Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Mat_Analiz_Prokhorov

.pdf
Скачиваний:
104
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
2.14 Mб
Скачать

Bn

,

n > n , p 1.

p

 

0

n p

Применим преобразование Абеля к сумме е akbk и получим

k n 1

 

n p

n p 1

ak 1 ak Bkn.

 

 

е akbk an p Bpn

е

 

 

k n 1

k n 1

 

 

 

Теперь при n > n0 найдем оценку

 

 

n p

 

 

 

 

n p 1

ak 1 ak Bkn

 

 

 

 

 

 

е ak bk

 

 

 

an p Bnp е

 

 

k n 1

 

 

 

 

k n 1

 

 

 

 

 

 

 

n p 1

 

 

 

 

 

n p 1

 

an p

 

Bpn

 

е

 

ak 1 ak

 

 

 

Bkn

 

M е

 

ak 1 ak

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k n 1

 

 

 

 

 

k n 1

Так как последовательность a1, a2, ..., an, ... монотонна, то числа ak+1 ak, k 1, не меняют знака с изменением k и поэтому

n p 1

 

 

n p 1

 

 

е

 

ak 1 ak

 

 

е

ak 1 ak

 

 

 

k n 1

 

 

k n 1

 

 

an+2 an+1 + an+3 an+2 + ... + an+p an+p 1 = an+p an+1

91

an+p + an+1 M + M = 2M.

Соединяя все оценки вместе, убеждаемся, что

 

n p

 

> 0 n0 n > n0 p 1

е akbk

M 2M 3M ,

 

k n 1

 

что эквивалентно по критерию Коши сходимости ряда еanbn. Теорема 3 доказана.

Сопоставляя два приведенных признака, замечаем, что первое условие в признаке Абеля несколько усиливает соответствующее условие признака Дирихле, зато второе условие признака Абеля в той же степени ослаблено по сравнению с аналогичным условием признака Дирихле.

Условия в признаке Дирихле

 

Условия в признаке Абеля

n

 

1. числовой ряд еbn сходится;

1. последовательность частных сумм Bn еbk

ограничена;

 

k 1

 

 

2. последовательность a1, a2, ..., an, ... монотонна и limn an = 0.

2. последовательность a1, a2, ..., an, ... монотонна и ограничена.

92

5. Признак Лейбница сходимости числового ряда

Следующая теорема, известная как признак Лейбница сходимости числовых рядов, является простым частным случаем признака Дирихле и успешно решает много классических задач теории рядов.

Теорема 4. Пусть a1 a2 ... an ... 0 и limn an = 0. Тогда ряд

е ( 1)n 1an = a1 a2 + a3 a4 + ...

+ ( 1)n 1an + ...

сходится.

Доказательство. Обозначим bn = ( 1)n 1, n 1. Тогда

B

n

b

1 1 1 1

 

1 n 1

 

0,

если n четно

n

е k

 

 

 

 

если n нечетно.

 

k 1

 

 

 

 

 

1,

Следовательно, последовательность чисел Bn ограничена. Таким образом, последовательность чисел an и bn удовлетворяет условиям 1 и 2

признака Дирихле и поэтому ряд

е ( 1)n 1an = е anbn

сходится. Теорема 4 доказана.

Пример. Рассмотрим числовой ряд

е

1 n 1

1

1

 

1

 

1

 

1 n 1

.

n

2

3

4

n

Так как числа 1/n монотонно стремятся к 0, то наш ряд сходится по признаку Лейбница. С другой стороны, ряд

93

е 1 n 1 е 1

n n

представляет собой гармонический ряд, который расходится.

Следовательно, ряд в рассмотренном примере сходится, но не сходится абсолютно. Таким образом, мы построили простой пример условно сходящегося ряда, что увеличивает интерес к теории условно сходящихся рядов, которая оказывается невырожденной и весьма содержательной.

94

Лекция 10

1. Сочетательное свойство сходящегося числового ряда

2. Переместительное свойство абсолютно сходящегося числового ряда

3. Теорема Римана

4. Произведение числовых рядов

5. Понятие о бесконечном произведении

1. Сочетательное свойство сходящегося числового ряда

Напомним, что операция сложения действительных чисел ассоциативна и коммутативна. Изучим распространение этих свойств на суммы бесконечного числа слагаемых. Ассоциативность в случае рядов предусматривает произвольное расставление скобок

a1 a2 an1 an1 1 an1 2 an2 ank 1 1 ank 1 2 ank .

Следующая теорема устанавливает такую возможность, которая называется сочетательным свойством сходящегося ряда.

Теорема 1. Если числовой ряд еan сходится, то ряд

(1) е ank 1 1 ank 1 2 ank

сходится к той же сумме.

Доказательство. Сходимость ряда еan к сумме S означает, что последовательность S1, S2, ..., Sn... его частных сумм имеет S своим пределом. Последовательность частных сумм ряда (1) имеет вид

Sn1 , Sn2 , , Snk , .

95

то есть является подпоследовательностью последовательности S1, S2, ..., Sn, ... . Но подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. Поэтому ряд (1) сходится к сумме S, что доказывает теорему 1.

2. Переместительное свойство абсолютно сходящегося числового ряда

Коммутативность операции сложения в применении к рядам предусматривает произвольную перестановку слагаемых в бесконечной сумме и рассмотрение ряда

(2) еank an1 an2 ank ,

где n1, n2, ..., nk, ... - последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз. Такое действие осуществимо не для всякого сходящегося ряда, а лишь для абсолютно сходящегося. Следующая теорема выражает переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда.

Теорема 2. Если числовой ряд еan абсолютно сходится, то ряд ank сходится к той же сумме.

Доказательство. Пусть сначала an 0 для всех n 1 и ряд еan сходится к S. Тогда последовательность его частных сумм Sn не убывает и

lim Sn sup Sn S.

n n 1

m

Обозначим через m еank частную сумму ряда (2) и

k 1

N max an1 , an2 , , anm .

При этих обозначениях справедливо неравенство

96

m SN S,

поскольку частная сумма SN содержит все слагаемые, вошедшие в частную сумму m. Следовательно, монотонная последовательность частных сумм m ограничена и поэтому ряд (2) сходится, причем

 

 

 

е ank

S lim m sup m S.

k 1

m

m 1

 

 

Таким образом, для суммы S ряда (2) и суммы S исходного ряда справедливо соотношение

S S.

Если рассматривать исходный ряд еan как результат обратной перестановки слагаемых в ряде (2), возвращающей его к исходному ряду, то справедливо аналогичное соотношение между суммой одного ряда и другого, возникшего после перестановки членов,

S S .

Два последних соотношения устанавливают равенство

S = S

и доказывают теорему для рядов с неотрицательными слагаемыми.

Пусть теперь числа an - произвольного знака и ряд еan абсолютно сходится к сумме S. Тогда

 

 

 

еan е an еan S.

n 1

n 1

n 1

По доказанному, ряды

97

е nk

е nk

 

a

 

 

сходятся, а вместе с ними сходится и ряд (2) и справедливы равенства

 

 

 

 

 

 

е ank

е ank

е ank

е an е an е an S,

k 1

k 1

k 1

n 1

n 1

n 1

которые доказывают теорему 2.

3. Теорема Римана

Переместительное свойство не выполняется для условно сходящихся рядов. В подтверждение несложно привести какой-либо контрпример. Однако мы докажем гораздо более удивительное качество условно сходящихся рядов, выраженное в следующей теореме, принадлежащей Риману.

Теорема 3. Если числовой ряд еan условно сходится, то для любого A найдется такая перестановка слагаемых, что ряд еank сходится к сумме A. Кроме того, найдется такая перестановка слагаемых, что ряд еank расходится.

Доказательство. Условная сходимость ряда еan влечет расходимость рядов еan и еan , которая, в свою очередь, означает, что

n

n

sup е k ,

a sup е k .

 

 

n 1 k 1

n 1 k 1

Кроме того, выполняется необходимое условие сходимости ряда еan

lim an 0.

n

98

Докажем сначала первое утверждение теоремы 3. Выберем произвольно A . Доказательство симметрично для A 0 и A 0, поэтому проведем одно из них, например, для A 0. Существует минимальное натуральное число n1, для которого

n1

 

е ak a1 a2 an1

> A.

k 1

 

После этого суммирования положительных членов ряда начинаем добавлять отрицательные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n2, для которого

n1

n2

еak е ak A.

k 1

k 1

Следующим действием вновь добавляем положительные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n3, для которого

n1

n2

n3

еak е ak

е ak > A.

k 1

k 1

k n1 1

Снова добавляем отрицательные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n4, для которого

n1

n2

n3

n4

е ak е ak

е ak

е ak A.

k 1

k 1

k n1 1

k n2 1

И так далее. На произвольном нечетном m-м шаге, существует минимальное натуральное число nm, для которого

nm

nm 1

еak е ak > A.

k 1

k 1

99

На следующим за ним шаге существует минимальное натуральное число nm+1, для которого

nm

nm 1

е ak е ak A.

k 1

k 1

Процесс продолжим неограниченно.

Алгоритм действия составлен так, что каждое неотрицательное слагаемое исходного ряда в некоторый момент будет учтено в

nm

сумме е ak ,

k 1

nm 1

а каждое неположительное слагаемое исходного ряда в некоторый момент будет учтено в сумме е ak . итоге

k 1

возникает новый ряд, отличающийся от первоначального перестановкой своих членов. На m-м и (m+1)-м шагах справедливы неравенства

nm

nm 1

 

 

nm

nm 1

 

еak еak A

anm

,

еak еak A

anm 1.

k 1

k 1

 

 

k 1

k 1

 

Так как an стремятся к 0 при n , то последние неравенства означают, что частные суммы нового ряда сходятся к A, что доказывает первое утверждение теоремы 3.

Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы 3, слегка изменив алгоритм. На первом шаге существует минимальное натуральное число n1, для которого

n1

е ak a1 a2 an1 > 1.

k 1

После этого суммирования положительных членов ряда начинаем добавлять отрицательные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n2, для которого

100

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]