Mat_Analiz_Prokhorov

Если в полученном неравенстве xmk mk перейти к пределу при k , то выведем неравенство , из которого следует, что

является наибольшим из частичных пределов, или верхним пределом последовательности x1, x2, ..., xn, ... и завершаем доказательство теоремы 2.

Разумеется, аналогичными средствами можно доказать теорему существования нижнего предела последовательности. Однако мы вновь воспользуемся соотношениями между гранями множеств X и X.

Теорема 3. Всякая ограниченная последовательность имеет нижний предел.

Доказательство. Пусть последовательность x1, x2, ..., xn, ... ограничена и имеет множество X своих частичных пределов. Тогда последовательность x1, x2, ..., xn, ... также ограничена и множество ее частичных пределов равно X. По теореме 2 последняя последовательность имеет наибольший из частичных пределов, или верхний предел, который обозначим через , = sup( X). Так

как sup( X) = inf X, то = inf X является наименьшим из частичным пределом последовательности x1, x2, ..., xn, ..., или ее нижним пределом. Теорема 3 доказана.

Вновь заметим, что доказательства теорем 2 и 3 богаче их формулировок. Действительно, конструктивные методы доказательных рассуждений привели к выражениям для верхнего и нижнего пределов в виде

61

Если последовательность x1, x2, ..., xn, ... неограничена сверху, то разумно положить, что limn xn .

Аналогично, если последовательность x1, x2, ..., xn, ... неограничена снизу, то разумно положить, что limn xn = .

4. Сходимость последовательности, имеющей равные верхний и нижний пределы

Покажем, что сходимость последовательности эквивалентна совпадению ее верхнего и нижнего пределов.

Теорема 4. Ограниченная последовательность сходится тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают.

Доказательство. Сначала докажем необходимость утверждения. Пусть последовательность x1, x2, ..., xn, ... сходится к пределу l. По теореме 1 любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу l. Следовательно, все частичные пределы последовательности равны l, то есть множество X ее частичных пределов состоит только из числа l. Поэтому sup X = inf X = l, а это означает, что ее верхний и нижний пределы равны l.

Теперь докажем достаточность утверждения теоремы 4. Пусть для ограниченной последовательности x1, x2, ..., xn, ... выполняется условие

и равенства

lim k = lim k = l

62

Рис. 3. Сходимость последовательности xk .

по теореме 3 лекции 5 следует, что limk xk = l. Это показывает, что утверждение достаточно и завершает доказательство теоремы 4.

63

Лекция 7

1. Фундаментальные последовательности

2. Критерий Коши сходимости последовательности

3. Взаимосвязь различных свойств последовательности

4. Ряд как иная форма последовательности

5. Перенос фактов теории последовательностей в теорию рядов

1. Фундаментальные последовательности

Из определения сходящейся последовательности следует, что ее элементы скапливаются в окрестности предела. Естественно, в этом случае элементы располагаются близко друг к другу. Дадим название последовательности, обладающей лишь последним свойством и покажем, что это свойство равносильно сходимости последовательности.

Определение 1. Последовательность x1, x2, ..., xn, ..., назывется фундаментальной, если

> 0 n0 n > n0, m > n0 xn xm < .

Обратим внимание, что квантор всеобщности > 0 допускает простые обобщения определения 1. Именно, пусть C > 0 -

фиксированное число. Если принимает все положительные значения, то C также принимает всевозможные положительные значения. Поэтому определение 1 можно перефразировать в следующем виде: последовательность x1, x2, ..., xn,...

фундаментальна, если

> 0 n0 n > n0, m > n0 xn xm < C .

64

2. Критерий Коши сходимости последовательности

В определении 1 не упоминается существование предела, однако мы покажем сейчас, что определение 1 равносильно сходимости. Следующая теорема известна как критерий Коши для последовательностей.

Теорема 1. Последовательность x1, x2, ..., xn, ... сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство. Утверждение теоремы 1 имеет характер необходимого и достаточного условия. Начнем с доказательства необходимости. Пусть последовательность x1, x2, ..., xn, ... сходится. Покажем, что она фундаментальна.

Обозначим limn xn = l и запишем по определению

(1) > 0 n0 n > n0 xn l < .

Если выбрать еще один номер m, m > n0, то для него также выполнится неравенство

(2) xm l < .

Теперь из неравенств (1) и (2) выводим

xn xm = xn l + l xm xn l + l xm < + = 2

и запишем полученный результат как

> 0 n0 n > n0, m > n0 xn xm < 2 ,

что доказывает фундаментальность последовательности x1, x2, ..., xn, ... .

Перейдем к доказательству достаточности условия. Предположим, что последовательность x1, x2, ..., xn, ... фундаментальна и покажем, что она сходится. Предварительно убедимся, что эта последовательность ограничена. Действительно, воспользуемся

65

определением 1, в котором выберем m = n0 + 1. Неравенство определения 1 означает в этом случае, что все элементы xn с номерами n > n0 удовлетворяют неравенствам

xn0 1 xn xn0 1 ,

то есть последовательность xn0 1, xn0 2 ,..., xn ,... ограничена. Следовательно, множество

x1, x2 ,..., xn ,... x1, x2 ,..., xn0 xn0 1, xn0 2 ,..., xn

ограничено как объединение двух ограниченных множеств, из которых первое является конечным. Это доказывает ограниченность всей последовательности.

По теоремам 2 и 3 лекции 6 наша ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы. Обозначим

По свойствам верхнего и нижнего пределов запишем

1.n xn ;

2.> 0 xnk , xmk xnk , xmk > .

Свойство фундаментальности запишем в виде

> 0 k0 k > k0 xnk xmk .

Соединим последнее неравенство со свойством 2 и получим

66

xmk xmk xnk xnk 3 .

Полагая, например, = (1/3)(1/(10n)), n , по лемме 1 лекции 3 заключаем, что 0. Но верхний предел последовательности

не может быть меньше ее нижнего предела, поэтому = . По теореме 4 лекции 6 выводим, что последовательность x1, x2, ..., xn, ...

сходится и заканчиваем доказательство теоремы 1.

3. Взаимосвязь различных свойств последовательности

Соберем воедино полученные знания о взаимосвязи различных свойств последовательности.

1.По теореме 2 лекции 4 сходимость последовательности влечет ее ограниченность.

2.По теореме 3 лекции 4 монотонность и ограниченность последовательности вместе влекут ее сходимость.

3.По критерию Коши сходимость последовательности эквивалентна ее фундаментальности.

Отметим на схеме стрелками зависимости 1-3.

67

Рис. 1. Взаимосвязь различных свойств последовательности.

Однако в созданной схеме имеются и более слабые зависимости. Именно, благодаря теоремам 2 и 3 лекции 6 ограниченность последовательности влечет существование у нее верхнего и нижнего пределов. Напомним, что каждый из них является частичным пределом. Выразим это следствие теорем 2 и 3 лекции 6 в следующей классической теореме, известной как теорема БольцаноВейерштрасса.

Теорема 2. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Естественно, теорема 2 не нуждается в отдельном доказательстве.

Внесем пунктирной стрелкой в схему зависимостей результат теоремы Больцано-Вейерштрасса.

68

Рис. 2. Взаимосвязь свойств последовательности, устанавливаемая теоремой Больцано-Вейерштрасса.

4. Ряд как иная форма последовательности

Помимо простого перечисления элементов последовательности, рассмотрим процесс, в котором элементы поочередно складываются. В лекции 1 упоминался подобный пример из программы средней школы - это сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Определение 2. Пусть дана числовая последовательность a1, a2, ..., an, ... . Обозначим S1 = a1, S2 = a1 + a2, ...,

n

Sn a1 a2 ... an еak ,.... Последовательность S1, S2, ..., Sn, ... называется числовым рядом и обозначается еan. Числа a1, a2, ...,

k 1

an, ... называются членами ряда, а числа S1, S2, ..., Sn, ... называются частными суммами ряда.

Определение 3. Числовой ряд еan называется сходящимся, если последовательность S1, S2, ..., Sn, ... его частных сумм сходится. В этом случае предел

69

называется суммой ряда и обозначается

е an .

n 1

В противном случае ряд называется расходящимся.

Напомним, что ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию с начальным элементом b и знаменателем q, q < 1, сходится и

Ряд еbqn 1, q < 1, будем называть геометрическим рядом.

5. Перенос фактов теории последовательностей в теорию рядов

Переформулируем в терминах теории рядов теорему 3 лекции 4 о сходимости монотонной ограниченной последовательности и критерий Коши для последовательностей.

Начнем с критерия Коши, согласно которому последовательность частных сумм S1, S2, ..., Sn, ... числового ряда еan сходится тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна. Другими словами, ряд еan сходится тогда и только тогда, когда

70