Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm
.pdfэлектрического пОля у катода равна нулю. Действительно, если (>Е=-ed fp jd x >0, то все эмитируемые электроны увлекались бы полем К аноду, и ток достиг бы насыщения при любых напряжениях Vна ано де. Если же еЕ =—edcpfcbc <0, то все электроны возвращались' бы на катод независимо от величины V, и ток не возникал бы. Таким образом, получаем
|
^(0) =0, d(p = 0 . |
(2.4.6) |
|
dx |
|
Для решения уравнения (2.4.5) умножим почленно обе стороны ра |
||
венства на <р : |
|
|
<pY = -—т=(р' |
1 |
<р' = 2а<рх** |
=> —<р'2 = 2а2^[<р => |
||
\'<Р |
2 |
|
(учтено граничное условие (2.4.6)). Решая получившееся уравнение, находим
d(p |
|
4 -г/л „ |
, |
„ |
(3 |
4/3 |
- |
|
|||||
9 ‘ |
=2 adx => —<р3/А=lax |
=> |
fp(x) =I —ax |
|||
|
3 |
|
|
v2 |
|
|
Полагаем <p(d) —V. Тогда из получившегося равенства следует |
||||||
|
|
a= — V3/\ . |
|
|
|
|
|
|
3d |
|
|
|
|
] (оскольку а2 =4ж|у|л/-т/2е > 0, то |
|
|
|
|
||
|
|
=cv3/2,c=- 1 |
2 е |
(2.4.7) |
||
|
|
|
||||
|
|
м = - 4,т V да |
9я*/ ^ /и |
|
||
Найденная, зависимость тока от приложенного напряжения называ |
||||||
ется законом трёх вторых Ленгмюра (рис. 2.4.2). |
|
.• |
||||
Рис. 2.4.2. Вольтамперная характеристика вакуумного диода
1) Найденная зависимость J(V) нелинейная, не удовлетворяющая Никону обычному Ома.
81
2) |
При высоких напряжениях V ток достигает насыщения, |
J —>/нас, |
поскольку эмиссионная способность катода достигает насы |
щения.
Выше предполагалось, что начальная скорость электронов равна нулю. Если учесть начальное распределение по скоростям электронов, вылетающих с катода, обусловленное тепловым движением, то в про странстве между электродами возникнет минимум потенциала, создаю щий потенциальный барьер для пролёта электронов (рис. 2.4.3). Этот минимум (точка х =х0 на кривой 2 рис. 2.4.2) возникает вследствие того, что более быстрые электроны создают область с повышенной плотностью отрицательного заряда между электродами.
Рис. 2.4.3. Распределение потенциала в вакуумном диоде между катодом (х = 0 ) и анодом (х = d). 1 - - случай, когда все эмитируемые электроны имеют нулевую начальную скорость, 2 - - учтён тепловой разброс начальных скоростей электронов
Благодаря наличию минимума медленные электроны возвращают ся к катоду, поскольку их кинетической энергии оказывается недоста точно для преодоления барьера. Быстрые же электроны достигают ано да. В области за барьером ( х > х0) происходит обычное ускорение всех
попавших туда электронов. Образовавшийся потенциальный барьер Называют виртуальным катодом, поскольку образующий его отрица тельный объёмный заряд играет роль аналогичную обычному катоду лампы.
Глава 3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
3.1.Сила Лоренца и сила Ампера
3.1.1.Магнитное поле
Магнитным полем называется силовое поле, действующее на дви ж ущ и еся заряды, токи и на тела, обладающие магнитным моментом.
Источниками магнитного поля являются токи (микроскопические и макроскопические), а также движущиеся заряды.
Неизменные во времени токи создают постоянные магнитные поля. В данной главе рассматриваются только такие поля.
Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции В, определяющим силу, действующую на движущийся заряд.
3.1.2. Сила Лоренца
Силой Лоренца называется сила, действующая на движущийся за ряд q со стороны магнитного поля:
F;i ~ —v x B ,
с
где вектор магнитной индукции В не зависит от величины заряда и ха рактеризует поле.
Полная сила, действующая на заряд, включает также силу со сто роны электрического поля:
F =gr^E+—v x b J.
3.1.3. Сила Ампера
Силой Ампера (иЛи амперовой силой) называют силу, действую щую на токи со стороны магнитного поля.
Будем называть произведение j dV объёмным элементом тока, а
произведение Jd l — линейным элементом тока.
Анализ экспериментальных данных позволил установить, что 1) сила, действующая на объёмный элемент тока jdV, равна
83
rfF=-jxBfi?F,
С
2) сила, действующая на линейный элемент тока Jdl, равна
dF =—сЯхВ,
с
где В : вектор, характеризующий магнитное поле в месте нахождения элемента тока, называемый индукцией.
Эти соотношения называют законом Ампера .
Пусть ток течёт по проводнику с площадью поперечного сечения S. Введём вектор участка проводника длиной dl формулой ей=ndl, где п
— единичный вектор вдоль проводника. Тогда j =(J/S')п и выражение для объёмного элемента тока можно переписать в виде
jVF =^ n j(5 ^ / ) = J d l.
Это соотношение показывает эквивалентность выражений для си лы Ампера в случаях объёмного и линейного элементов тока.
3.1.4. С вязь сил ы Л ор ен ц а и си л ы А м пера
Сила Лоренца, действующая на заряд dq, равна
dF —— V х В.
с
Поскольку dq = pdV и р \ =j, то сразу получаем силу Ампера, дейст
вующую на объёмный элемент тока: dF = —j х В dV.
с
3.2.Закон Био-Савара и его следствия
3.2.1.З акон Б и о-С а ва ра
Закон Био-Савара установлен экспериментально (1820 г.) путём анализа экспериментальных данных и определяет магнитное поле, соз даваемое объёмным и линейным элементами тока.
Если радиус-вектор точки наблюдения по отношению к рассматри ваемому элементу тока есть г (рис. 3.2.1), то поле, создаваемое объём ным элементом тока jdV, равно
1 Строго говоря, А.М. Ампер установил закон взаимодействия двух проводни ков, по которым течёт постоянный ток (1820 г.).
84
(3-2.1)
с |
Г 3 |
а поле линейного элемента тока Jd l |
даётся выражением |
|
(3.2.2) |
А |
А |
|
Рис. 3.2.1. Объёмный (слева) и линейный (справа) элементы тока создают маг нитное поле в точке наблюдения А
3.2.2. П оле п р ям ого б е ск о н е ч н о д л и н н о го т о н к о го п р ов од а с т оком
Найдём магнитное поле на расстоянии R от бесконечно длинного провода с током (Ъис. 3.2.21.
z
В
Рис. 3.2.2. Слева - - силовые линии индукции магнитного поля длинного прово да с током; справа - - к расчёту магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводом с током
Из закона БиоСавара (3.2.2) следует, что магнитные силовые ли нии перпендикулярны плоскости, содержащей радиус-вектор точки на блюдения и провод с током. Это значит, что они представляют собой окружности с центрами, лежащими на проводе, плоскость которых пер пендикулярна проводу.
Выберем силовую линию - - окружность радиуса R. Если радиусвектор г точки наблюдения (по отношению к элементу тока) образует угол а с плоскостью окружности, образованной рассматриваемой сило вой линией (рис. 3.2.2), то
\dlxr\ =d !r c o s a =Rdl.
85
Выберем ось z вдоль провода и поместим начало координат в центр ок ружности. Тогда dl =dz. Учтём также, что
|
z =R tga , dz- |
R da |
R |
|
|
' cos2 a ’ |
cosa |
||
Тогда из закона Био — Савара следует |
|
|||
J |
Rdz |
J |
R2d a |
cos a d a . |
dB =- |
г |
с cos |
a {Rjcos a ) |
|
c |
cR |
|||
Суммируя по всем элементам тока (при этом угол а меняется в преде лах (—яг/2 ,яг/2)), получим поле в точках рассматриваемой силовой
линии: |
j |
2j |
|
|
........ |
(3.2.3) |
|||
В - Г — cos a d a |
=f.-r-. |
|||
|
-я•*/2 cR |
гКcR |
|
3.2.3. Сила в за и м о дей ст в и я двух параллельны х п р о в о д о в с т оком
Найдём силу взаимодействия двух тонких параллельных проводов,
по которым текут токи J\ и J 2 (рис. 3.2.3а). |
'////, У/Ж |
W85 |
|
Л |
|
Ш7;
Рис. 3.2.3. а ;— по параллельным проводам, расположенным на расстоянии d друг от друга, текут токи J\ и J2 (здесь — в одном направлении); б — токи, те кущие в одном направлении, притягиваются; в— токи, текущие в противопо ложных направлениях, отталкиваются
Поле, создаваемое током J\ в точках, где находится провод с током J 2, равно
В Д - cd • .
Это поле по закону Ампера создаёт силу, действующую на участок про вода 2 длиной dl:
86
tW- |
-(ilxBj, dF =: |
|
с |
“ |
сЫ |
Сила, действующая на участок провода 2 длины I, равна |
||
|
F = 2 -J\J 2 |
I. |
|
c 2d |
|
Если токи в проводах текут в одном направлении, то это -—сила притяжения (как(показано на рис. 3.2.36). Если же токи текут в проти воположных направлениях, то между проводами возникает сила оттал кивания (рис. 3.2.3в).
3.2.4. М а гн и т н ое п о л е ви т ка с т оком н а е г о о си
Пусть ток циркулирует по круговому витку радиуса R (рис. 3.2.4). Найдём магнитное поле на оси на расстоянии z от плоскости витка.
Рис. 3.2.4. К расчёту магнитного поля, создаваемого витком с током на его оси
Поле, создаваемое линейным элементом тока, определяется, зако-
ном БиоСавара d& ■ J - с & у г . Поскольку Л_1_г, то
сг
J dl.
СГ
После суммирования по всем участкам провода ненулевой останется только z-компонента поля. Для рассматриваемого элемента тока
dB„ =^ -~ dlsm a. |
|
* |
cr z |
Поскольку все участки провода дают одинаковый вклад в dBz, то полу
чаем |
|
' |
2nR |
2 п . ъ |
(3.2.4) |
В =— —J s m a =— /sin а , |
||
cr |
cR |
|
87
где учтено, что I = 2k R, R = г sin а . |
Это выражение можно записать в |
||
следующем виде: |
|
|
|
В = 2 nR? J= - |
2 nR |
J. |
(3.2.5) |
сг |
ч 3/2 |
|
|
:(i?2 +z2f |
|
|
|
В частности, в центре витка ( а =я-/2, z =0 ) имеем В =2жJ jcR .
3.2.5. П оле и деа л ь н ого со л ен о и д а н а е г о о си
Идеальный соленоид — это соленоид, все витки которого плоские, а их плоскости перпендикулярны оси соленоида, причём расстоянием между соседними витками можно пренебречь.
Рассмотрим соленоид длины X, радиуса R и с плотностью намотки п витков на 1 см длины (рис. 3.2.5). Пусть по виткам течёт ток/. Найдём поле в точках оси соленоида. Соленоид считаем идеальным.
dz
\R
zo О
Рис. 3.2.5. Идеальный соленоид конечной длины. Координата z отсчитывается от левого края соленоида
Пусть из точки наблюдения ( z =z0) радиусы первого и последнего витков видны под углами соответственно а и Д причём границы соле ноида имеют координаты z =0 и z = 1. Выделим слой длиной dz, со держащий ndz витков. Пусть радиус этого слоя виден под углом (р.
Тогда вклад выбранного слоя в поле в точке наблюдения равен (соглас
но (3.2.4)) |
|
2 к Jn d z . |
3 |
аВ =-----------sin |
(р. |
cR |
|
Имея в виду, что координата слоя связана с углом (ри радиусом со леноида R соотношением (рис.3.2.5)
z - z 0 = ctg
имеем dz = —Rd<p (на рис. 3.2.5 координата точки наблюдения z0 < О, sin2 (p
а координата слоя z >0 ). Суммируя поля, создаваемые всеми витками соленоида, находим:
|
|
2лJ n |
Р |
|
(3.2.7) |
|
В =- |
[ sin q>d(p =— ^-(cos/? - cosa ) . |
|||
|
|
с |
3 |
с |
|
В частном случае длинного соленоида дальний торец виден под |
|||||
малым углом |
« |
0, так что |
|
|
|
|
|
|
В =-2 л J n (l-c o sa ). |
|
|
Отсюда следует, |
что на такого торце соленоида ( а = л/2 ) поле равно |
||||
В =2жп1/с , |
а в глубине, вдали от его края ( а ^ л ), В =4лп]/с. |
|
|||
Если сместить начало координат в центр соленоида (х =z —L/2),
то аналитически зависимость поля от координаты даётся формулой
В(х)- 2 л J n |
L/2—х |
i |
L/2+х |
|
■ sjiL -xf+ R 2 |
|
7(L/2+x f+ R 2 |
Эта зависимость показана на рис. 3.2.6 для случая длинного соленоида, имеющего отношение длины к диаметру L/R =10 » 1 . Видно, что поле в центре соленоида практически вдвое больше поля на краю.
Рис. 3.2.6. Зависимость поля на оси длинного соленоида от координаты. График построен для L/R= 10, Вт= A jmJjc — поле в центре соленоида, на торцах со
леноида поле приблизительно равно B J2
Как видно из приведённой формулы, краевые эффекты существен но проявляются на расстояниях - R от торцов соленоида. В объёме со леноида на расстояниях » R поле близко к такому же, как в бесконеч-
89
но длинном соленоиде. Нетрудно найти, что при R<szL в центре соле
ноида (х = 0 ) |
' |
|
AnJn |
|
(3.2.8) |
|
с |
3.2.6. М а гн и т н ое п о п е р а в н о м ер н о д в и ж у щ е го ся за р я д а
По закону Био-Савара для объёмного элемента тока
с г ъ
Поскольку j =еп \ , то j dV = (ей • dV)v =pdVw. Величина q =pdV —
полный |
заряд в |
объёме dV. Поэтому, произведя переобозначение |
dB - >В, получаем |
|
|
Вектор |
Е = qrj г 3 |
есть напряжённость электрического поля, создавае |
мого зарядом q. Поэтому создаваемое им магнитное поле равно
В ——v х Е .
С
В силу принципа суперпозиции такое же выражение определяет маг нитное поле произвольной системы, зарядов, движущихся (как целое) со скоростью V.
3.3. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции для магнитного поля в вакууме
3.3.1. В ек т ор н ы й п от ен ц и а л
Преобразуем формулу, выражающую закон Био-Савара. Пусть ра диус-вектор точки наблюдения есть г, а радиус-вектор объёмного эле мента тока, создающего магнитное поле, есть Г]. Тогда
Здесь г - г , — радиус-вектор точки наблюдения относительно выбран
ного элемента тока. Используем тождество
/ N
90