48. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язок. Резонанс

Розглянемо коливання, що їх здій­снює система, якщо на неї, крім пружної сили kx і сили опору , діє ще додаткова періодична сила F, яку називатимемо ви­мушуючою силою i яка змінюється за гар­монічним законом

.

Диференціальне рівняння вимуше­них коливань, що відбувається вздовж осі ОХ , має такий вигляд:

, ,

де , , .

Припустимо, що усталені вимушені коливання системи, які виникають під дією сили F, також є гармонічними, тобто

,

причому їх циклічна частота дорівнює цик­лічній частоті вимушуючої сили.

Задача полягає в знаходженні амплі­туди А і початкової фази φ.

Підставивши вирази для , і х у диференційне рівняння вимушених коливань, отримуємо:

,

де введено позначення

, , , .

Щоб додати ці коливання, викорис­таємо метод векторних діаграм. Відкладемо під кутом φ до осі ОХ за годинниковою стрілкою вектор , потім під кутом відносно вектора проти годинникової стрілки побудуємо вектор і вектор , який повернутий на кут відносно вектора . Додавши три вектори , , , от­римаємо вектор (рис. 2).

З рис. 2 видно, що

,

і, відповідно,

.

Звідси .

Амплітуда усталених вимушених ко­ливань прямо пропорційна до амплітуди вимушуючої сили F_o, обернено пропорцій­на масі т системи i зменшується із збіль­шенням коефіцієнта згасання.

Із рис. 2 можна отримати значення φ – зсув мас між зміщенням і вимушую­чою силою:

.

Розв’язок диференціального рівнян­ня вимушених коливань дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння

,

де і частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Доданок x₁ відіг­рає помітну роль лише на початковій стадії процесу виникнення коливань.

Якщо F_o, т і δ сталі, то амплітуда усталених вимушених коливань залежить тільки від співвідношення між циклічними частотами вимушуючої сили (Ω) і вільних коливань системи (ω_o).

Розглянемо залежність амплітуди А вимушених коливань від частоти Ω і по­будуємо криві (рис. 3) при різ­них значеннях коефіцієнта загасання δ. Чим менше δ, тим вище і правіше лежить максимум кривої. Якщо Ω=0, то

.

В такому разі коливання не здійснюються, а відхилення А_о називається статичною ам­плітудою. При всі криві асиптомічно прямують до нуля. Якщо згасання немає (δ = 0), то амплітуда коливань А зростає із зростанням циклічної частоти вимушу­ючої сили і при стає нескінчен­но великою.

Якщо є загасання ( ), то амплі­туда досягає максимального значення, коли вираз , що є в зна­меннику співвідношення для А, досягає мі­німуму. Це відбувається, коли

.

Виконуючи диференціювання, от­римуємо

.

Це рівняння має два розв’язки:

, .

Розв’язок відповідає максимуму знаменника виразу для А. Із інших двох розв’язків лише до­датний має фізичний сенс. Отже,

резонансна частота – частота, при якій ам­плітуда А коливань досягає максимального значення, – має такий вигляд:

.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти вимушуючої сили до частоти називається резонансом.

Для консервативної системи ( ) , а для дисипативної системи трохи менша від власної частоти системи. Підставивши у вираз для амплі­туди А, отримаємо вираз для амплітуди при резонансі:

.

При малому згасанні ( ) ам­плітуда при резонансі приблизно дорівнює

.

де Q – добротнїсть коливної системи. Отже, добротність характеризує резонансні властивості коливної системи: чим більше значення Q, тим більше А_р.

З виразу видно, що у випадку зміщення коливної системи і вимушуюча сила мають однакові фази; у всіх інших випадках . Залежність від при різних значеннях наведена на рис. 4.

Лекція №22