83
W |
−W |
2 |
|
|
|
|||||||
W W |
||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
W |
+W |
|
||||||||
S = |
W |
+W |
|
. |
||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
W W |
W |
−W |
||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
W |
+W |
|
W |
+W |
|
|||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
||
Таким образом, для нормированных амплитуд падающих и отраженных волн матрица рассеяния имеет симметричный вид, как это и должно быть исходя из того, что структура не содержит невзаимных элементов. Эту матрицу легко получить, используя выражение (4.13). Из непосредственного расчета имеем
s11 = W2 −W1 . Если W2 >W1 – это действительная положительная величина, то-
W2 +W1
гда выбираем ϕ11 |
= 0 и s11 = ρ. Если W2 <W1 |
, s11 – действительная отрицатель- |
|||||||||||||
ная величина, |
|
|
|
|
|
|
|
|
однако ϕ11 = π. |
Если выбрать |
|||||
тогда также выбираем |
s11 = ρ, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
, элементы s12 и |
s21 будут дей- |
|||
плоскость отсчета таким образом, чтобы ϕ21 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
равны |
|
= |
W1W2 |
|
|
|
||||||
ствительны |
и |
1−ρ2 |
Из |
приведенного |
следует, что |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
W +W |
|
|
|
|||||
|
W1 |
−W2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
s22 = −ρ = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
W2 |
+W1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.2. Волновые матрицы передачи многополюсников
Элементы матрицы рассеяния имеют прозрачный физический смысл и на основе определения могут быть экспериментально измерены с помощью стандартных СВЧ измерительных приборов. Но в случае каскадного соединения нескольких устройств СВЧ применения матрицы рассеяния затруднено, в этом случае целесообразно пользоваться волновой матрицей передачи T (англ. – transmission matrix). Волновая матрица передачи T устанавливает зависимость нормированных амплитуд на входах устройства СВЧ от нормированных амплитуд волн на его выходах. Применение такой матрицы целесообразно, если линии могут быть распределены на входящие и исходящие. Преимущество матрицы передачи заключается в том, что матрица T каскадного соединения ряда элементов СВЧ с матрицами передачи Tk равна произведению матриц пе-
редачи этих элементов T = T1T2...TK в отличие от матрицы S , для которой та-
кая операция недопустима. Для практически важного случая четырехполюсника соответствующая зависимость имеет вид
a |
|
|
|
|
|
|
t |
t |
b |
|
|||
|
|
= 11 |
|
2 |
. |
(4.20) |
1 |
12 |
|||||
b1 |
t21 |
t22 a2 |
|
|||
Комплексные элементы матрицы передачи t11,t12 ,t21,t22 не имеют такого простого физического смысла, как коэффициенты матрицы рассеяния, а представ-
84
ляют собой некоторые функции последних, например, элемент t11 равен 1/ s21 .
Следует отметить, что этот коэффициент для четырехполюсника называют величиной затухания и, как правило, измеряют в децибелах согласно
L = −20lg s21 (дБ).
Связь элементов матрицы передачи и матрицы рассеяния для случая четырехполюсника может быть получена из уравнений для матрицы рассеяния, записанных в виде
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ s12a2 , |
|
|
||
|
− s11a1 +b1 |
0 b2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− s21a1 + 0 b1 = −b2 + s22a2 , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в матричной форме имеем |
− s11 |
1 a1 |
|
0 |
s12 |
b2 |
|
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
(4.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
− s21 |
0 b1 |
|
−1 |
s22 a2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эти уравнения для волн на входе четырехполюсника, получим |
|
||||||||||||
a1 |
− s11 |
|
1 |
−1 |
|
0 |
s12 b2 |
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
b1 |
|
− s21 |
|
0 |
|
−1 |
s22 a |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда найдем выражение матрицы передачи через элементы матрицы рассеяния:
|
1 |
|
− s22 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s21 |
|
|
s21 |
|
|||||
T = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
s11 |
|
− |
|
s11s22 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
s12 |
|
|
|
||||||
s21 |
|
|
|
|
s21 |
|
|
|||
Аналогично можно получить матрицу S , элементы которой рассчитываются на основе известных элементов матрицы T :
t21
S = t111t11
|
t |
t |
|
|
t22 − |
12 21 |
|
|
|
t |
|
(4.25) |
||
|
11 |
. |
||
− |
t12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t11 |
|
|
|
Из выражения (4.9) для недиссипативного четырехполюсника следует соотно-
шение |
* |
* |
|
|
|
|
что в терминах волновой матрицы передачи дает |
|||||||
s11 / s21 |
= −s22 |
/ s12 , |
||||||||||||
|
* |
. Условие взаимности s21 |
= s12 обусловливает дополнительные соотно- |
|||||||||||
t12 |
= t12 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шения t |
= t* |
и |
|
t |
|
2 = |
|
t |
|
|
2 +1. |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
11 |
22 |
|
|
11 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
Продемонстрируем возможность применения матриц передачи и рассеяния для расчета коэффициентов отражения Γвх и прохождения для несогласо-
85
ванного четырехполюсника на основе данных об элементах матрицы S и коэффициенте отражения нагрузки Γн . Согласно определению
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.26) |
|
= b1 |
= t21b2 |
+t22a2 |
= t21 |
+t22a2 |
/ b2 |
= t21 |
+t22Γн . |
||||||||
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t11b2 |
+t12a2 |
|
t11 |
+t12a2 |
/ b2 |
|
t11 |
+t12Γн |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Использую формулу (4.25) для преобразования элементов матрицы T в элементы матрицы S , получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
s12s21Γн |
|
(4.27) |
||
|
|
|
|
. |
||||
Γвх = s11 |
|
|
|
|||||
|
|
|
1− s22Γн |
|
||||
Очевидно, что при полном согласовании с нагрузкой, то есть, при Γн = 0, коэффициент отражения Γвх равен s11 .
Примеры задач по теме
1. Вычислить коэффициент передачи четырехполюсника с учетом рассогласования, как со стороны нагрузки, так и со стороны генератора (рис.4.1).
|
|
bг a1 |
|
|
a2 |
bн |
|
|
|
|
s21 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Генератор |
|
|
s11 |
s22 |
|
|
Нагрузка |
|
aг |
b1 |
|
s12 |
|
b2 aн |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис.4.1. Несогласованный четырехполюсник
Решение
Коэффициент передачи четырехполюсника с учетом рассогласования, как со стороны нагрузки, так и со стороны генератора определяют отношением
волны на выходе b2 к волне на входе bг , образованной генератором. Запишем коэффициент передачи в виде
T = b2 = b2 a1 . bг a1 bг
Первый множитель в этом выражении соответствует коэффициенту передачи четырехполюсника при условии, что генератор согласован и bг = a1 , то есть
множитель описывает эффект рассогласования четырехполюсника и нагрузки. Второй множитель описывает передачу сигнала с выхода генератора на вход четырехполюсника. Из второго уравнения для связи волн с помощью матрицы рассеяния (4.21) получаем выражение для первого множителя:
86
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
s21 |
|
|
|
|
|
= |
|
s21 |
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a1 |
1 |
− s22 |
|
|
2 |
|
|
1− s22Γн |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Γ |
= bн |
= |
a2 |
. Для оценки влияния несогласования со стороны генератора |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
н |
|
aн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применим соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 = bΓ |
|
+b1Γг , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
= |
г |
. Из этого выражения, применяя соотношение s11 = |
1 |
, можно полу- |
|||||||||||||||||||
где Γг |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
aг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
чить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
= |
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
bг |
|
− s11Γг |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно для коэффициента передачи несогласованного четырехполюсника имеем
|
|
|
s21 |
|
|
|
T = |
|
|
|
|
|
. |
(1 |
|
|
|
|
||
|
− s11Γг )(1 |
− s22Γн ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В случае полного согласования с нагрузкой и генератором, то есть при условии Γг = Γн = 0 , коэффициент передачи равен s21. Из этого следует, что множитель
|
|
1 |
|
|
определяет влияние несогласованности четырехполюсника. |
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− s11Γг )(1 |
− s22Γн ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2. Рассчитать коэффициент отражения от отрезка линии передачи с волновым сопротивлением W2 длиной l , включенного между двумя линиями переда-
чи с волновыми сопротивлениями W1 и W3 .
Решение
Структура состоит из стыка двух линий с волновыми сопротивлениями W1 и W2 , отрезка линии длиной l , еще одного стыка двух линий с волновыми сопротивлениями W2 и W3 . Применим результаты упражнений предыдущего раздела. Тогда матрицы рассеяния для двух стыков могут быть записаны в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
1 |
−ρ |
2 |
|
|
||||
Si = |
|
i |
|
i |
|
, |
i =1,2; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
−ρi |
|
|
|
|
|||
|
−ρi |
|
|
|
|
|
|
|||||
а матрица для отрезка линии – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sl |
|
|
0 |
|
|
e− jβl |
|
||||
|
= |
|
|
|
|
0 |
|
. |
||||
|
|
|
|
e− jβl |
|
|
|
|
||||
87
Волновые матрицы передачи согласно выражению (4.24) имеют вид
Ti = |
1 |
|
1 |
ρi |
|
e jβl |
0 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
та |
Tl = |
|
e− jβl |
. |
||
|
|
|
|
|||||||||
1−ρi2 |
0 |
|||||||||||
|
|
ρi |
|
|
|
|
||||||
Волновая матрица передачи всей структуры является результатом соответствующего расчета:
T = T1Tl T2 |
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
ρ1 |
e jβl |
0 |
|
1 |
ρ2 |
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
e− jβl |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
− ρ2 |
|
|
|
|
1 |
− ρ2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
|
|
|
ρ2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e jβl +ρ ρ |
2 |
e− jβl |
ρ |
2 |
e jβl +ρ e− jβl |
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e− jβl |
e− jβl +ρ ρ |
|
e jβl |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1−ρ |
|
|
|
|
1−ρ |
2 ρ e jβl +ρ |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Согласно с формулами (4.4) элемент s11 , который совпадает с коэффициентом отражения, будет равен
s11 = ρ1e jβl +ρ2e− jβl . e jβl +ρ1ρ2e− jβl
Коэффициент отражения s11 равен нулю, если нулю равен числитель, то есть должно удовлетворяться соотношение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ e jβl +ρ |
2 |
e− jβl = 0. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
После перехода |
|
к волновым сопротивлениям с применением соотношений |
|||||||||||||
ρ = W2 |
−W1 |
и ρ |
2 |
= |
W3 |
−W2 |
|
получим выражение |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||
1 |
W2 |
+W1 |
|
W3 |
+W2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(W 2 −W W ) jsinβl + (W W −W W )cosβl = 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
3 |
1 |
2 |
||
Выражение равно нулю в трех случаях. Первый случай: W1 =W2 =W3 , βl может
быть положительным. Такая ситуация соответствует полному согласованию, то есть отсутствию скачков волнового сопротивления. Второй случай: βl = π/ 2,
W22 =W1W2 , что соответствует четвертьволновому трансформатору. Третий случай: βl = π, W3 =W1, W2 – произвольное, что соответствует случаю полуволнового трансформатора.
Контрольные вопросы
1.Что понимают под многополюсником (многоплечим устройством)
СВЧ?
2.Как связаны понятия плеча и полюса?
3.Как изменится количество плеч (полюсов) при изменении числа учитываемых типов волн?
88
4.Как определяют плоскость отсчета фазы?
5.Какие многополюсники называют пассивными?
6.Какие многополюсники называют линейными?
7.Как определяют комплексные амплитуды в плечах многополюсников?
8.В каких единицах измеряют комплексные амплитуды?
9.Что такое матрица рассеяния?
10.Какой смысл имеют индексы элементов матрицы рассеяния?
11.Какой физический смысл имеют диагональные и недиагональные элементы матрицы рассеяния (модули и фазы)?
12.Каким образом целесообразно выбирать плоскости отсчета для упрощения вида матрицы рассеяния?
13.Каким образом изменяются элементы матрицы рассеяния при изменении положения плоскостей отсчета в плечах?
14.Какие многополюсники называют недиссипативными?
15.Каким условиям должна удовлетворять матрица рассеяния недиссипативного многополюсника?
16.Какие матрицы называются эрмитовосопряженными, унитарными?
17.Какие многополюсники называют взаимными? Каким требованиям должна удовлетворять матрица рассеяния взаимного многополюсника?
18.Какой многополюсник называется реактивным?
19.Сколько и каких независимых переменных необходимо для построения матрицы рассеяния для недиссипативного четырехполюсника?
20.Сколько и каких независимых переменных необходимо для построения матрицы рассеяния для недиссипативного взаимного четырехполюсника?
21.Сколько и каких независимых переменных необходимо для построения матрицы рассеяния для недиссипативного взаимного симметричного четырехполюсника?
22.Какие формулы используются для перехода от матрицы рассеяния на основе нормированных амплитуд к матрице рассеяния на основе физических напряжений?
23.Каким образом вводится понятие о волновой матрице передачи?
24.Каким образом производится расчет матрицы рассеяния каскадного соединения с использованием формализма волновой матрицы передачи?