Mat_Analiz_Prokhorov

также называется формулой Симпсона приближенного вычисления интеграла. Именно ее будем принимать основной формулой Симпсона.

2. Оценка погрешности формулы Симпсона

Оценим погрешность r2n формулы Симпсона (2).

Теорема 1 Пусть функция f четырежды дифференцируема на отрезке [a, b] и на этом отрезке выполняется неравенство

f (4)(x) M. Тогда справедлива следующая оценка погрешности r2n формулы Симпсона приближенного вычисления интеграла Римана

r2 n M b a 5 . 2880n4

Доказательство. Пусть сначала n = 1. Оценим погрешность r2 = r21 формулы Симпсона (1). Предварительно вычислим интеграл

и

321

Теперь применяя для K, определенного в теореме 3 лекции 30, оценку

R2(x) K(x a)(x c)(x b) = f(x) L2(x) K(x a)(x c)(x b)

погрешности приближения функции f ее интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени L2, произведем оценивание

b R2 x K x a x c x b dx

a

В последнем интеграле совершим замену переменной y = x c

и легко вычислим его

322

Подставляя вычисленный интеграл в предыдущую цепочку неравенств, получим оценку

что доказывает теорему 1 для n = 1.

Для произвольного n применим найденную оценку на каждой части k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, отрезка [a, b] с заменой b a на длину k отрезка k, k = (b a)/n. Погрешность r2n формулы Симпсона на отрезке [a, b] не превышает суммы погрешностей на каждом из отрезков k. Это соображение позволяет найти оценку

что завершает доказательство теоремы 1.

323

Вопросы для тестирования и контроля

Лекция 1 Лекция 2 Лекция 3 Лекция 4 Лекция 5 Лекция 6 Лекция 7 Лекция 8 Лекция 9 Лекция 10 Лекция 11 Лекция 12 Лекция 13 Лекция 14 Лекция 15 Лекция 16 Лекция 17 Лекция 18 Лекция 19 Лекция 20 Лекция 21 Лекция 22 Лекция 23 Лекция 24 Лекция 25 Лекция 26 Лекция 27 Лекция 28

324

Лекция 29 Лекция 30 Лекция 31 Лекция 32

Лекция 1.

1.Пусть А и В - множества. Какое из следующих множеств содержит А

a)A В;

b)А В

c)A\B

2.Пусть А и В - множества. Какие из следующих множеств содержатся в А

a)A В;

b)А В;

c)A\B

3.Пусть площади множеств А, В и А В равны 5, 7 и 2. Чему равна площадь A В?

4.Пусть отображение f : X→ Y, Y=[0,1] , задается формулой f(x)=x2 . Для каких множеств X функция f является отображением на?

a)X=[0,1];

b)X=[-1,1];

c)X=[-0.5,0.5];

d)X=[-1,-0.5] [0,0.5]

5.Пусть отображение f : X →Y, Y=[0,1 ], задается формулой f (x) x2 . Для каких множеств X функция f является взаимно однозначным отображением?

a)X=[0,1];

325

b)X=[-1,1];

c)X=[-0.5,0.5];

d)X=[-1,-0.5] [0,0.5]

6. Пусть отображение f : X →Y, X=[0,+∞), Y=[0,+ ∞ ] ,задается формулой f (x) x2 . Какой формулой задается отображение f -1 , обратное к f ?

7.Пусть отображения f : X→X, и g : X→X, X=(-∞,+∞), задаются формулами f(x)=x2 и g(x)=sin x. Построить сложные отображения f g и g f .

326

Лекция 2

1.Какое из следующих множеств является счетным

a)X {(x1, x2 ) : x1 , x2 }

b)X {(x1, x2 ) : x1 , x2 }

c)X {(x1, x2 ) : x1 , x2 }

2. Пусть X jk , j Н, k Н - счетные множества. Будет ли счетным множество

X jk .

j 1 k 1

3.Пусть множество X состоит из всех бесконечных десятичных дробей x 0. 1 2... n ...,

не имеющих в своем разложении цифр 9 и 8. Будет ли множество X счетным?

4. Пусть X {(x1, x2 ) : x1 0 , x2 0} , где С0 С 0,1 . Являются ли множества X и 0 равномощными?

327

Лекция 3

1.Пусть X и Y - ограниченные множества. Какая из следующих формул справедлива

a)sup(X Y ) sup X supY

b)sup(X Y ) sup X supY

c)sup(X Y ) max{sup X ,supY}

2.Пусть X и Y - ограниченные множества, X Y. Какое из следующих соотношений справедливо

a)sup X supY

b)sup X supY

c)sup X supY

3.Пусть X и Y - ограниченные множества, X Y. Какое из следующих соотношений справедливо

a)inf X inf Y

b)inf X inf Y

c)inf X inf Y

4.Пусть M1 и M2 - верхние границы множества X. Верно ли, что M1 + M2 тоже является верхней границей множества X ?

5.Верно ли, что если = sup X, то X ?

6.Пусть X = {х R : х2 < 2}. Найти sup X и inf X.

7.Пусть X = {х Q : х2 < 2}. Найти sup X и inf X.

8.Пусть X {1, 12 , 13 ,..., 1n ,...}. Найти sup Х и inf X.

328

Лекция 4

1.Пусть даны ограниченные последовательности x1 , x2 ,..., xn ,... и y1, y2 ,..., yn ,... Образуем соединенную последовательность x1, y1, x2 , y2 ,..., xn , yn ,... Будет ли соединенная последовательность ограниченной?

329

5.Пусть существует limn (xn yn ) 0. Верно ли, что существуют limn xn и limn yn ?

6.Пусть последовательность x1 , x2 ,..., xn ,... сходится, а последовательность y1 , y2 ,..., yn ,... расходится. Как ведет себя сумма этих двух последовательностей?

7.Пусть limn xn limn yn . Верно ли, что xn yn для всех n, начиная с некоторого номера n0 ?

330