Mat_Analiz_Prokhorov

Не ограничивая общности, можем считать, что m > n, то есть m = n + p для некоторого натурального числа p. При таком соглашении проделаем простые преобразования

Запишем преобразованное таким образом условие (3) и переформулируем критерий Коши для последовательностей как критерий Коши для рядов.

Теорема 3. Числовой ряд еan сходится тогда и только тогда, когда

Заметим, как и прежде, что число в неравенстве условия (3) можно заменить на C с некоторым C > 0.

Теорема 3 выражает необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Если условие (3) ослабить, то оно сохранится как необходимое, но не обязательно останется достаточным условием сходимости ряда. Осуществим такое ослабление, потребовав,

чтобы неравенство в (3) выполнялось не для всех p 1, а лишь для одного значения p = 1. В этом случае условие (3) приобретет вид

> 0 n0 n > n0 an+1 < ,

и выражает по существу, что limn an = 0.

Итак, мы готовы сформулировать необходимое условие сходимости ряда в следующей теореме.

Теорема 4. Если числовой ряд еan сходится, то

71

lim an 0.

n

Перейдем к интерпретации в теории рядов теоремы о сходимости монотонной ограниченной последовательности, которую иначе можно сформулировать так: монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.

Предположим, что все члены ряда еan не отрицательны: an 0, n 1. Сравним частные суммы Sn и Sn+1 этого ряда

Отсюда следует, что Sn Sn+1 для всех натуральных n. Значит, последовательность частных сумм монотонна, и мы готовы переформулировать критерий сходимости монотонной последовательности как соответствующий критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.

Теорема 5. Предположим, что an 0 для всех натуральных n. Числовой ряд еan сходится тогда и только тогда, когда последовательность S1, S2, ..., Sn, ... его частных сумм ограничена.

72

Лекция 8

1. Признак мажорации сходимости числового ряда

2. Признак сравнения сходимости числового ряда

3. Признак Коши сходимости числового ряда

4. Признак Даламбера сходимости числового ряда

5. Признак Коши для рядов с убывающими слагаемыми

1. Признак мажорации сходимости числового ряда

Геометрический ряд устроен относительно просто и играет заметную роль в теории рядов. Удача состоит и в том, что удается вычислить сумму геометрического ряда. Подобная возможность предоставляется относительно редко. Основная проблематика в теории рядов заключается не в нахождении суммы ряда, а в установлении его сходимости или расходимости.

Некоторые признаки основаны на сравнении данного ряда с каким-либо тестовым рядом, о котором определенно известно, сходится он или нет. Простейшим из алгоритмов сравнения является признак мажорации, выраженный в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть для всех натуральных n выполняются неравенства

an Cbn, C > 0.

Тогда из сходимости числового ряда еbn следует сходимость числового ряда е an .

Доказательство. Согласно критерию Коши сходимость ряда еbn эквивалентна условию

73

Знак модуля в последнем неравенстве можно опустить, потому что, как следует из условия теоремы 1, bn 0, n 1.

Поскольку

k n 1

что равносильно сходимости ряда е an и доказывает теорему 1.

Обратим внимание, что неравенство an Cbn теоремы 1 применялось не для всех n, а начиная с номера n0. Поэтому условие

теоремы 1 допускает ослабление. Именно, достаточно потребовать, чтобы неравенства an Cbn выполнялись для всех n > n0, где n0 - некоторое натуральное число.

2. Признак сравнения сходимости числового ряда

Другой признак, где используется знание о некоем тестовом ряде, известен под названием признака сравнения. Сформулируем его в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть bn 0, n 1, и существует предел

74

Если l > 0, то числовые ряды е an и е bn сходятся или расходятся одновременно. Если l = 0, то из сходимости ряда е bn следует сходимость ряда е an .

Доказательство. Последовательность

сходится, поэтому она ограничена:

для некоторого C > 0. Отсюда вытекает неравенство an C bn , которое по признаку мажорации устанавливает сходимость

числового ряда е an , если сходится ряд е bn . Это доказывает вторую часть теоремы при l = 0 и одностороннюю зависимость между сходимостью двух рядов при l > 0.

Пусть l > 0. Докажем обратную зависимость между сходимостью рядов. Числа an могут обращаться в нуль лишь для конечного набора номеров, иначе нашлась бы подпоследовательность

сходяшаяся к нулю, а это противоречит предположению l > 0. Поэтому существует n0 такое, что an 0 для n > n0. Теперь заключаем, что отношение

an

bn

75

определено для всех n > n0,

и поэтому ограничено:

с некоторым C > 0. Вновь по признаку мажорации неравенство bn C an , n > n0, устанавливает сходимость числового ряда е bn , если сходится ряд е an , и заканчивает доказательство теоремы 2.

Если принять, что предел в теореме 2 бесконечен,

то меняя ролями an и bn, сводим исследование к случаю l = 0. Таким образом, добавим к теореме 2 утверждение: если выполняется условие (1), то сходимость числового ряда е an влечет сходимость ряда е bn .

3. Признак Коши сходимости числового ряда

Признаки мажорации и сравнения предполагают знание о поведении одного из двух обсуждаемых рядов. Таким тестовым рядом часто выступает геометрический ряд. Есть несколько популярных признаков, в которых сравнение с геометрическим рядом проявляется в более глубокой форме, скрытой в доказательстве, и не выражено явно в их формулировках. Один из весьма распространенных признаков этого типа связывают с именем Коши. Он дается в следующей теореме.

Теорема 3. Предположим, что

76

lim n an l .

n

Если l < 1, то числовой ряд е an сходится. Если l > 1, то ряд е an расходится.

Доказательство. Пусть сначала l < 1. Положим

k sup kak , k 1 ak 1 ,..., nan .

Тогда

Выберем > 0 таким, что l + < 1. Тогда из неравенстваak < (l + )k, k > k0,

и сходимости геометрического ряда е(l + )n по признаку мажорации выводим утверждение о сходимости числового ряда е an .

Пусть теперь l > 1. Верхний предел - это частичный предел. Значит, существует подпоследовательность

n1 an1 , n2an2 ,..., nkank ,... ,

77

что нарушает необходимое условие limn an = 0 сходимости ряда. Следовательно, числовой ряд е an расходится, что заканчивает доказательство теоремы 3.

Случай l = 1 не попал в перечень возможностей, рассмотренных в теореме 3, и не имеет гарантированного ответа.

Во второй части теоремы 3 делается вывод о расходимости ряда е an , но доказательство в равной степени устанавливает и расходимость ряда еan.

Заметим, что утверждение теоремы 3 охватывает и случай l = , в котором ряд е an расходится.

4. Признак Даламбера сходимости числового ряда

Наряду с признаком Коши на практике очень удобен следующий признак Даламбера.

Теорема 4. Предположим, что an 0, n 1, и

78

Если l < 1, то числовой ряд е an сходится. Если l > 1, то ряд е an расходится.

Доказательство. Пусть сначала l < 1. Запишем по определению

Последнее неравенство равносильно системе двух неравенств

Выберем > 0 таким, что l + < 1, и выпишем p последовательных неравенств

79

Перемножив все неравенства, после многочисленных сокращений получим

сходятся одновременно, так как их частные суммы отличаются на постоянное число

n0 1

е ak .

k 1

Таким образом, мы установили сходимость ряда е an .

Пусть теперь l > 1. Снова воспользуемся определением (2) с эквивалентной системой неравенств (3), выберем > 0 так, что l > 1, и выпишем p последовательных неравенств

80