54. Інтерференція хвиль. Рівняння стоячої хвилі

Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після вза­ємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення нази­вається принципом суперпозиції.

В місцях зустрічі хвиль коливання середовища, які викликані кожною з хвиль, складаються одне з одним. Результат дода­вання (результуюча хвиля) залежить від співвідношення фаз, періодів і амплітуд хвиль, що накладаються.

Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов’язується з поняттям когерент­ності.

Д ві хвилі називаються когерентними, якщо мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі

Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому відбувається стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ос­лаблення в інших, залежно від співвідно­шення між фазами цих хвиль.

Розглянемо накладання двох коге­рентних косинусоїдальних хвиль, які збуджуються точ­ковими джерелами S₁ і S₂ (рис.10):

, .

Амплітуда А результуючої хвилі в точці М дорівнює

.

Оскільки для когерентних джерел різниця початкових фаз ,то результат інтерференції двох хвиль в різних точках залежить від величини , яка називається геометричною різницею ходу хвиль.

У точках, де ,

спостерігається інтерференційний макси­мум: амплітуда результуючого коливання .

В точках, де , спостерігається інтерференційний міні­мум: амплітуда результуючого коливання

.

m – порядок інтерференційного максимуму або мінімуму.

Оскільки хвильове число , де – довжина хвилі в даному середовищі, то при різниці ходу хвиль

амплітуда результуючого коливання максимальна. Якщо , то ця умова на­бирає вигляду

.

Амплітуда результуючого коливання міні­мальна в усіх точках, для яких

.

Якщо , то ця умова на­бирає вигляду

.

При інтерференції хвиль їхня енер­гія механічно не підсумовується. Інтерфе­ренція хвиль призводить до перерозподілу енергії коливань між сусідніми областями середовища.

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі.

Стоячі хвилі – це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.

Н ехай дві плоскі хвилі поширюють­ся назустріч одна одній вздовж осі в сере­довищі без згасання.

, .

де – різниця фаз хвиль у точці х=0 (рис.11).

Додавши ці рівняння і враховуючи, що , отримаємо рівняння стоячі хвилі:

.

Множник показує, що в точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою , що і коливання зустрічних хвиль.

Множник , який не залежить від часу, виражає амплітуду А_ст, результуючих хвиль, точніше – амплітуда як величина позитивна дорівнює абсолют­ному значенню цього множника:

.

Амплітуда результуючого коливання залежить від координати х, що визначає положення точок середовища.

У точках середовища, де

, ,

амплітуда А_ст досягає максимального зна­чення 2А. Точки, в яких А_ст максимальна,

називаються пучностями стоячої хвилі.

У точках середовища, де

,

А_ст=0. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються.

Виберемо початок відліку х так, щоб дорівнювало нулю. Тоді координати пучностей

,

а вузлів

.

Відстань між двома сусідніми пуч­ностями отримаємо, якщо знайдемо різни­цю двох значень х_n для двох послідовних значень т:

,

тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля.

Відстані вузла від найближчої пучності дорівнює:

.

Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухо­мих вузлових точок, які розміщені на від­стані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітуда­ми, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучності. Всі частинки одночасно прохо­дять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжно­му інтервалі між вузлами характер коливань такий самий, але фаза протилежна.

У стоячій хвилі енергія не перено­ситься – повна енергія коливань кожного елемента об’єму середовища обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно деформованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і від­бита хвилі, які утворюють цю стоячу хви­лю, переносять енергію в рівних кількості і в протилежних напрямках.