Mat_Analiz_Prokhorov

3. Интеграл от ступенчатых функций

Теперь определим функции, графики которых изображают верхние или нижние стороны нескольких прямоугольников с основаниями 1, 2, ..., n.

Определение 3. Пусть 1, 2, ..., n - множества одного из типов (1) и 1, 2, ..., n - действительные числа. Тогда функция

n

(2) f е k k

k 1

называется ступенчатой функцией.

Представление (2) не единственно. От произвольного представления (2) можно перейти, в частности, к такому, в котором используются характеристические функции непересекающихся множеств. Например, пусть в представлении (2) два

множества k и j имеют непустое пересечение. Тогда

где множества 1 , 2 , 3 - попарно непересекающиеся.

211

Так как k = 1 2 и j = 2 3 , то

k k + j j = k 1 + ( k + j) 2 + j 3 .

Произведем в представлении (2) замену по этой формуле. Переходя к остальным парам пересекающихся множеств в измененном представлении (2), найдем новое представление

m

(3) f е k 'k

k 1

с непересекающимися множествами 1 , 2 , ..., m . Заметим, что переход к представлению (3) с непересекающимися множествами произошел вследствие дробления промежутков исходного представления (2) на более мелкие.

График функции (3) изображается ступеньками на высоте k, расположенными над множествами k , и частью оси OX, находящейся вне 1 2 ... m .

212

Рис. 10. График функции f = еmk=1 k k .

Если f и g - ступенчатые функции, то сумма f + g и произведение fg также являются ступенчатыми функциями. В представлениях для f и g можем использовать один и тот же набор множеств. Действительно, если

где множества 1, 2, ..., n - попарно непересекающиеся и множества 1 , 2 , ..., m - попарно непересекающиеся, то положим

213

kj = k j .

Тогда

и

Следовательно,

В этих представлениях некоторые из множеств kj могут оказаться пустыми. В этом случае "kj . Снова заметим, что переход

к одинаковым непересекающимся множествам в представлениях для f и g произошел вследствие дробления промежутков исходных представлений на более мелкие.

Процедура перехода к одинаковым множествам применима и в случае f = g, то есть для разных представлений (2) одной и той же функции f.

Определим интеграл от ступенчатой функции. Если - одно из множеств (1), то будем обозначать через = b a длину .

Определение 4. Пусть f - ступенчатая функция,

n

f е k k

k 1

Тогда число

214

n

f е k k

k 1

называется интегралом Римана от функции f и обозначается

f (x)dx.

Таким образом, согласно определению 4

Покажем, что определение 4 интеграла от ступенчатой функции не зависит от способа ее представления. Действительно, если ступенчатая функция f имеет два разных представления, то как мы показали, дроблением множеств в каждом из представлений на более мелкие можно оба представления свести к одному общему представлению с непересекающимися множествами. Таким образом, для доказательства независимости интеграла от ступенчатой функции от ее представления

достаточно показать, что интеграл не меняется при дроблении любого из множеств k одного из типов (1) на более мелкие части.

Пусть

= 1 2,

где множества 1 и 2 имеют пустое пересечение. Тогда

Следовательно,

(x)dx 1 2 1 (x)dx 2 (x)dx,

215

что показывает совпадение интеграла от ступенчатой функции на множестве и той же функции на множествах 1 и 2. Значит, однократное дробление промежутка на части не меняет интеграла, и то же происходит при дальнейшем многократном дроблении.

4. Свойства интеграла от ступенчатых функций

Докажем, что интегралы от ступенчатых функций линейны и монотонны. Следующая теорема выражает свойство линейности.

Доказательство. Мы уже установили, что f и f + g - ступенчатые функции. Кроме того, обе функции f и g можно представить линейными комбинациями характеристических функций одного и того же набора непересекающихся множеств. Осталось вывести формулы теоремы 1.

Пусть

Тогда

Отсюда выводим формулы

nn

f (x)dx е k k е k k f (x)dx

216

и

f (x)dx g(x)dx,

что заканчивает доказательство теоремы 1.

Свойство монотонности интеграла от ступенчатых функций выражается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть f и g - ступенчатые функции и для всех x выполняется неравенство f(x) g(x). Тогда справедливо неравенство

f (x)dx g(x)dx.

Доказательство. Представим функции f и g линейными комбинациями характеристических функций одного и того же набора непересекающихся множеств. Пусть

Неравенство f(x) g(x) влечет неравенство k k, справедливое для всех k = 1, 2, ..., n. Теперь цепочка соотношений

217

заканчивает доказательство теоремы 2.

218

Лекция 21.

1. Верхний и нижний интегралы

2. Существование верхнего и нижнего интегралов

3. Свойства верхнего и нижнего интегралов

4. Интегрируемые функции и интеграл Римана

1. Верхний и нижний интегралы

Нам удобно рассматривать функции, заданные на всей числовой оси. Однако интеграл как площадь криволинейной трапеции следует определять, по крайней мере на первом этапе, на отрезке. Поэтому будем считать, что вне этого отрезка функция принимает нулевые значения. Такое соглашение обоюдно выгодно: оно позволяет все функции рассматривать на числовой оси, а геометрический подход сохраняет силу, так как вне заданного отрезка график функции совпадает с осью OX и образует фигуру с нулевой площадью.

219

Рис. 1. Доопределение функции f на всю ось OX.

Определение 1. Функция f называется финитной, если она определена на и обращается в нуль вне некоторого отрезка [a, b].

Обратим внимание, что все ступенчатые функции финитны.

Реализация идеи об исчерпании криволинейной трапеции прямоугольниками изнутри и подсчету верхней грани сумм их площадей выражается аналитически в следующем определении.

Определение 2. Пусть функция f финитна и ограничена. Тогда число

sup fст (x)dx,

fст f

где fст - ступенчатые функции, называется нижним интегралом от функции f и обозначается I(f).

Аналогично исчерпание криволинейной трапеции прямоугольниками извне и подсчет нижней грани сумм их площадей выражается аналитически в определении 3.

Определение 3. Пусть функция f финитна и ограничена.Тогда число

finff fст (x)dx,

ст

где fст - ступенчатые функции, называется верхним интегралом от функции f и обозначается I(f).

В каждом из определений 2 и 3 требование финитности и ограниченности функции f совершенно естественно, потому что иначе не найдется ступенчатой функции fст, удовлетворяющей неравенству fст f или fст f.

Если функция f сама является ступенчатой, то из неравенства fст f следует неравенство между интегралами

220