Mat_Analiz_Prokhorov

Лекция 20.

1.Пусть =[a,b]. Можно ли представить характеристическую функцию как сумму конечного числа характеристических функций отрезков 1, 2 ,..., n

n

=е k .

k 1

2. Пусть даны отрезки 1, 2 ,..., n ,…. Верно ли, что обязательно существует отрезок такой, что

=е n .

n 1

3.Верно ли, что сходящаяся в каждой точке x сумма ряда е fn , состоящая из ступенчатых функций fn , обязательно является ступенчатой функцией?

4. Пусть f - ступенчатая функция. Будет ли функция y e f x обязательно ступенчатой функцией?

5.Пусть f - ступенчатая функция. Какие из следующих неравенств обязательно справедливы

a)R f x dx R f x dx ;

b)R f x dx R f 2 x dx ;

c)R f x dx R f x dx ;

d)R f x dx R f x dx.

6.Пусть f и g - ступенчатые функции и для всех x R справедливо неравенство f(x) g(x). Верно ли, что обязательно выполняется неравенство

R f 2 x dx R g2 x dx.

7.Пусть f и g - ступенчатые функции и для всех x R справедливо неравенство |f(x)| |g(x)|. Верно ли, что обязательно выполняется неравенство

R f 2 x dx R g2 x dx.

351

Лекция 21.

1. Пусть функция f непрерывна на всей числовой оси . Будет ли функция f [a,b] обязательно непрерывной на ?

2.Пусть функция f непрерывна на всей числовой оси . Будет ли функция f [a,b] обязательно ограниченной на ?

3.Пусть функции f и g финитны и ограничены. Какие из следующих неравенств обязательно справедливыa)

I( f g) I( f ) I(g); b) I ( f g) I ( f ) I(g); c) I ( f g) I ( f ) I(g); d) I( f g) I( f ) I(g);

4. Пусть функции f и g финитны и ограничены и

I( f ) I( f ) 1, I(g) I(g) 1,

I( f g) I ( f ) I(g) 2.

Будет ли функция f+g обязательно интегрируемой по Риману?

352

Лекция 22.

1.Пусть функция f не интегрируема по Риману и 0 . Будет ли функция f обязательно неинтегрируемой по Риману?

2.Пусть функция f интегрируема по Риману, а функция g не интегрируема по Риману. Будет ли функция f+g обязательно неинтегрируемой по Риману?

3.Пусть функции f и g не интегрируемы по Риману. Будет ли функция f+g обязательно неинтегрируемой по Риману?

4.Пусть функция f интегрируема по Риману на множестве E и E1 E2. Будет ли функция f обязательно интегрируемой на множестве E1?

5.Пусть функция f интегрируема по Риману на множествах E1 и E2. Будет ли функция f обязательно интегрируемой на множестве E1 E2?

6.Пусть функция f интегрируема по Риману на каждом из множеств E1, E2,…, En,…. Будет ли функция f обязательно интегрируемой по Риману на множестве E= n 1 En?

7.Пусть функция |f | интегрируема по Риману. Будет ли обязательно функция f интегрируемой по Риману?

8.Пусть функции f и g интегрируемы по Риману и функция h=max{f,g} задается формулой

Будет ли функция h обязательно интегрируемой по Риману?

9. Пусть функции f и g интегрируемы по Риману и функция h=min{f,g} задается формулой

Будет ли функция h обязательно интегрируемой по Риману?

353

Лекция 23.

1.Пусть для произвольной последовательности P1,P2,…,Pn,… разбиений отрезка [a,b] такой, что limn diamPn 0, и произвольной последовательности наборов точек 1, 2 ,..., n ,... выполняется условие

limn S(Pn , n ; f ) I.

Является ли это условие

a)необходимым;

b)достаточным;

c)необходимым и достаточным;

d)ни необходимым, ни достаточным

для интегрируемости по Риману функции f на отрезке [a,b]?

2. Пусть функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,b]. Верно ли, что обязательно выполняется условие

> 0 > 0 P1, P2 1, 2 0 diamP1 и 0 diamP2

S(P1 , 1; f ) S (P2 , 2 ; f ) .

3. Пусть для функции f на отрезке [a,b] выполняется условие

> 0 > 0 P1, P2 1, 2 0 diamP1 и 0 diamP2

S(P1 , 1; f ) S (P2 , 2 ; f ) .

Верно ли, что функция f обязательно интегрируема по Риману на отрезке [a,b]?

Предположим, что P', P' P, - более мелкое по сравнению с P разбиение отрезка [a,b]. Какое из следующих условий обязательно выполняется

a)S(P'; f ) S(P; f );

b)S(P'; f ) S(P; f );

c)S(P'; f ) S(P; f );

d)возможно любое из соотношений.

5.Пусть функция f ограничена на отрезке [a,b] и P={x0,x1,x2,…,xn-1,xn} - разбиение отрезка [a,b]. Обозначим

354

Mk sup f (x), k [xk 1 , xk ], k 1,2,...n.

x k

n

S(P; f ) е Mk k .

k 1

Предположим, что P', P' P, - более мелкое по сравнению с P разбиение отрезка [a,b]. Какое из следующих условий обязательно выполняется

a)S(P'; f ) S(P; f );

b)S(P'; f ) S(P; f );

c)S(P'; f ) S(P; f );

d)возможно любое из соотношений.

355

Лекция 24.

1. Пусть функция f - ступенчатая и равна нулю вне отрезка [a,b]. Обязательно ли существует точка c [a,b] такая, что

f (x)dx f (c)(b a )

2. Пусть функция f непрерывна и строго возрастает на отрезке [a,b]. Сколько существует точек c [a,b] таких, что

b

f (x) f (c)(b a)

a

a)ни одной;

b)одна;

c)конечное число;

d)бесконечное число.

3.Пусть функция f ограничена и для любого достаточно малого > 0 интегрируема на отрезках [a ,b]. Является ли функция f обязательно интегрируемой по Риману на отрезке [a,b]?

4.Пусть финитная ограниченная функция f имеет конечное число точек разрыва. Верно ли, что функция f может быть неинтегрируемой по Риману?

5.Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,c] и монотонна на отрезке [c,b]. Верно ли, что функция f обязательно интегрируема по Риману на отрезке [a,b]?

6.Пусть функция f интегрируема на отрезке [a,b] и для всех x [a,b] выполняется неравенство 1 f (x) 2 . Будет ли функция

обязательно интегрируемой по Риману на отрезке [a,b]?

356

Лекция 25

1. Пусть функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,b] и разрывна в точке c [a,b] . Может ли функция F,

a

6.Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], f(a)<0, f(b)>0. Верно ли, что обязательно существует точка c [a,b] такая, что

357

c f (x)dx 0.

a

7.Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], f(a)<0, f(b)>0. Верно ли, что обязательно существует точка c [a,b] такая, что

c f (x)dx 0 или b f (x)dx 0.

358

Лекция 26.

1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], F – первообразная функции f, а F1 - первообразная функции f на [a,b]. Верно ли, что справедливо неравенство

F(b) F(a) F1(b) F1(a).

2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], f(a)<0, f(b)>0, F - первообразная функции f, а F1 - первообразная функции f на [a,b]. Верно ли, что может выполниться равенство

F(b) F(a) F1(b) F1(a).

4.Можно ли в заключительной формуле второй теоремы о среднем значении заменить f(a) на f(a+0) и f(b) на f(b-0)?

5.Можно ли в заключительной формуле второй теоремы о среднем значении заменить f(a) на любое значение A, A f (a 0) , а f(b) заменить на любое значение B, B f (b 0) ?

6.Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], а функция g интегрируема по Риману на этом отрезке. Верно ли, что

существует точка [a,b] такая, что справедлива формула

b b

( fg )(x)dx f ( ) g(x)dx.

a a

7. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], а функция g интегрируема по Риману и g 0 на этом отрезке. Верно ли, что существует точка [a,b] такая, что справедлива формула

b b

( fg )(x)dx f ( ) g(x)dx.

a a

8. Пусть функции f и g интегрируемы по Риману на отрезке [a,b], g 0 на этом отрезке и

b

g(x)dx 0.

a

359

Может ли выполниться неравенство

b

( fg )(x)dx > 0.

a

360