Mat_Analiz_Prokhorov

341

Лекция 16

1.Пусть функции f и g удовлетворяют условиям:непрерывны на отрезке [a,b];дифференцируемы на интервале (a,b) g(a) g(b) и f '(x) и g'(x) не обращаются в 0 одновременно на [a,b].

Верно ли, что обязательно найдется точка с (a,b) такая, что

f '(c) f (b) f (a) . g' (c) g(b) g (a)

2.Какую из следующих функций g следует выбрать в теореме Коши о среднем значении, чтобы она превратилась в теорему Лагранжа о среднем значении

a)g(x)=x; b)g(x)=|x|; c)g(x)=f(x);

3.Пусть функции f и g удовлетворяют условиям:

дифференцируемы в некоторой -окрестности точки x0 , за исключением самой точки x0;

В каком из случаев предел

lim f (x)g(x)

x x0

существует и равен –l.

4.Пусть функции f и g удовлетворяют условиям:

дифференцируемы в некоторой -окрестности точки х0, за исключением самой точки х0;

limx x0 f (x) 1и limx x0 g(x) ; существует предел

342

Верно ли, что предел

lim f (x)g ( x)

x x0

существует и равен e-l.

5.Пусть функции f и g удовлетворяют условиям :

дифференцируемы в некоторой -окрестности точки х0, за исключением самой точки х0;

существует предел

Верно ли, что предел

lim f (x)g ( x)

x x0

существует и равен e-l

6.Пусть функции f и g удовлетворяют условиям:

дифференцируемы в некоторой -окрестности точки х0, за исключением самой точки х0;

существует предел

Верно ли, что предел

lim f (x)g ( x)

x x0

существует и равен e-l.

343

7.Пусть функции f и g удовлетворяют условиям:

дифференцируемы в некоторой -окрестности точки х0, за исключением самой точки х0;

существует предел

lim e f (x) f '(x) l > 0.

x x0 eg (x) g '(x)

Верно ли, что предел

lim( f (x) g(x))

x x0

существует и равен log l.

8.Пусть f (x) x и g(x) x2 1 .В каком из следующих пределов применение правила Лопиталя эффективно приводит к ответу

a)lim x f (x) ; g(x)

b)lim x g(x) ; f (x)

344

Лекция 17.

1. Пусть функция f дифференцируема на интервале (a,b) и f x > 0 всюду, за исключением конечного числа точек. Верно ли, что функция f обязательно является строго возрастающей на (a,b)?

2.Пусть функция f дифференцируема на интервале (a,b) и f x > 0 всюду, за исключением счетного числа точек. Верно ли, что функция f обязательно является строго возрастающей на (a,b)?

3.Пусть функция бесконечно мала при x x0 и дифференцируема в -окрестности точки x0 , за исключением точки x0 . Верно ли, что функция

f x x x x0 2

обязательно дважды дифференцируема в -окрестности точки x0 ?

4. Пусть функция f дифференцируема (n+1) раз в -окрестности точки x0 и остаток Лагранжа в формуле Тейлора равен

fnn 1 c x x0 n 1 .

1 !

Верно ли, что f n 1 c x x0 стремится к 0 при x x0 ?

5. Предположим, что функция f трижды дифференцируема в точке x0 и удовлетворяет условиям:

fx0 f " x0 0 ;

f"' x0 > 0 .

Какое из следующих утверждений можно высказать о функции f

a)имеет локальный максимум в точке x0 ;

b)имеет локальный минимум в точке x0 ;

c)не имеет локального экстремума в точке x0 ;

d)нельзя дать достоверного ответа.

6. Предположим, что функция f четырежды дифференцируема в точке x0 и удовлетворяет условиям:

f ' x0 f " x0 f "' x0 0 ;

f 4 > 0 .

345

Какое из следующих утверждений можно высказать о функции f

a)имеет локальный максимум в точке x0 ;

b)имеет локальный минимум в точкеx0 ;

c)не имеет локального экстремума в точке x0 ;

d)нельзя дать достоверного ответа.

7.Предположим, что функция f бесконечное число раз дифференцируема в точке x0 и все ее производные любого порядка

вточке x0 обращаются в 0.

Какое из следующих утверждений можно высказать о функции f

a)имеет локальный максимум в точке x0 ;

b)имеет локальный минимум в точке x0 ;

c)не имеет локального экстремума в точке x0 ;

d)нельзя дать достоверного ответа.

346

Лекция 18.

1.Пусть A и B - выпуклые множества. Какое из следующих множеств обязательно выпукло

a)A B;

b)A B;

c)A\B.

2.Какое из следующих множеств не является выпуклым (a > 0, b > 0, p > 0)

a)

c)

y2 2 px.

3. Какие из следующих функций выпуклы на своих множествах определения

b)y=sinx, /2 x 5 /2;

c)y=x, x ;

d)y=x2, x ;

e)y=x3, x ;

f)y= x , x ;

347

4.Применим ли критерий выпуклости к функции y= x ?

5.Пусть функция y=f(x) дифференцируема и выпукла на отрезке [a, b]. Будет ли функция y=f (x) обязательно выпуклой на [a,b]?

6.Приведите пример функции, которая выпукла на вещественной оси вместе со своими производными любого порядка.

7.Для каких натуральных n функция y=xn является выпуклой на вещественной оси?

8.Для каких натуральных n функция y=xn имеет точку перегиба x=0?

9.Пусть функции f(x) и g(x) выпуклы на отрезке [a,b]. Какая из следующих функций обязательно выпукла на [a,b]

a)f(x) + g(x);

b)f(x) g(x);

c)f(x)g(x).

10.Пусть функция y=f(x) выпукла на отрезке [a,b]. Будет ли функция y= f(x) на этом отрезке

a)выпуклой;

b)вогнутой;

c)иметь точки перегиба.

348

Лекция 19.

1.Пусть функция f имеет первообразную на интервале (a,b) и c (a,b). Существует ли первообразная F функции f такая, что F(c) = 0.

2.Пусть функция f имеет первообразную на интервалах (a,c) и (c,b). Верно ли, что функция f обязательно имеет первообразную на интервале (a,b)?

3. Пусть функция f имеет первообразную F на интервале (a,b) и на этом интервале f (x) 0. Можно ли утверждать, что на интервале (a,b) функция F

a)не убывает;

b)не возрастает;

c)не монотонна;

d)может обладать любым из свойств.

4.Пусть функция f имеет первообразную F на интервале (a,b) и на этом интервале f не убывает. Верно ли, что функция F выпукла на интервале (a,b)?

5.Пусть функция f является многочленом степени n. Можно ли утверждать, что первообразная F функции f

a)является многочленом степени n;

b)является многочленом степени (n-1);

c)является многочленом степени (n+1);

d)не является многочленом.

6. Пусть функция f имеет первообразную на отрезке [a,b]. Верно ли, что найдется точка c (a,b) такая, что

b

f (x)dx f (c)(b a) .

a

7.Пусть функция f имеет первообразную на отрезке [-a,a], которая является четной функцией на отрезке [-a,a]. Можно ли утверждать, что на отрезке [-a,a] функция f

a)является четной;

349

b)является нечетной;

c)не является ни четной, ни нечетной;

d)может обладать любыми свойствами.

350