3.

Критерий выпуклости функции...........................................................................................................................................................................................................................

189

4.

Точка перегиба функции......................................................................................................................................................................................................................................

192

5.

Необходимое условие точки перегиба................................................................................................................................................................................................................

193

Лекция 19................................................................................................................................................................................................................................................................ .......

195

1.

Первообразная. Множество первообразных данной функции..........................................................................................................................................................................

195

2.

Неопределенный и определенный интегралы....................................................................................................................................................................................................

197

3.

Интегрирование по частям определенного интеграла.......................................................................................................................................................................................

201

4.

Замена переменной в определенном интеграле.................................................................................................................................................................................................

203

Лекция 20................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

205

1.

Геометрический подход в теории интеграла......................................................................................................................................................................................................

205

2.

Интеграл от характеристических функций.........................................................................................................................................................................................................

208

3.

Интеграл от ступенчатых функций......................................................................................................................................................................................................................

212

4.

Свойства интеграла от ступенчатых функций....................................................................................................................................................................................................

217

Лекция 21................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

220

1.

Верхний и нижний интегралы..............................................................................................................................................................................................................................

220

2.

Существование верхнего и нижнего интегралов................................................................................................................................................................................................

223

3.

Свойства верхнего и нижнего интегралов..........................................................................................................................................................................................................

225

4.

Интегрируемые функции и интеграл Римана.....................................................................................................................................................................................................

227

4

Лекция 22................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

230

1.

Линейность интеграла Римана.............................................................................................................................................................................................................................

230

2.

Монотонность интеграла Римана........................................................................................................................................................................................................................

232

3.

Аддитивность интеграла Римана.........................................................................................................................................................................................................................

233

4.

Интегрируемость модуля интегрируемой функции...........................................................................................................................................................................................

234

Лекция 23................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

237

1.

Интегральные суммы Римана..............................................................................................................................................................................................................................

237

2.

Критерий интегрируемости функции по Риману...............................................................................................................................................................................................

239

Лекция 24................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

247

1.

Первая теорема о среднем для интеграла Римана..............................................................................................................................................................................................

247

2.

Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.........................................................................................................................................................................................

249

3.

Интегрируемость монотонной на отрезке функции...........................................................................................................................................................................................

251

4.

Интегрируемость произведения интегрируемых функций...............................................................................................................................................................................

253

Лекция 25................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

256

1.

Интеграл с переменным верхним пределом ......................................................................................................................................................................................................

256

2.

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом..........................................................................................................................................................................

257

3.

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом...............................................................................................................................................................

258

4.

Формула Ньютона-Лейбница...............................................................................................................................................................................................................................

260

Лекция 26................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

262

1.

Интегрирование по частям в интеграле Римана ................................................................................................................................................................................................

262

2.

Замена переменной в интеграле Римана ............................................................................................................................................................................................................

262

3.

Вторая теорема о среднем значении...................................................................................................................................................................................................................

263

Лекция 27................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

269

1.

Несобственные интегралы Римана от нефинитных функций ..........................................................................................................................................................................

269

2.

Несобственные интегралы Римана от неограниченных функций ...................................................................................................................................................................

273

3.

Линейные операции над несобственными интегралами Римана......................................................................................................................................................................

278

Лекция 28................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

280

1.

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов Римана....................................................................................................................................................................

280

2.

Критерий сходимости несобственных интегралов Римана от неотрицательных функций............................................................................................................................

281

3.

Абсолютная сходимость несобственного интеграла Римана............................................................................................................................................................................

282

4.

Признак мажорации сходимости несобственных интегралов Римана.............................................................................................................................................................

283

5.

Признак сравнения сходимости несобственных интегралов Римана...............................................................................................................................................................

284

Лекция 29................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

288

1.

Интегральный признак Коши сходимости числовых рядов.............................................................................................................................................................................

288

2.

Условная сходимость несобственного интеграла Римана.................................................................................................................................................................................

291

3.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов Римана.................................................................................................................................................................

292

4.

Признак Абеля сходимости несобственных интегралов Римана......................................................................................................................................................................

295

Лекция 30................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

297

1.

Простейшая задача интерполирования...............................................................................................................................................................................................................

297

2.

Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом первой степени.............................................................................................................................

300

5

3. Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом второй степени.............................................................................................................................

302

Лекция 31................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

306

1. Формула прямоугольников приближенного вычисления интегралов.............................................................................................................................................................

306

2. Оценка погрешности формулы прямоугольников.............................................................................................................................................................................................

309

3. Формула трапеций приближенного вычисления интегралов............................................................................................................................................................................

311

4. Оценка погрешности формулы трапеций...........................................................................................................................................................................................................

314

Лекция 32................................................................................................................................................................................................................................................................. ......

317

1. Формула Симпсона приближенного вычисления интегралов..........................................................................................................................................................................

317

2. Оценка погрешности формулы Симпсона..........................................................................................................................................................................................................

322

Вопросы для тестирования и контроля.......................................................................................................................................................................................................................

325

Лекция 1................................................................................................................................................................................................................................................................. ....

326

Лекция 2................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

328

Лекция 3................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

329

Лекция 4................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

330

Лекция 5................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

331

Лекция 6................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

332

Лекция 7................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

333

Лекция 8................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

334

Лекция 9................................................................................................................................................................................................................................................................ .....

335

Лекция 10................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

336

Лекция 11................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

337

Лекция 12................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

338

Лекция 13................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

340

Лекция 14................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

341

Лекция 15................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

342

Лекция 16................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

343

Лекция 17. ................................................................................................................................................................................................................................................................ .

346

Лекция 18................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

348

Лекция 19. ................................................................................................................................................................................................................................................................ .

350

Лекция 20................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

352

Лекция 21................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

353

Лекция 22................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

354

Лекция 23................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

355

Лекция 24................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

357

Лекция 25................................................................................................................................................................................................................................................................ ...

358

Лекция 26................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

360

Лекция 27................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

362

Лекция 28................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

364

Лекция 29................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

367

Лекция 30................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

370

6

Лекция 31................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

371

Лекция 32................................................................................................................................................................................................................................................................. ..

372

7

Лекция 1.

1. Организация курса математического анализа

2. Рекомендуемая литература

3. Разделы элементарной математики в курсе математического анализа

4. Множества и действия над ними

5. Отображения множеств

1. Организация курса математического анализа

Предлагаемый курс математического анализа предназначен для студентов математических и физических специальностей университета и рассчитан на 4 семестра. Математический анализ является базовым предметом для построения всей так называемой "непрерывной" ветви математического образования. В нем прослеживается развитие идей дифференциального и интегрального исчисления от скалярных функций одного переменного до векторных функций многих переменных и более общих пространств. Изучаются числовые и функциональные ряды, операции над ними, их роль и приложения в фундаментальных проблемах математики, физики и других наук. На современном научно-методическом уровне рассматривается теория интеграла, включающая в себя интеграл Лебега, интегралы, зависящие от параметра, криволинейные, поверхностные и интеграл Фурье.

По окончании курса студент должен владеть теоретическими знаниями, необходимыми для продолжения образования в области дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, функционального анализа, методов математической физики, теории вероятностей и статистики, численных методов, вариационного исчисления, методов оптимизации.

Лекции по теоретическим разделам сопровождаются практическими занятиями, на которых студенты овладевают навыками решения задач, иллюстрирующих теорию и имеющих самостоятельное значение. Освоение курса математического анализа предполагает, что студент готов использовать глубокие аналитические методы для решения широкого круга задач теоретического и практического содержания, способен участвовать в разработке серьезных научных и технических проблем в составе групп специалистов различного профиля.

Аттестация знаний студентов происходит в форме зачета по решению задач практического характера и экзамена по теоретическом вопросам. Как правило, зачет состоит в решении контрольных заданий по основным темам курса и проходит в письменном

8

варианте или на компьютере. Экзамен более вариативен, он может проходить в виде собеседования, устных ответов, включающих определения фундаментальных понятий и доказательства теорем, но также возможен и письменный или компьютерный способ оценки уровня и качества знаний.

2. Рекомендуемая литература

Существует огромное количество учебников и разнообразных пособий по математическому анализу. Смеем утверждать, что большинство крупных ученых, специалистов в области непрерывной математики, стремилось донести свой опыт исследования и преподавания в книгах для студентов и даже школьников. Более того, лекторы по математическому анализу в ведущих университетах России и мира писали учебники, суммируя свои взгляды на построение лекционного процесса. Наконец, известно некоторое количество книг, написанных в рамках коммерческих проектов.

Естественно, все пособия различны по назначению и качеству исполнения. Но даже лучшее из изданного далеко не равноценно. Прежде всего заметим, что архитектура курса зависит от выбранного первичного набора понятий и их развития от простого к сложному. Поэтому на первых порах вряд ли следует пользоваться разнообразными по стилю книгами. Разумнее избрать одно или несколько однородных пособий, исповедующих сходные концепции, и близкие к изложению лектора университета.

Откроем список рекомендуемых учебников двумя авторами, широко известными учеными, преподававшими математический анализ в Московском университете и Московском физико-техническом институте.

1. С.М.Никольский, Курс математического анализа, Т.1-2, М.:Наука, 1975. 2. Л.Д.Кудрявцев, Математический анализ, Т.1-2, М.:Высшая Школа, 1973.

Дополним список бестселлером прошлых лет, постепенно утрачивающим прежнее абсолютное влияние, но по-прежнему содержащему неистощимый запас задач, примеров, размышлений, иллюстрирующих теоретические положения.

3. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.1-3, М.:Наука, 1969.

Нелишне предложить двухтомник математиков, в разные периоды возглавлявших кафедру математического анализа Саратовского университета.

9

4. В.Ф.Емельянов, А.И.Барабанов, Д.В.Прохоров, Курс математического анализа, Т.1-2, Саратов: Издательство Саратовского университета, 1981.

Из зарубежных авторов выделим замечательных математиков А.Картана и Л.Шварца, написавших современные учебники высокого уровня полноты м строгости.

5. А.Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, М.:Мир, 1971. 6. Л.Шварц, Анализ, Т.1-2, М.:Мир, 1972.

В отличие от учебников, список задачников по математическому анализу относительно скуден, зато он содержит нестареющий классический сборник Б.П.Демидовича.

7.Б.П.Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М,:Наука, 1966. Удачным получился задачник математиков Московсого университета.

8.И.А.Виноградов, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий, Задачи и упражнения по математическому анализу, М.:Издательство Московского университета, 1988.

3. Разделы элементарной математики в курсе математического анализа

Начала математического анализа входят в программу старших классов средней школы. Однако теория пределов, на которой основано исчисление бесконечно малых, слишком сложна, чтобы быть строго изложенной на элементарном языке. По этой причине университетский курс повторяет заново теорию последовательностей, предел и непрерывность функции, дифференциальное исчисление, понятие первообразной и ее свойства, интегральное исчисление.

Тем не менее курс высшей математики опирается на часть сведений, относящихся к аналитическому блоку среднего образования. Выделим следующие темы.

1. Принцип полной математической индукции.

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]