Mat_Analiz_Prokhorov

M x X x M.

Множество X называется ограниченным снизу, если X имеет нижнюю границу, то есть если

m x X x m.

Множество X называется ограниченным, если X ограничено сверху и снизу.

Очевидно, ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних границ. Действительно, если M - верхняя граница X

и M > M, то M - тоже верхняя граница X, так как x X x M < M . Аналогично ограниченное снизу множество имеет бесконечно много нижних границ. Определим самые точные границы множества.

Определение 4. Наименьшая из верхних границ множества X называется точной верхней границей, или верхней гранью множества X и обозначается sup X.

Рис. 1. Верхняя грань множества.

Определение 5. Наибольшая из нижних границ множества X называется точной нижней границей, или нижней гранью множества X и обозначается inf X.

Вопрос существования верхней и нижней граней множества заслужмвает отдельного детального обсуждения. Но прежде подвергнем логическому анализу определения 4 и 5.

Верхняя грань = sup X множества X характеризуется двумя условиями:

31

1.x X x ;

2.> 0 x X x > .

Первое условие означает, что - верхняя граница множества X. Второе условие означает, что как только уменьшено на , меньшее число перестает быть верхней границей множества X. Аналогично охарактеризуем нижнюю грань.

= inf X, если выполняются два условия:

1.x X x ;

2.> 0 x X x < + .

Первое условие означает, что - нижняя граница множества X, а второе условие означает, что как только увеличено на , большее число + перестает быть нижней границей множества X.

3. Теорема существования верхней грани

В лекции 1 перечислены 13 основных свойств действительных чисел. В аксиоматической теории эти свойства служат определением множества , если добавить к ним условие нетривиальности 1 0 и следующую аксиому полноты.

14. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань.

Поскольку мы приняли конструктивную концепцию множества как множества всех бесконечных десятичных дробей, то обязаны проверить свойство 14, а не принимать в виде аксиомы.

Теорема 1. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань.

32

Доказательство. Множество X непустое, значит, имеется элемент x X. Выберем целое число m, меньшее, чем x. Оно не может быть верхней границей X, так как x > m. Кроме того, множество X ограничено сверху, поэтому имеет верхнюю границу M . Выберем целое число M, большее, чем M . Число M также является верхней границей X.

Таким образом, выбраны два целых числа m и M, из которых m не является верхней границей X, а M является верхней границей X. Между m и M находится конечный набор целых чисел. Перебирая их по очереди, найдем два соседних целых числа a0 и a0 + 1, из которых a0 не является верхней границей X, а a0 + 1 является верхней границей X.

Рис. 2. Наименьшее из целых чисел, являющееся верхней границей.

Разделим отрезок [a0, a0 + 1] на 10 равных частей. Перебирая точки деления по очереди, найдем две соседние точки a0 + 0. 1 и (a0 + 0. 1) + 1/10, из которых a0 + 0. 1 не является верхней границей X, а (a0 + 0. 1) + 1/10 является верхней границей X.

Рис. 3. Наименьшее из чисел вида a + 0.1b, где a, b - целые, являющееся верхней границей.

Снова разделим отрезок

[a0 + 0. 1, (a0 + 0. 1) + 1/10]

на 10 равных частей. Перебирая точки деления по очереди, найдем две соседние точки

33

A0 + 0. 1 2 и (a0 + 0. 1 2) + 1/100,

из которых a0 + 0. 1 2 не является верхней границей X, а (a0 + 0. 1 2) + 1/100 является верхней границей X. Продолжаем процесс неограниченно. На n-м шаге действия разделим отрезок

[a0 + 0. 1 2... n 1, (a0 + 0. 1 2... n 1) + 1/10n 1]

на 10 равных частей. Перебирая точки деления по очереди, найдем две соседние точки a0 + 0. 1 2... n 1 n и (a0 + 0. 1 2... n 1 n) + 1/10n,

из которых первая не является верхней границей X, а вторая является верхней границей X.

Процесс продолжается и далее. В итоге получается действительное число , изображаемое бесконечной десятичной дробью

= a0 + 0. 1 2... n...,

которое для всякого натурального n удовлетворяет условиям:

1.a0 + 0. 1 2... n не является верхней границей X;

2.(a0 + 0. 1 2... n) + 1/10n является верхней границей X.

Кроме того, для любого натурального n справедливы неравенства

(3) a0 + 0. 1 2... n (a0+0. 1 2... n) + 101 n ,

поскольку левая часть в (3) - это округление по недостатку, а правая часть в (3) - это округление по избытку.

34

Покажем, что = sup X. Сначала убедимся, что - верхняя граница X. Действительно, всякий элемент x X не превосходит любой верхней границы X, поэтому для любого n выполняется неравенство

x (a0 + 0. 1 2... n) + 101 n ,

которое в силу неравенства (3) влечет неравенство

x x (a0 + 0. 1 2... n) 101 n .

Применяем к последнему неравенству лемму 1 и заключаем, что

x 0,

то есть - верхняя граница X.

Теперь покажем, что - наименьшая из верхних границ X. Действительно, всякая верхняя граница множества X превосходит число, которое не является верхней границей X, поэтому для любого n выполняется неравенство

> a0 + 0. 1 2... n,

которое в силу неравенства (3) влечет неравенство

(a0 + 0. 1 2... n) + 101 n < 101 n .

Применяем к последнему неравенству лемму 1 и заключаем,что

35

0,

то есть - наименьшая из верхних границ X. Таким образом, мы показали, что = sup X и доказали тем самым теорему 1.

4. Соотношение между гранями множества

Теорема 1 сформулирована и доказана лишь для верхней грани множества. Теорема существования нижней грани требует отдельной формулировки и аналогичного доказательства. Вместо построения аналогий мы установим соотношения между гранями множеств и выведем теорему о нижней грани, опираясь на теорему 1.

Наряду с множеством X рассмотрим множество

X = {x: ( x) X},

состоящее из всех элементов множества X, умноженных на (-1). Множество X имеет верхнюю границу M тогда и только тогда, когда множество X имеет нижнюю границу ( M), так как неравенства x < M и x > M равносильны. Аналогично множество X имеет нижнюю границу m тогда и только тогда, когда множество X имеет верхнюю границу ( m).

Подобным образом наблюдаем, что множество X имеет наименьшую верхнюю границу тогда и только тогда, когда множествоX имеет наибольшую нижнюю границу ( ), и X имеет наибольшую нижнюю границу тогда и только тогда, когда X имеет наименьшую верхнюю границу ( ).

Проведенные рассуждения убеждают в справедливости соотношений

Теорема 2. Всякое непустое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть множество X непусто и ограничено снизу. Тогда множество X также непусто, но ограничено сверху. По теореме 1 множество X имеет верхнюю грань , а следовательно, множество X имеет нижнюю грань . Теорема 2 доказана.

36

Выглядят вполне разумными следующие договоренности в определении верхних и нижних граней неограниченного или пустого множества.

1.Пусть множество X не ограничено сверху. Тогда полагаем sup X = .

2.Пусть множество X не ограничено снизу. Тогда полагаем inf X = .

3.Пусть X = . Тогда полагаем sup X = и inf X = .

37

Лекция 4

1. Предел последовательности

2. Единственность предела сходящейся последовательности

3. Ограниченность сходящейся последовательности

4. Сходимость монотонной ограниченной последовательности

1. Предел последовательности

Следуя историческому ходу развития оснований математического анализа, от интуитивного и описательного восприятия понятия предела, принятого на раннем этапе обучения, перейдем к логически строгому определению, восходящему к Коши.

Определение 1. Число l называется пределом последовательности x1, x2, ..., xn, ..., если

> 0 n0 n > n0 xn l < ,

и обозначается l = limn xn.Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Число > 0 служит мерой близости xn и l. Определение 1 устанавливает, что xn приближается к l с любой мерой точности, начиная с некоторого номера n0. Естественно, n0 зависит от .

Обратим внимание, что квантор всеобщности > 0 допускает простые обобщения определения 1. Именно, пусть C > 0 -

фиксированное число. Если принимает все положительные значения, то C также принимает всевозможные положительные значения. Поэтому определение 1 можно перефразировать в следующем виде: limn = l, если

> 0 n0 n > n0 xn l < C .

38

Выгода строгого определения заключается, помимо прочего, в проникновении логики и правил вывода в математические доказательства. Для упражнения в логической эквилибристике дадим отрицание определения 1: число l не является пределом последовательности x1, x2, ..., xn, ..., если

> 0 n0 n > n0 xn l .

Покажем элементарное применение определения 1 к нахождению пределов простых последовательностей. Пусть, например, xn = 1/n и найдем, что

l lim 1 0.

n n

Неравенство xn l < становится эквивалентным неравенству

n1 < или n > 1 .

Выбирая в качестве n0 целое число, большее, чем 1/ , убеждаемся в выполнении определения 1.

Аналогичным образом находим, в частности, что

2. Единственность предела сходящейся последовательности

Начнем с доказательства единственности предела сходящейся последовательности.

Теорема 1. Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел.

39

Доказательство. Пусть сходящаяся последовательность x1, x2, ..., xn, ... имеет пределы l и p. Согласно определению 1 применительно к l

(1) > 0 n1 n > n1 xn l < .

Аналогично применим определение 1 к пределу p

(2) > 0 n2 n > n2 xn p < .

Числа n1 и n2 в (1) и (2) в общем случае разные. Желая одновременного выполнения (1) и (2), обозначим n0 = max{n1, n2} и будем рассматривать n > n0. Для таких n выполнены (1) и (2) и справедливы неравенства

l p = l xn + xn p l xn + xn p < + = 2

или, учитывая лишь крайние звенья цепочки, заключаем, что для любого > 0 справедливо неравенство

l p < 2 .

В частности, выбирая любые n и = (1/2)(1/(10n)), по лемме 1 лекции 3 видим, что l p 0. А поскольку модуль числа не может быть отрицательным, то l p = 0 и значит, l = p, что доказывает теорему 1.

3. Ограниченность сходящейся последовательности

Продолжим построение теории последовательностей исследованием взаимосвязей между различными свойствами такими, как сходимость, ограниченность, монотонность и другими. Сначала покажем, что сходимость последовательности влечет ее ограниченность, или другими словами, требование сходимости является более жестким по отношению к требованию ограниченности последовательности.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

40