Математика

1.Примеры задания конечных и бесконечных множеств с помощью перечисления или описания.

Множество- называют совокупность систем некоторых элементов хорошо различимых нашими мыслями или интуицией и находящиеся в определённых отношениях между собой или с элементами других групп.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, аописание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.  Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества можно задавать только с помощью описания. 

2.Привести примеры подмножеств

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

А)множество натуральных чисел. Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления), т.е натуральные числа - это естественные числа. Натуральными числами не являются: отрицательные и нецелые числа. Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его. {1,2,3,...,n}

Б)множество целых чисел. определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n () и числа нуль. {0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. обозначать знаком Z

В)множества рациональных чисел — число, представляемое несократимой обыкновенной дробью , где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов. Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в виде:

3.Приведите примеры результатов выполнения над множествами действий объединения, пересечения, вычитания, дополнения.

Объединение: — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B.

АUВ={x:x€A или х принадлежит B}

Пример:А={1,2,3,5} B = {2,4,6,8} AUB={1,2,3,4,5,6,8}

Пересечение: — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. A∩B={х: х принадлежит A, х принад.B}

Если A и B не имеет пересечения то A∩B не ровно 0.

Пример: A{1,2,3} B{4,2,6}. A∩B{2}

Вычитание — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Это множество часто называют дополнением множества B до множества A. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

AIB={х:Хпринадлежит A, х не принадлежит B}

A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7} AIB={1,2},BIA={5,6,7}

Дополнение: ct( с чёрточкой на верху)дополняет заданное множество до универсума. U.

Пример: U={1,2,3…10}. A={1,3,5}. А(с черточкой на верху)={2,4,6,7,8,9}.

4. Дать определение и привести примеры прямых произведений множеств.

Прямое (декартовое) произведение множеств АхВ называется множество упорядоченных пар, в каждой из которых элемент множества А стоит на первом месте, а элемент В на втором.

Пример: А={1,2,3}. В={а,b,с}. АхВ={˂1а˃,˂1b˃,˂1с˃, ˂2а˃,˂2b˃,˂2с˃, ˂3а˃,˂3b˃,˂3с˃}

5.Дать определение интервала и окрестности.

Интервал (геометрия) — множество точек прямой, заключённых между точками А и В, причём сами точки А и В не причисляются к интервалу, иначе говорят об отрезке;

Интервал числовой оси — множество чисел, заключённых в некоторых границах (возможно, бесконечных). Окрестность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному. Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x0 на числовой прямой называется множество точек, удаленных от x0 не более чем на ε, т.е. Oε = {x: | x − x0 | < ε}.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый ε-шар с центром в точке x0.

В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке x0 называют множество . В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке y называют множество .

6.

Сочетание – это набор состоящий из n элементов, набранные из множества m элементов (n≥m) и отличающиеся только составом элементов. Аb,bс, ас. число сочетаний из m элементов по n равно С(внизу n наверху m)=n! Дробь m!(n-m)! – элементы не повторяются. Наборы состоящие из m элементов набранные из множества n элементов и отличающиеся друг от друга, либо местом расположения элементов, либо составом элементов, либо и тем и другим. Ровно A (внизу n наверху m)=n! дробь (n-m)! - без повторения.

Перестановка- наборы содержащие m элементов, но и отличающие друг от друга местом расположения элементов в этом наборе. Так, все различные перестановки множества из трех элементов М={a,b,c} это abc acb bac bca cab cba. ЧИСЛО ПРЕСТАНОВОК ИЗ М элементов ровно М факториалов.

Размещение-наборы состоящие из m элементов небранные из множества n эллементов n≥m и отличающие друг от друга либо местом расположения либо составом элементов либо и тем и другим.

A(m наверху, n внизу)=n!(дробь)(n-m)! –без повтора

A(m наверху, n внизу)=n(n в степени)-с повторением.