Mat_Analiz_Prokhorov
.pdfBn |
, |
n > n , p 1. |
p |
|
0 |
n p
Применим преобразование Абеля к сумме е akbk и получим
k n 1
|
n p |
n p 1 |
ak 1 ak Bkn. |
|
|||||
|
е akbk an p Bpn |
е |
|
||||||
|
k n 1 |
k n 1 |
|
|
|
||||
Теперь при n > n0 найдем оценку |
|
||||||||
|
n p |
|
|
|
|
n p 1 |
ak 1 ak Bkn |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
е ak bk |
|
|
|
an p Bnp е |
|
|||
|
k n 1 |
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n p 1 |
|
|
|
|
|
n p 1 |
||||||
|
an p |
|
Bpn |
|
е |
|
ak 1 ak |
|
|
|
Bkn |
|
M е |
|
ak 1 ak |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k n 1 |
|
|
|
|
|
k n 1 |
Так как последовательность a1, a2, ..., an, ... монотонна, то числа ak+1 ak, k 1, не меняют знака с изменением k и поэтому
n p 1 |
|
|
n p 1 |
|
|
||
е |
|
ak 1 ak |
|
|
е |
ak 1 ak |
|
|
|
||||||
k n 1 |
|
|
k n 1 |
|
|
an+2 an+1 + an+3 an+2 + ... + an+p an+p 1 = an+p an+1
91
an+p + an+1 M + M = 2M.
Соединяя все оценки вместе, убеждаемся, что
|
n p |
|
> 0 n0 n > n0 p 1 |
е akbk |
M 2M 3M , |
|
k n 1 |
|
что эквивалентно по критерию Коши сходимости ряда еanbn. Теорема 3 доказана.
Сопоставляя два приведенных признака, замечаем, что первое условие в признаке Абеля несколько усиливает соответствующее условие признака Дирихле, зато второе условие признака Абеля в той же степени ослаблено по сравнению с аналогичным условием признака Дирихле.
Условия в признаке Дирихле |
|
Условия в признаке Абеля |
n |
|
1. числовой ряд еbn сходится; |
1. последовательность частных сумм Bn еbk |
ограничена; |
|
k 1 |
|
|
2. последовательность a1, a2, ..., an, ... монотонна и limn an = 0. |
2. последовательность a1, a2, ..., an, ... монотонна и ограничена. |
92
5. Признак Лейбница сходимости числового ряда
Следующая теорема, известная как признак Лейбница сходимости числовых рядов, является простым частным случаем признака Дирихле и успешно решает много классических задач теории рядов.
Теорема 4. Пусть a1 a2 ... an ... 0 и limn an = 0. Тогда ряд
е ( 1)n 1an = a1 a2 + a3 a4 + ... |
+ ( 1)n 1an + ... |
сходится.
Доказательство. Обозначим bn = ( 1)n 1, n 1. Тогда
B |
n |
b |
1 1 1 1 |
|
1 n 1 |
|
0, |
если n четно |
n |
е k |
|
|
|
|
если n нечетно. |
||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
1, |
Следовательно, последовательность чисел Bn ограничена. Таким образом, последовательность чисел an и bn удовлетворяет условиям 1 и 2
признака Дирихле и поэтому ряд
е ( 1)n 1an = е anbn
сходится. Теорема 4 доказана.
Пример. Рассмотрим числовой ряд
е |
1 n 1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 n 1 |
. |
n |
2 |
3 |
4 |
n |
Так как числа 1/n монотонно стремятся к 0, то наш ряд сходится по признаку Лейбница. С другой стороны, ряд
93
е 1 n 1 е 1
n n
представляет собой гармонический ряд, который расходится.
Следовательно, ряд в рассмотренном примере сходится, но не сходится абсолютно. Таким образом, мы построили простой пример условно сходящегося ряда, что увеличивает интерес к теории условно сходящихся рядов, которая оказывается невырожденной и весьма содержательной.
94
Лекция 10
1. Сочетательное свойство сходящегося числового ряда
2. Переместительное свойство абсолютно сходящегося числового ряда
3. Теорема Римана
4. Произведение числовых рядов
5. Понятие о бесконечном произведении
1. Сочетательное свойство сходящегося числового ряда
Напомним, что операция сложения действительных чисел ассоциативна и коммутативна. Изучим распространение этих свойств на суммы бесконечного числа слагаемых. Ассоциативность в случае рядов предусматривает произвольное расставление скобок
a1 a2 an1 an1 1 an1 2 an2 ank 1 1 ank 1 2 ank .
Следующая теорема устанавливает такую возможность, которая называется сочетательным свойством сходящегося ряда.
Теорема 1. Если числовой ряд еan сходится, то ряд
(1) е ank 1 1 ank 1 2 ank
сходится к той же сумме.
Доказательство. Сходимость ряда еan к сумме S означает, что последовательность S1, S2, ..., Sn... его частных сумм имеет S своим пределом. Последовательность частных сумм ряда (1) имеет вид
Sn1 , Sn2 , , Snk , .
95
то есть является подпоследовательностью последовательности S1, S2, ..., Sn, ... . Но подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. Поэтому ряд (1) сходится к сумме S, что доказывает теорему 1.
2. Переместительное свойство абсолютно сходящегося числового ряда
Коммутативность операции сложения в применении к рядам предусматривает произвольную перестановку слагаемых в бесконечной сумме и рассмотрение ряда
(2) еank an1 an2 ank ,
где n1, n2, ..., nk, ... - последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз. Такое действие осуществимо не для всякого сходящегося ряда, а лишь для абсолютно сходящегося. Следующая теорема выражает переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда.
Теорема 2. Если числовой ряд еan абсолютно сходится, то ряд ank сходится к той же сумме.
Доказательство. Пусть сначала an 0 для всех n 1 и ряд еan сходится к S. Тогда последовательность его частных сумм Sn не убывает и
lim Sn sup Sn S.
n n 1
m
Обозначим через m еank частную сумму ряда (2) и
k 1
N max an1 , an2 , , anm .
При этих обозначениях справедливо неравенство
96
m SN S,
поскольку частная сумма SN содержит все слагаемые, вошедшие в частную сумму m. Следовательно, монотонная последовательность частных сумм m ограничена и поэтому ряд (2) сходится, причем
|
|
|
е ank |
S lim m sup m S. |
|
k 1 |
m |
m 1 |
|
|
Таким образом, для суммы S ряда (2) и суммы S исходного ряда справедливо соотношение
S S.
Если рассматривать исходный ряд еan как результат обратной перестановки слагаемых в ряде (2), возвращающей его к исходному ряду, то справедливо аналогичное соотношение между суммой одного ряда и другого, возникшего после перестановки членов,
S S .
Два последних соотношения устанавливают равенство
S = S
и доказывают теорему для рядов с неотрицательными слагаемыми.
Пусть теперь числа an - произвольного знака и ряд еan абсолютно сходится к сумме S. Тогда
|
|
|
еan е an еan S. |
||
n 1 |
n 1 |
n 1 |
По доказанному, ряды
97
е nk |
е nk |
|
|
a |
|
aи |
|
сходятся, а вместе с ними сходится и ряд (2) и справедливы равенства
|
|
|
|
|
|
е ank |
е ank |
е ank |
е an е an е an S, |
||
k 1 |
k 1 |
k 1 |
n 1 |
n 1 |
n 1 |
которые доказывают теорему 2.
3. Теорема Римана
Переместительное свойство не выполняется для условно сходящихся рядов. В подтверждение несложно привести какой-либо контрпример. Однако мы докажем гораздо более удивительное качество условно сходящихся рядов, выраженное в следующей теореме, принадлежащей Риману.
Теорема 3. Если числовой ряд еan условно сходится, то для любого A найдется такая перестановка слагаемых, что ряд еank сходится к сумме A. Кроме того, найдется такая перестановка слагаемых, что ряд еank расходится.
Доказательство. Условная сходимость ряда еan влечет расходимость рядов еan и еan , которая, в свою очередь, означает, что
n |
n |
sup е aиk , |
a sup е k . |
|
|
n 1 k 1 |
n 1 k 1 |
Кроме того, выполняется необходимое условие сходимости ряда еan
lim an 0.
n
98
Докажем сначала первое утверждение теоремы 3. Выберем произвольно A . Доказательство симметрично для A 0 и A 0, поэтому проведем одно из них, например, для A 0. Существует минимальное натуральное число n1, для которого
n1 |
|
е ak a1 a2 an1 |
> A. |
k 1 |
|
После этого суммирования положительных членов ряда начинаем добавлять отрицательные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n2, для которого
n1 |
n2 |
еak е ak A. |
|
k 1 |
k 1 |
Следующим действием вновь добавляем положительные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n3, для которого
n1 |
n2 |
n3 |
еak е ak |
е ak > A. |
|
k 1 |
k 1 |
k n1 1 |
Снова добавляем отрицательные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n4, для которого
n1 |
n2 |
n3 |
n4 |
е ak е ak |
е ak |
е ak A. |
|
k 1 |
k 1 |
k n1 1 |
k n2 1 |
И так далее. На произвольном нечетном m-м шаге, существует минимальное натуральное число nm, для которого
nm |
nm 1 |
еak е ak > A. |
|
k 1 |
k 1 |
99
На следующим за ним шаге существует минимальное натуральное число nm+1, для которого
nm |
nm 1 |
е ak е ak A. |
|
k 1 |
k 1 |
Процесс продолжим неограниченно.
Алгоритм действия составлен так, что каждое неотрицательное слагаемое исходного ряда в некоторый момент будет учтено в
nm
сумме е ak ,
k 1
nm 1
а каждое неположительное слагаемое исходного ряда в некоторый момент будет учтено в сумме е ak . итоге
k 1
возникает новый ряд, отличающийся от первоначального перестановкой своих членов. На m-м и (m+1)-м шагах справедливы неравенства
nm |
nm 1 |
|
|
nm |
nm 1 |
|
еak еak A |
anm |
, |
еak еak A |
anm 1. |
||
k 1 |
k 1 |
|
|
k 1 |
k 1 |
|
Так как an стремятся к 0 при n , то последние неравенства означают, что частные суммы нового ряда сходятся к A, что доказывает первое утверждение теоремы 3.
Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы 3, слегка изменив алгоритм. На первом шаге существует минимальное натуральное число n1, для которого
n1
е ak a1 a2 an1 > 1.
k 1
После этого суммирования положительных членов ряда начинаем добавлять отрицательные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n2, для которого
100