Mat_Analiz_Prokhorov

c.Пусть limn xn limn yn 1. Верно ли, что

a)nlim (xn yn ) 2;

b)nlim (xn yn ) 1.

b) lim (xn yn ) 1.

n

331

Лекция 7

1. Пусть последовательность x1, x2 ,..., xn ,... обладает свойством

Является ли это условие

a)необходимым;

b)достаточным;

c)необходимым и достаточным;

d)ни необходимым, ни достаточным условием сходимости последовательности?

2.Пусть последовательность x1 , x2 ,..., xn ,... ограничена. Можно ли из нее выделить фундаментальную подпоследовательность?

3.Пусть последовательность x1 , x2 ,..., xn ,... монотонна и ограничена. Является ли она фундаментальной?

4.Пусть последовательность x1 , x2 ,..., xn ,... фундаментальна. Можно ли из нее выделить монотонную подпоследовательность?

8.Пусть q,| q | 1 - знаменатель геометрической прогрессии. При каком условии на q частные суммы геометрического ряда еbqn 1 образуют монотонную последовательность?

332

an 1 l. an

Верно ли, что limn n| an | l ?

333

Лекция 9

1.Пусть один из двух рядов еan и еan сходится, а другой - расходится. Можно ли утверждать, что ряд еan

a)сходится;

b)абсолютно сходится;

c)условно сходится;

d)расходится.

2. Пусть ряды еan и еbn абсолютно сходятся. Можно ли утверждать, что ряд е(an bn )

a)сходится;

b)абсолютно сходится;

c)условно сходится;

d)расходится.

3. Пусть ряд еan абсолютно сходится, а ряд еbn условно сходится. Можно ли утверждать, что ряд е(an bn )

a)сходится;

b)абсолютно сходится;

c)условно сходится;

d)расходится.

4. Пусть ряды еan и еbn условно сходятся. Можно ли утверждать, что ряд е(an bn )

a)сходится;

b)абсолютно сходится;

c)условно сходится;

d)расходится.

5. Пусть выполняются два условия: ряд еbn сходится;

последовательность a1,a2 ,...,an ,... монотонна и сходится к 0 при n Верно ли, что ряд еanbn сходится?

6. Пусть ряд еan условно сходится. Можно ли утверждать, что ряд е( 1)n 1 an сходится?

334

Лекция 10

1.Пусть числовой ряд еan условно сходится. Можно ли переставить члены ряда так, чтобы частные суммы нового ряда стремились к ?

2.Пусть ряд

е(ank 1 1 ank 1 2 ... ank )

сходится. Верно ли, что ряд еan обязательно сходится?

3. Пусть бесконечное произведение Хan сходится. Верно ли, что

lim an 1.

n

4. Пусть an > 1,n 1, и числовой ряд еan сходятся. Верно ли, что бесконечное произведение Х(1 an ) сходится?

335

Лекция 11

1.Какие из следующих функций имеют предел в точке 0 на множестве их определения

a)y x;

b)y 1x ;

c)y ex ;

d)y log x;

e)y tg x;

f)y ctg x;

g)y | x |;

Будет ли функция непрерывной в какой-либо точке?

в точке x0 ?

8.Пусть функция f разрывна в точке x0 . Может ли функция f 2 быть непрерывной в точке x0 ?

336

Является ли точка x0 =1 для функции f

a)точкой непрерывности;

b)точкой устранимого разрыва;

c)точкой разрыва 1 рода;

d)точкой разрыва 2 рода.

3.Пусть функция f имеет в точке x0 разрыв 1 рода. Верно ли, что функция y=g(x)=sin f(x) обязательно разрывна в точке x0 ?

4.Пусть функция f имеет в точке х0 разрыв 2 рода. Верно ли, что функция y=g(x)=sin f(x) обязательно разрывна в точке x0 ?

5.Пусть функция f имеет в точке х0 разрыв 1 рода. Верно ли, что функция y=g(x)=e f ( x) обязательно разрывна в точке x0 ?

6.Пусть функция f имеет в точке x0 разрыв 2 рода. Верно ли, что функция y=g(x)=e f ( x) обязательно разрывна в точке x0 ?

7.Пусть функции f, g и h бесконечно малы при x x0 и

f(x)= (g(x)) и g(x)= (h(x))

Верно ли, что f(x)= (h(x))?

8. Пусть функции f, g и h бесконечно малы при x x0 и

f(x)=O (g(x)) и g(x)=O (h(x))

337

Верно ли, что f(x)=O (h(x))?

9. Пусть функции f, g и h бесконечно малы при x x0 и

f(x)= (g(x)) и g(x)=O (h(x))

Верно ли, что f(x)= (h(x))?

338

Лекция 13

1.Какие из следующих функций равномерно непрерывны на R

a)f (x) x;

b)f (x) ex ;

c)f (x) sin x;

d)f (x) sin2 x;

e)f (x) sin x2 ;

2. Пусть функции f и g равномерно непрерывны на множестве X . Верно ли, что функция f g обязательно является равномерно непрерывной на множестве X ?

3.Пусть функция f непрерывна и ограничена на множестве R . Верно ли, что обязательно является равномерно непрерывной на R ?

4. Пусть функция f равномерно непрерывна на множестве X . Верно ли, что f обязательно ограничена на X ?

5.Пусть функция f равномерно непрерывна на множестве X . Верно ли, что функция y g(x) f 2 (x) обязательно равномерно непрерывна на X ?

6. Пусть функция f равномерно непрерывна на множестве X . Верно ли, что функция y g(x) sin f обязательно равномерно непрерывна на X ?

7.Пусть функция f непрерывна и ограничена на множестве X и достигает на X своего максимума и минимума . Верно ли, что f обязательно принимает значение

2

внекоторой точке x0 X ?

339

Лекция 14

1. Пусть функция f непрерывна на R ,

Принимает ли функция промежуточные значения между 0 и 1?

2. Какие из следующих функций имеют обратные функции на отрезке [0,1]

3.Какие из следующих функций дифференцируемы в точке x0 0

a)f (x) | x |;

b)f (x) | sin x |;

c)f (x) | x3 |;

d)f (x) | x |;

4.Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0 , f (x0 ) g(x0 ) и f (x) g(x) для x > x0 . Верно ли, что обязательно

340