33. Cила Лоренца

Виникнення макроскопічної сили Ампера, що діє на провідник із струмом у магнітному полі, можна пояснити так. При проходженні струму носії заряду в провід­нику рухаються напрямлено. Тому магнітне поле відхиляє їх в один бік. При цьому во­ни стикаються з кристалічною граткою металу і передають їй певний імпульс, яко­го набули під дією магнітного поля. Макро­скопічним результатом елементарних про­цесів зіткнення окремих носіїв заряду з кристалічною граткою провідника є виник­нення сили Ампера.

Магнітне поле діє на вільні електро­ни в метал і і без електричного струму в провіднику. Оскільки електрони в цьому ви­падку рухаються тільки хаотично, то сумар­ний імпульс, який вони надають кристалічній гратці провідника, дорівнює нулю і провідник залишається нерухомим.

Для обчислення сили, що діє на ру­хомий заряд в магнітному полі, розглянемо елемент провідника dl зі струмом I у маг­нітному полі з індукцією . На цей еле­мент діє сила Ампера . Як­що елемент dl містить dN вільних носіїв за­ряду, то сила F, що припадає на один електрон, дорівнює:

,

де F_Л – сила Лоренца.

Кількість носіїв заряду dN в елементі Провідника dl запишемо через їх концентра­цію п та об’єм dV елемента:

,

S – площа поперечного перерізу провідника.

Тоді

.

Оскільки за електронною теорією , то

,

або

.

де – кут між векторами і . В загальному випадку

.

Напрямок сили Лоренца визначаєть­ся за правилом векторного добутку або пра­вилом лівої руки:

якщо долоню лівої руки розмістити так, щоб в неї входив вектор , а чотири витягнуті пальці спрямовувати вздовж вектора швидкості руху позитив­них зарядів, то відігнутий на 90° великий палець покаже напрямок сили, що діє на позитивний заряд.

На негативний заряд сила діє в проти­лежному напрямку (рис. 6).

Отже, магніт­не поле не діє на електричні заряди, що не рухаються.

С

Рис.49

ила Лоренца завжди перпендику­лярна до швидкості руху зарядженої час­тинки, тому вона змінює лише напрямок цієї швидкості, не змінюючи її модуля. Отже, сила Лоренца роботи не виконує і кінетична енергія частинки при русі в маг­нітному полі не змінюегься.

Якщо на рухомий електричний заряд, крім магнітного поля з індукцією , діє і електричне поле з напруженістю , то резуль­туюча сила , яка прикладена до заряду:

– формула Лоренца.

Якщо заряджена частинка рухається в магнітному полі зі швидкістю вздовж ліній магнітної індукції або в протилежний бік до напрямку магнітної індукції, то або . У такому разі , магнітне поле на частинку не діє і вона рухається рівномірно і прямолінійно.

Якщо заряджена частинка рухається в магнітному полі з швидкістю перпен­дикулярно до вектора , то сила Лоренца постійна за модулем і нормальна до тра­єкторії частинки. Частинка рухатиметься по колу, бо сила Лоренца за другим законом Ньютона буде створювати доцентрове при­скорення. Отже,

.

Звідси

,

де r – радіус кола.

Використавши зв’язок , знай­демо циклічну частоту та період Т обертання частинки навколо ліній індукції в магнітному полі:

, .

Період обертання частинки в одно­рідному магнітному полі не залежить від її швидкості (при << c ). На цьому грунту­ється дія циклічних прискорювачів заряд­жених частинок.

Нехай навколо точкового заряду + q, який знаходиться у вакуумі, описано довільну замкнену поверхню S

Рис.50

Л інії напруженості виходять з цієї поверхні. Виділимо довільну елементарну площадку ds, нормаль n до якої складає

к ут α з вектором Е. Спроектуємо еле­мент ds поверхні S на поверхню радіуса r з центром в місці знаходження заряду q.

Тоді dS_п =dSсоsα. Елементарний потік

а dώ -тілесний кут, під яким елементарну площадку ds видно з точкового заряду q.

Провівши інтегрування по куту, от­римаємо

Якщо всередині замкненої поверхні буде негативний заряд, то кут між нормал­лю і вектором Е буде тупий (лінії напру­женості входять всередину замкненої по­верхні). Отже, соsа < 0. Тоді dФ_Е < 0. Це означає, що потік через замкнену повер­хню

Н ехай всередині замкненої поверхні S буде N позитивних і негативних заря­дів (рис. 109). За принципом суперпозиції напруженість Е поля, що створюється

в сіма зарядами, дорівнює сумі напруже­ностей Е, що створюється кожним зарядом зокрема і .

Т ому проекція вектора Е на напрямок нормалі до пло­щадки dS дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх векторів Еi на цей напрямок:

Потік вектора напруженості резуль­туючого поля через довільну замкнену поверхню S, що охоплює заряди q1,q2,..qn дорівнює

Отже, потік вектора напруже­ності у вакуумі через довільну замкнену поверхню, яка охоплює електричні заряди, дорівнює алгебраїчній сумі цих зарядів, по­діленій на електричну сталу

Це твердження називається тео­ремою Остроградського-Гаусса.

Наприклад, для системи зарядів, які наведені на рис.109, потік напруженості

Якщо замкнена поверхня S не охоплює заряд q (риє. 110), то дотична до

поверхні S конічна поверхня з вершиною у точці О поділяє поверхню S , на дві час­тини:

S1 i S2.

Потік напруженості через поверхню 5 дорівнює сумі потоків: >

П отоки Ф_Е1 і ФЕ₂ дорівнюють один одному за абсолютною величиною, тому що поверхні S1 і S2 видно з точки О під тим самим тілесним кутом ώ. Оскільки для всіх елементів поверхні S1 кути між векторами Е і зовнішніми нормалями n гос­трі, а для поверхні S2 ці кути тупі, то

Тому сумарний потік через поверхню 8

Нехай заряд q знаходиться всередині замкненої поверхні S і лінії напруже­ності перетинають цю поверхню кілька ра­зів (риc.111).

Елементарний потік напруженості через площадки dS1….. dS2 дорів­нює

Отже, непарне число перетинів при обчисленні потоку,напруженості зводиться до одного перетину.