49

Выбирая для определенности uн =1, поучим конечное выражение. Конкретные

значения нормированных напряжения и тока на входе первого отрезка будут составлять 1,331+ j0,333 и 0,333 + j0,083, то есть для напряжения будем

наблюдать максимум, а для тока – минимум. Таким же образом могут быть рассчитаны значения нормированных напряжения и тока на входе второго отрезка: −0,073 + j0,335 и −0,330 + j1,332. Конечный вид распределений нормирован-

ных напряжения и тока приведены на рис.2.10.

Самостоятельно провести расчеты для случаев ϑ1 = 3π/ 4 та ϑ1 = 5π/ 4 .

2.8. Круговая диаграмма сопротивлений

Выражение для трансформации сопротивления не обладает достаточной наглядностью и не обеспечивает простых путей для соответствующих оценочных расчетов. Ситуация значительно упрощается при использовании диаграм-

мы полных сопротивлений или, другими словами, диаграммы Смита (англ. –

Smith chart). Такая диаграмма отображает зависимость комплексного сопротивления в декартовой системе координат, где ось абсцисс образована действительной частью, а ось ординат – мнимой частью комплексного коэффициента

отражения Γ = u + jv . В таких координатах точка (0,0), являющаяся центром

диаграммы, соответствует полному согласованию. Точка (1,0) соответствует режиму холостого хода и соответственно бесконечно большому сопротивлению, а точка (– 1,0) – режиму короткого замыкания и соответственно нулевому сопротивлению. Для реактивного сопротивления нагрузки и отсутствия потерь модуль коэффициента отражения равняется единице, этому случаю соответствует окружность единичного радиуса.

Для обеспечения общности рассматривают нормированное сопротивление Z /W = z = r + jx . Комплексный коэффициент отражения записывается со-

гласно выражению (2.35) как функция активной и реактивной составляющих сопротивления.

После разделения выражения на действительную и мнимую части и элементарных алгебраических преобразований для случая постоянного значения

51

В декартовых координатах u,v выражение (2.80) является уравнением семейства окружностей с центром в точке ( r /(1+ r), 0) и радиусом 1/(1+ r). Эти

окружности с различными значениями r приведены далее (рис.2.11,а). Каждая окружность – это геометрическое место точек, где активная часть нормированного сопротивления постоянна. Центры всех окружностей лежат на оси u, а

каждая из окружностей при r = const проходит через точку с координатами (1,0), то есть вс е окружности постоянного значения активной компоненты сопротивления имеют общую касательную в этой точке. Окружность со значением 1 соответствует случаю равенства активного сопротивления волновому сопротивлению линии передачи. Эта окружность проходит через центр диаграммы и имеет радиус равный 0,5.

Выражение для постоянного значения реактивной части нормированного сопротивления имеет вид

В декартовых координатах u , v это равенство является уравнением семейства окружностей с центром в точке с координатами u =1, v =1/ x и радиусом 1/ x . В этом случае центры окружностей размещены на вертикальной линии, проходящей через точку (1, 0). Индуктивным (положительным) сопротивлениям соответствуют окружности, расположенные над горизонтальной осью u, а емкостным (отрицательным) – ниже этой оси (рис.2.11,б).

Системы окружностей постоянного значения активной и реактивной компонент сопротивлений взаимно ортогональны.

Для расширения возможностей на круговую диаграмму сопротивлений наносятся также окружности постоянного КСВ (пунктирные линии на рис.2.11,в). В полностью согласованной линии коэффициент отражения равен нулю, то есть КстU =1. Этому значению КСВ соответствует точка с координа-

тами u = 0 , v = 0 в центре диаграммы. Если модуль коэффициента отражения равняется единице, величина КСВ стремится к бесконечности. Точка с координатами u =1, v = 0 соответствует бесконечно большому сопротивлению, то есть разомкнутой линии (режим холостого хода). При u = 0 , v = −1 чисто реактивное сопротивление имеет емкостной характер, а при u = 0 , v =1 – индуктивный. Через точку с координатами u = −1, v = 0 проходит окружность с r = 0, это соответствует короткому замыканию. В центре диаграммы, в точке с координатами u = 0 , v = 0 нормированное сопротивление z =1+ j0, то есть

совпадает с волновым сопротивлением линии, которое считается чисто активным. Ось абсцисс v = 0 соответствует чисто активным сопротивлениям, ось ординат u = 0 – чисто реактивным.

Отрезок, соединяющий точки холостого хода и короткого замыкания, представляет собой геометрическое место точек, в которых эквивалентные ток и напряжение синфазные, то есть является геометрическим местом чисто активных входных сопротивлений, которые изменяются от бесконечности до ну-

52

ля. Этот отрезок соответствует значениям нормированных сопротивлений в максимумах или минимумах стоячей волны, причем в минимумах они совпадают со значением КБВ, а в максимумах – с КСВ.

Таким образом, каждой точке плоскости диаграммы соответствует уникальное значение комплексного сопротивления, которое получают как сумму значений активного и реактивного сопротивлений. Соответствующие окружности для них проходят через эту точку (рис.2.11,в).

На внешней окружности круговой диаграммы сопротивлений нанесены значения фазы коэффициента отражения (в градусах), которая изменяется в пределах от ±180° при условии короткого замыкания до 0° в режиме холостого хода. Соответственно комплексный коэффициент отражения наносят на диаграмму в виде радиус-вектора, длина которого равняется модулю коэффициента отражения, а угол между радиусом-вектором и положительной осью равен фазе коэффициента отражения.

Следует отметить, что один полный оборот по круговой диаграммы соответствует перемещению вдоль линии на расстояние, равное половине длины волны (Λ/ 2) в ней. Движению по направлению к нагрузке соответствует вра-

щение коэффициента отражения против часовой стрелки, а по направлению к генератору – по часовой стрелке. Этот факт следует из закона трансформации коэффициента отражения: Г(l) = Гн exp(−2 jβl) і Гн = Г(0)exp( j2βl).

Окружности с центром в точке (0,0) соответствуют постоянным значениям модуля коэффициента отражения Γ (то есть постоянному значению КСВ

KстU ). Значения радиуса равняется Γ . Перемещению вдоль оси линии переда-

чи на одинаковые отрезки соответствует перемещение на диаграмме по окружности постоянного значения КСВ на одинаковые углы. Для удобства во время

работы значения Γ и KстU наносятся на прозрачную линейку, которая может

вращаться вокруг центра диаграммы. Одна из шкал на внешней окружности диаграммы проградуирована в единицах расстояния вдоль линии, нормированных на длину волны в ней. Максимальное значение расстояния соответствует половине длины волны в линии Λ2 .

Из рассмотренного выше можно сделать вывод, что переход от сопротивлений к проводимостям соответствует повороту на диаграмме на 180°, то есть перемещению вдоль линии на четверть длины волны (Λ/4). Если каждую точку, соответствующую определенному значению нормированного комплексного сопротивления, повернуть на 180° и полученные таким образом комплексные числа снова нанести в координатах u,v, то получим круговую диаграмму для

нормированных проводимостей. Следовательно, диаграмма проводимостей должна быть зеркальным отражением диаграммы полных сопротивлений относительно оси ординат.

На практике используют описанную диаграмму. Точке с координатами u =1, v = 0 соответствует режим короткого замыкания, в точке с координатами u = 0, v =1 проводимость чисто реактивная и имеет емкостный характер.