Mat_Analiz_Prokhorov

Переходя к верхней грани в левой части неравенства (1), заключаем, что

I( f ) f (x)dx.

С другой стороны, функция f входит в число ступенчатых функций, удовлетворяющих неравенству fст f, поэтому множество интегралов в левой части неравенства (1) содержит число

f (x)dx,

азначит, и верхняя грань множества интегралов в левой части неравенства (1) содержит это число. Следовательно,

I( f ) f (x)dx.

Два последних неравенства приводят к заключению: если f - ступенчатая функция, то

I( f ) f (x)dx.

Симметричными рассуждениями придем к аналогичному заключению: если f - ступенчатая функция, то

I( f ) f (x)dx.

Выведем соотношение между верхним и нижним интегралами от функций f и ( f) в предположении, что все интегралы существуют

221

f ст f ( fст )(x)dx I( f ).

Вэтой цепочке равенств использовано то, что произведение ступенчатой функции на (-1) остается ступенчатой функцией, и свойство ограниченных множеств

inf ( X) = sup X,

выведенное в лекции 3. Таким образом, мы вывели соотношение

I ( f) = I(f).

Симметричными рассуждениями приходим к соотношению

I( f) = I (f).

2. Существование верхнего и нижнего интегралов

Докажем теорему существования верхнего интеграла.

Теорема 1. Если функция f финитна и ограничена, то она имеет верхний интеграл I(f). Кроме того, если f обращается в нуль вне отрезка [a, b] и удовлетворяет неравенствам

m f(x) M

на [a, b], то справедливо неравенство

222

m(b a) I (f) M(b a).

Доказательство. Финитность функции f означает, что она обращается в нуль вне некоторого отрезка = [a, b], а ограниченность функции f означает выполнение неравенств m f(x) M на [a, b] с некоторыми числами m и M.

Образуем две ступенчатые функции

не пусто, оно содержит, например, число

f2 (x)dx M (b a).

Сдругой стороны, f1 f, поэтому для всякой ступенчатой функции fст, удовлетворяющей неравенству fст f, справедливо неравенство fст f1, а следовательно,

fст (x)dx f1(x)dx m(b a).

Значит, множество чисел (2) ограничено снизу числом m(b a). Коль скоро всякое непустое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань, то верхний интеграл

I( f ) finff fст (x)dx

ст

существует. Более того, нижняя грань множества не превышает любого элемента множества, поэтому

223

I(f) M(b a).

Наконец, нижняя грань множества не меньше любой нижней границы множества, в частности,

I(f) m(b a),

что заканчивает доказательство теоремы 1.

Разумеется, то же утверждение относится к нижнему интегралу.

Следствие. Если функция f финитна и ограничена, то она имеет нижний интеграл I(f). Кроме того, если f обращается в нуль вне отрезка [a, b] и удовлетворяет неравенствам

m f(x) M

на [a, b], то справедливо неравенство

m(b a) I(f) M(b a).

Доказательство. Функция f финитна и ограничена вместе с функцией ( f), которая удовлетворяет неравенствам M f(x)m в точках отрезка [a, b]. По теореме 1 существует верхний интеграл I( f) и M(b a) I( f) m(b a). Подставляя в эти неравенства I( f) = I(f) и умножая их на ( 1), приходим к утверждению следствия и заканчиваем его доказательство.

Строго говоря, соотношение I( f) = I(f) справедливо в предположении существования каждого из написанных интегралов. Поэтому в доказательстве Следствия можно было первым шагом доказать существование нижнего интеграла I(f) средствами, аналогичными доказательству теоремы 1.

3. Свойства верхнего и нижнего интегралов

Покажем, что верхний интеграл лишь частично обладает свойствами линейности.

Теорема 2. Пусть функции f и g финитны и ограничены и 0. Тогда справедливы соотношения

224

I( f) = I(f),

I(f + g) I(f) + I(g).

Доказательство. Если функции f и g финитны и ограничены, то такими же являются и функции f и f + g. Если = 0, то функция f = 0 имеет нулевой интеграл и формула в теореме 2 очевидна.

Пусть > 0. Тогда

что доказывает первое утверждение теоремы 2. При этом использовано соображение, что если fст - произвольная ступенчатая функция, то fст/ - также произвольная ступенчатая функция.

Докажем второе утверждение теоремы 2. По свойству нижней грани множества в определении

I( f ) finff fст (x)dx

ст

для всякого > 0 найдется ступенчатая функция f1 f такая, что

f1 (x)dx I ( f ) .

Аналогично применительно к функции g для > 0 найдется ступенчатая функция g1 g такая, что

g1 (x)dx I(g ) .

Положим h1 = f1 + g1. Функция h1 является ступенчатой и удовлетворяет неравенству h1 f + g. Следовательно,

225

I(f) + + I(g) + = I(f) + I(g) + 2 .

Если в этом неравенстве перейти к пределу при 0, то получим требуемое неравенство

I(f + g) I(f) + I(g)

и заканчиваем доказательство теоремы 2.

Пользуясь связью между верхним и нижним интегралами, можем установить симметричные теореме 2 свойства нижнего интеграла.

Теорема 2 дает простой вывод геометрически очевидного неравенства I(f) I(f),

справедливого для всякой финитной ограниченной функции f. Действительно, выстроим по теореме 2 цепочку соотношений 0 = I(0) = I(f f) I(f) + I( f) = I(f) I(f),

из которой мгновенно следует нужное неравенство.

4. Интегрируемые функции и интеграл Римана

Аналитическое завершение геометрического подхода в теории интеграла выражается в следующем определении.

Определение 4. Финитная ограниченная функция f называется интегрируемой по Риману, если ее верхний и нижний интегралы равны между собой. В этом случае общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегралом Римана от функции f и обозначается

f (x)dx.

Таким образом, если функция f интегрируема по Риману, то

226

I( f ) I( f ) f (x)dx.

Как ранее отмечалось, этим свойством обладают, например, ступенчатые функции. Следовательно, все ступенчатые функции интегрируемы по Риману и интеграл Римана от ступенчатой функции совпадает с интегралом, данным ей по определению.

Приведем пример, показывающий, что существуют финитные ограниченные функции, неинтегрирумые по Риману. Пример. Обозначим

Функция называется функцией Дирихле. Эта функция ограничена. Для того, чтобы получить финитную функцию, умножим

на характеристическую функцию отрезка = [0, 1] и обозначим f = [0, 1]. Покажем, что финитная ограниченная функция f не интегрируема по Риману. Действительно, каждый промежуток, не вырождающийся в точку, содержит как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому если ступенчатая функция

m

fст е k k k 1

удовлетворяет неравенству fст f, то для всех x [0, 1], за исключением, быть может, конечного числа точек вырожденных отрезков k, выполняется неравенство fст(x) 1 и следовательно,

I( f ) finff fст (x)dx [0,1] (x)dx 1.

ст

С другой стороны, если ступенчатая функция fст удовлетворяет неравенству fст f, то f 0 и следовательно,

Таким образом, 0 = I(f) < I(f) = 1 и поэтому функция f не интегрируема по Риману.

Заметим, что из определения 4 следует, что финитные ограниченные функции f и f одновременно интегрируемы или не интегрируемы по Риману. Действительно, если функция f интегрируема по Риману, то

I(f) = I(f) I( f) = I(f) = I(f) = I( f),

227

что означает интегрируемость по Риману функции f. С другой стороны, если функция ( f) интегрируема по Риману, то функция ( f) = f также интегрируема по Риману, что доказывает одновременную интегрируемость по Риману функций f и

f.

228

Лекция 22.

1. Линейность интеграла Римана

2. Монотонность интеграла Римана

3. Аддитивность интеграла Римана

4. Интегрируемость модуля интегрируемой функции

1. Линейность интеграла Римана

Покажем, что интеграл Римана инвариантен относительно линейных операций.

Начнем доказательство с операции умножения f на скаляр . Если = 0, то утверждение теоремы 1 очевидно.

Пусть > 0. Тогда

I( f) = I(f)

229

и

I( f) = I( f) = I( f) = I(f).

Равенство правых частей в двух последних соотношениях ведет к равенству их левых частей, что доказывает интегрируемость функции f. Одновременно первое из соотношений дает первую формулу из утверждения теоремы 1.

Пусть теперь < 0. Тогда

I( f) = I( f) = I( f) = I(f) = I(f)

и

I( f) = I( f) = I( f) = I(f) = I(f).

Равенство правых частей в двух последних соотношениях ведет к равенству их левых частей, что доказывает

интегрируемость функции f. Одновременно два крайних звена первого из соотношений дают первую формулу из утверждения теоремы 1.

Перейдем к доказательству второй части теоремы 1. Свойства верхнего интеграла выражаются в неравенствах

I(f + g) I(f) + I(g)

и

I(f + g) = I( f g) I( f) I( g) = I(f) + I(g).

Равенство правых частей двух последних соотношений ведет к неравенству

I(f + g) I(f + g),

в котором возможен лишь знак равенства. Следовательно,

I(f + g) = I(f + g),

что доказывает интегрируемость суммы f + g. Последний вывод получен как следствие неравенств, выражающих свойства верхнего интеграла. Знак равенства на последней стадии возможен лишь в случаях наличия знака равенства во всех предыдущих неравенствах. Следовательно, например,

I(f + g) = I(f) + I(g),

230