Mat_Analiz_Prokhorov

что ввиду произвольности x (x0, x1) заканчивает доказательство теоремы 1.

3. Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом второй степени

Докажем сначала вспомогательную теорему.

Теорема 2 Пусть функция f дифференцируема на отрезке [x0, x2] и L2 - ее интерполяционный многочлен Лагранжа для точек x0, x1 и x2. Тогда существует число K такое, что функция g,

g(x) = f(x) L2(x) K(x x0)(x x1)(x x2),

удовлетворяет условиям

g(x0) = g(x1) = g(x2) = 0 и g (x1) = 0.

Доказательство. Так как L2(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2, то условия g(x0) = g(x1) = g(x2) = 0 выполняются тривиально. Функция g дифференцируема на отрезке [x0, x1], как и функция f. Условие g (x1) = 0 равносильно уравнению

f (x1) L 2(x1) K(x1 x0)(x1 x2) = 0, из которого находим число K,

и заканчиваем доказательство теоремы 2.

Теперь можем оценить погрешность приближения функции f ее интерполяционным многочленом Лагранжа L2.

Теорема 3 Пусть функция f четырежды дифференцируема на отрезке [x0, x2] и на этом отрезке выполняется неравенство f (4)(x) M. Обозначим через L2 интерполяционный многочлен Лагранжа функции f для точек x0, x1 и x2 и положим

301

Тогда для погрешности R2(x) = f(x) L2(x) приближения функции f ее интерполяционным многочлениом Лагранжа L2 справедлива оценка

R2(x) K(x x0)(x x1)(x x2) = f(x) L2(x) K(x x0)(x x1)(x x2) = g(x).

Число K выбрано так, что по теореме 2 выполняется условие g (x1) = 0. Таким образом, функция g четырежды дифференцируема на отрезке [x0, x2] и удовлетворяет условиям

g(x0) = g(x1) = g(x2) = 0 и g (x1) = 0. Выберем произвольно число C и обозначим

(x) = g(x) C(x x0)(x x1)2(x x2).

Функция , как и функция g, четырежды дифференцируема на отрезке [x0, x2] и удовлетворяет условиям(x0) = (x1) = (x2) = 0 и (x1) = 0.

Зафиксируем произвольно x (x0, x2), x x1. Пусть, например, x (x0, x1). Для x (x1, x2) рассуждения симметричны. Потребуем, чтобы выполнилось условие (x ) = 0, которое равносильно равенству

При таком выборе числа C функция обращается в нуль в точках x0, x , x1 и x2 и (x1) = 0.

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы 3

По теореме Ролля, примененной к функции , найдутся точки 1 (x0, x ), 2 (x , x1) и 3 (x1, x2) такие, что

302

( 1) = ( 2) = ( 3) = 0.

Таким образом, функция обращается в нуль в точках 1, 2, x1 и 3.

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству теоремы 3.

На этот раз применим теорему Ролля к функции на отрезке [ 1, 3], согласно которой найдутся точки 4 ( 1, 2), 5 ( 2, x1) и 6 (x1, 3) такие, что

( 4) = ( 5) = ( 6) = 0.

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству теоремы 3.

По теореме Ролля, примененной к функции на отрезке [ 4, 6], найдутся точки 7 ( 4, 5) и 8 ( 5, 6) такие, что( 7) = ( 8) = 0.

Наконец, по теореме Ролля, примененной к функции на отрезке [ 7, 8], найдется точка ( 7, 8) такая, что(4)( ) = 0.

Но (L2(x) + K(x x0)(x x1)(x x2))(4) тождественно обращается в нуль на всей числовой оси, потому что L2(x) + K(x x0) (x x1)(x x2) является многочленом третьей степени. Краткими вычислениями находим, что [(x x0)(x x1)2(x x2)](4) = 4!. Следовательно, условие (4)( ) = 0 равносильно уравнению

0 = (4)( ) = f (4)( ) 4!C, из которого видим, что

303

Теперь находим оценку для R2(x ) K(x x0)(x x1)(x x2)

R2(x ) K(x x0)(x x1)(x x2) = g(x ) =

(x ) + C(x x0)(x x1)2(x x2) = C (x x0)(x x1)2(x2 x ) =

что ввиду произвольности x (x0, x2) заканчивает доказательство теоремы 3.

304

Лекция 31.

1. Формула прямоугольников приближенного вычисления интегралов

2. Оценка погрешности формулы прямоугольников

3. Формула трапеций приближенного вычисления интегралов

4. Оценка погрешности формулы трапеций

1. Формула прямоугольников приближенного вычисления интегралов

Опишем метод приближенного вычисления интегралов Римана, основанный на замене подынтегральной функции f ее интерполяционным многочленом Лагранжа. Начнем с простейшего случая интерполяционного многочлена нулевой степени.

Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b]. Середину отрезка [a, b] обозначим через c, c = (a + b)/2. Интерполяционный многочлен нулевой степени L0, принимающий одинаковое с функцией f значение в точке c, имеет вид

L0(x) = f(c).

305

Рис. 1. Иллюстрация интерполяционного многочлена нулевой степени L0, принимающего одинаковое с функцией f значение в точке c

Заменяя под знаком интеграла Римана на отрезке [a, b] функцию f на L0, получим приближенное значение интеграла

Здесь значение f(c)(b a) является приближенным значением интеграла от функции f на отрезке [a, b], а r0 выражает погрешность приближения. Формула

a

называется формулой прямоугольников приближенного вычисления интеграла.

306

С точки зрения пользователя важно знать приближенное значение интеграла. С точки зрения теоретической математики еще важнее уметь оценивать погрешность приближенного значения.

Прежде чем найти оценку погрешности, создадим более общую формулу прямоугольников, обещающую значительно повысить точность приближения. Для этого разобьем отрезок [a, b] на n отрезков равной длины. Пусть P = {x0, x1, x2, ..., xn 1, xn} - такое разбиение,

xk a b n a k, k 0,1,..., n.

Середину каждого из отрезков k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, обозначим через ck,

и на каждом из отрезков k применим формулу (1).

307

Рис. 2. Иллюстрация интерполяционного многочлена нулевой степени L0, принимающего одинаковое с функцией f значение

вкаждой точке ck.

Врезультате выводим формулу приближенного вычисления интеграла

Здесь b n a еnk 1 f ck является приближенным значением интеграла от функции f на отрезке [a, b], а r0n выражает погрешность приближения. Формула

также называется формулой прямоугольников приближенного вычисления интеграла. Именно ее будем принимать основной формулой прямоугольников.

2. Оценка погрешности формулы прямоугольников

Оценим погрешность r0n формулы прямоугольников (2).

Теорема 1 Пусть функция f дважды дифференцируема на отрезке [a, b] и на этом отрезке выполняется неравенство f

(x) M. Тогда справедлива следующая оценка погрешности r0n формулы прямоугольников приближенного вычисления интеграла Римана

r0 n M b a 3 .

24n2

Доказательство. Пусть сначала n = 1. Оценим погрешность r0 = r01 формулы прямоугольников (1). По теореме о формуле Тейлора с остатком Лагранжа, примененной к функции f с точкой x0 = c = (a + b)/2, для любой точки x [a, b], x c, найдется точка , находящаяся между x и c, такая, что справедлива формула

308

Теперь, пользуясь этим разложением и формулой (1), произведем оценку

b

r01 f x L0 x dx

a

что доказывает теорему 1 для n = 1.

309

Для произвольного n применим найденную оценку на каждой части k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, отрезка [a, b] с заменой b a на длину k отрезка k, k = (b a)/n. Погрешность r0n формулы прямоугольников на отрезке [a, b] не превышает суммы погрешностей на каждом из отрезков k. Это соображение позволяет найти оценку

что заканчивает доказательство теоремы 1.

3. Формула трапеций приближенного вычисления интегралов

Перейдем к случаю интерполяционного многочлена Лагранжа первой степени. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b]. Интерполяционный многочлен первой степени L1, принимающий одинаковые с функцией f значения в точках a и b, имеет вид

310