Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

среде усиливается по сравнению с полем в вакууме, а при ц < \ (в диа­

магнетиках) — ослабляется.

Из характерных свойств магнетиков отметим следующие.

1)Во внешнем неоднородном магнитном поле парамагнетики втя­ гиваются в область сильного поля, а диамагнетики выталкиваются из области сильного поля.

2)Если рассматривать поведение вытянутых образцов в магнитном поле, то окажется, что парамагнетики и ферромагнетики ориентируются вдоль силовых линий поля1, а диамагнетики — перпендикулярно сило­ вым линиям.

4.2.3.Преломление силовых линий

Рассмотрим поведение силовых линий магнитного поля на границе раздела двух магнетиков — рис. 4.2.1. Как следует из граничных усло­ вий, силовые линии преломляются:

Hl sin а, = Н2 sin а 2, cos а у =В2 cos а 2.

Отсюда следует, что при /л2 >//, силовые линии магнитного поля силь­

нее отклоняются от нормали к границе раздела сред: а\> а\. Это приво­ дит к сгущению силовых линий в среде с большей магнитной прони­ цаемостью, как показано на рис. 4.2.2.

На явлении преломления силовых линий основана магнитная за ­ щита. Если в металлическом теле (имеющем большую магнитную про­ ницаемость) имеется полость, то силовые линии внешнего магнитного поля сгущаются в металлической оболочке и идут по ней как по каналу, огибая полость (рис. 4.2.3). В результате поле в полости оказывается меньше внешнего поля. Разумеется, магнитная защита оказывается

1 На этом свойстве основано использование магнитных стрелок в компасах: ферромагнитные стрелки ориентируются вдоль силовых линий в направлении от одного полюсамагнита к другому.

111

лишь частичной, и её эффективность ниже, чем эффективность защиты от электростатических полей.

Рис. 4,2.1. Преломление

. силовых линий магнитного поля

Рис. 4.2.2. Сгущение силовых линий магнитного поля в области с большим значением /л; /I2 >/4

Рис. 4.2.3. Ослабление магнитного поля в полости, окружённой оболочкой с большой магнитной прони­ цаемостью

4.2.4. Намагничивание стерж н я во внешнем однородном поле

Внесём стержень, изготовленный из магнетика с магнитной прони­ цаемостью /л, во внешнее однородное магнитное поле В(15. Пусть стер­ жень ориентирован параллельно силовым линиям магнитного поля (рис. 4.2.4). Найдём магнитное поле В(!) внутри стержня и приобретён­ ный этим стержнем магнитный момент I.

Внешнее поле и поле в стержне в рассматриваемых условиях па­ раллельны и направлены вдоль оси стержня. Считая, что токи проводи­ мости отсутствуют, имеем следующие условия на границе раздела сред:

К"и -н2г.

112

В рассматриваемой задаче непрерывность касательной составляю­ щей напряжённости магнитного поля означает, ,что Н (,) =Н(е). По­

скольку среда вне стержня имеет /i = 1, то Н (е) =В (<1), так что

Н(0 =В(е).

Встержне имеем Н<1) =5 (,)//л. Таким образом:, получаем

В(0 =мВ(с)-

В соответствии с определением напряжённости магнитного поля имеем:

-1 В(е)

4я

4.2.5. Магнитное поле однородно намагниченного шара

Пусть имеется однородно намагниченный шар. Для нахождения создаваемого им магнитного поля воспользуемся формальной аналоги­ ей. Сопоставим задачу электростатики (для однородно поляризованного шара) и задачу магнитостатики (для однородно намагниченного шара):

Первая задача справедлива для случая, когда нет свободных зарядов, а вторая — когда нет токов проводимости. Сравнение показывает, что имеется формальное соответствие:

Е Н, D <г>В, Р I.

(Заметим, что ф изическое соответствие обратное: Е <-»В, D <-» Н ).

Используя это соответствие, можно перенести результаты решения од-

113

ной задачи на другую. Именно, поскольку поле однородно поляризо­ ванного шара радиуса R даётся формулами

/•

где р = 4л Р — дипольныи момент шара, то для однородно намагни­ ченного шара по аналогии получаем

4 л з

гдеm ——^-R I — магнитный момент шара. Вне шара магнитное поле

совпадает с полем точечного магнитного диполя смагнитным момен­ том ш.

4.2.6.Намагничивание шара во внешнем однородном поле

Пусть в однородное магнитное поле внесён магнетик в форме ша­ ра, имеющий магнитную проницаемость ц. Найдём магнитное поле внутри магнетика и приобретённый им магнитный момент.

Под действием магнитного поля шар намагничивается и приобре­ тает намагниченность I. В силу принципа суперпозиции поле внутри шара складывается из внешнего поля (В (е)) и поля АВ, вызванного на­ магниченностью:

B(i)=Bw +AB, ДВ=— I. 3

Поскольку

откуда находим поле внутри шара:

114

в(О_ В(«) pi +2

Намагниченность шара при этом оказывается равной

4.2.7. Постоянный магнит

Постоянный магнит — это ферромагнитное вещество с постоян­ ной (ненулевой) намагниченностью.

Поскольку силовые линии индукции магнитного поля В всегда замкнуты, то они ведут себя так же, как у витка с током (Токового дипо­ ля) или соленоида (рис. 4.2.5 слева).

Рис. 4.2.5. Силовые линии индукции В (слева) и напряжённости Н (справа) маг­ нитногополя внутрии вне магнита с намагниченностьюI

Величину магнитного поля внутри постоянного магнита можно найти следующим образом. Пусть магнит представляет собой длинный стержень с постоянной намагниченностью (рис. 4.2.5). Этот магнит эк­ вивалентен соленоиду, по боковой поверхности которого текут молеку­ лярные токи. Если соленоид имеет длину /, площадь поперечного сече­ ния S hN витков, а по его обмотке течёт ток J, то его магнитный момент равен т =N^JS/cy Следовательно, намагниченность эквивалентного

магнита равна

(V = IS -— объём магнита). Как было показано в разделе 3.2.5, в объёме длинного соленоида вдали от торцов B = 4 jm Jjc. Поэтому в объём е

длинного намагниченного стержня Д. =4л:1.

115

В векторной форме имеем В; =4ж\. На торцах длинного соленоида поле вдвое меньше. Поэтому на торцах магнита

Bs - 2л I.

Напряжённость магнитного поля Н во внешнем по отношению к магниту пространстве, где р =1, совпадает с индукцией, Н =В. По­

этому там совпадают и силовые линии Н и В.

Покажем, что в объёме магнита силовые линии В и Н направлены противоположно (рис. 4.2.5). Действительно, поскольку в отсутствие токов проводимости по теореме о циркуляции <^.ШЯ =0, то, взяв в

качестве контура L участки силовой линии, мы заключаем, что сущест­ вуют участки, где слагаемые Н<й имеют противоположные знаки, т.е. на любом замкнутом контуре, составленном из силовых линий, есть точки, в которых вектор Н меняет направление. Применительно к одно­ родно намагниченному телу это означает следующее. Силовые линии Н начинаются и кончаются в точках поверхности, где испытывает скачок намагниченность I. Действительно, из теоремы о циркуляции в диффе­ ренциальной форМе: divB =div(H +4я1) =0 следует, что

div Н =-Ал divI = 4лры.

Величина р м =—divl играет роль плотности «магнитных зарядов» —

\источников и стоков силовых линий (подобно электрическим зарядам,

*являющимся источниками и стоками силовых линий электрического поля). Пусть ось z направлена вдоль оси магнита, причём магнит нахо­

дится в области z < 0 . Тогда в непосредственной близости от Торца

Не (0) - Hi (0) = Ал1

(индексы i и е обозначают соответственно внутреннюю и внешнюю стороны торца). Последняя формула показывает, что величина I играет роль поверхностной плотности эффективных магнитных зарядов (сгт).

Величину напряжённости магнитного поля внутри магнита можно найти, рассматривая поле эквивалентного соленоида. Если магнит длинный, то вдали от торцов Вг =Ал1, так-что Нг =В- -Аж\ = 0. На

торце соленоида

#г (0) =В, (0) - Ал1 =-2ят/, ..

Не (0) = Ве (0) = 2л1. "

116

В магните большой, но конечной длины напряжённость поля в центре не обращается в нуль. Действительно, согласно (3.2.8) в магните

указывает на то, что вектор напряжённости магнитного поля направлен противоположно вектору индукции. Кроме того, величину qm =яД 21

можно формально рассматривать как эффективный магнитный заряд, сосредоточенный на торцах магнита и создающий напряж ённост ь маг­ нитного поля по закону Кулона.

Тороидальный магнит— это постоянный магнит, замкнутый в тор (рис. 4.2.6). В этом случае нет границ раздела сред, нет источников и стоков напряжённости магнитного поля Н. Поэтому из теоремы о цир­

куляции <j)^НйЛ =0 следует, что в объёме однородного тороидального магнита Н = 0. Соответственно оказывается В - Ал\ Ф 0.

Рис. 4.2.6. Намагниченный тор: Н=0, В ф 0

4.3.Магнитные цепи

4.3.1.Захват магнитного потока сердечником

Рассмотрим цилиндр, изготовленный из вещества с большой по­ стоянной магнитной проницаемостью ( р .» 1 ) . Пусть этот цилиндр на­

ходится во внешнем магнитном поле Н(с), параллельном образующей цилиндра (рис. 4.3.1). Считаем, что вне цилиндра среда немагнитная, т.е. имеет магнитную проницаемость р —\.

В силу граничных условий на боковой поверхности цилиндра имеем

H f ~ и 1:\

117

Следовательно, в рассматриваемых условиях поля внутри и вне цилин­ дра связаны соотношением

в (е) =Н(<0 =Н(0 =B(i)jju.

Таким образом, при p i» 1 поле в объёме цилиндра оказывается

значительно больше пОля вне цилиндра: В(е) «г В(‘}. Соответственно магнитный поток практически полностью сосредоточен в цилиндре. Это значит, что цилиндр является магнитопроводом, позволяющим перено­ сить магнитный поток от источника к приёмнику почти без потерь,- По­ этому вещества с большим значением магнитной проницаемости ис­ пользуют в качестве сердечников с целью уменьшить потери (рассеяние) магнитного поля.

4.3.2. Простейшая магнитная цепь. Закон Ома для магнитной цепи

Пусть из вещества с ц » 1 изготовлен сердечник, на который на­

вито N витков, а по виткам пропущен ток J (рис. 4.3.2).

Так как поле вне сердечника мало, то почти весь магнитный поток

захватывается.сердечником (S — сечение сердечника). Иными словами, имеется приближённый закон сохранения:

Ф = const

вдоль контура, проходящего по неразветвлённому сердечнику, г

Рис. 4.3.2. Магнитная цепь, состоящая из сердечника, на

акоторый, навита катушка с N витками. Сердечник имеет разрез ширины а

Пусть S — площадь сечения сердечника, I — Длина Сердечника,

а— ширина зазора. Положим

1)Sl/2 » а. Величина S^ 2 — есть характерный поперечный размер сердечника (поперёк потока). Данное неравенство означает, что поле в

118

зазоре можно считать практически однородным, пренебрегая краевыми эффектами.

2) / » S1/2. В этом случае можно пренебречь неоднородностью по­ ля по сечению сердечника, что позволяет положить

Ф - BS.

Применим теорему о циркуляции для магнитного поля к замкну­ тому контуру Г, проходящему по сердечнику, как показано на рис. 4.3.2:

4яг

)Ш =— NJ.

Ф1

г с

С учётом принятых допущений отсюда следует

Ап

Hc l +H3a =— NJ.

с

Здесь Нс — напряжённость поля в сердечнике, а Н3 — напряжённость поля в зазоре. Исключим поле в зазоре, воспользовавшись,граничным условием Вс - В 3 (выполняющимся потому, что поле в зазоре перпен­ дикулярно граничным поверхностям зазора):

Н3 =В3 =ВС

(первое равенство справедливо, поскольку в зазоре среда имеет ц =1).

Кроме того, учтём, что в сердечнике Нс —Вс /Ц. Тогда имеем . .,..

:l +Bc a = — NJ.

движ ущ ей силой. Вводя обозначение

Iа

s ’

перепишем полученное равенство в виде

м . - * ' -

Величина Rm называется магнитным сопротивлением, а полученное равенство есть аналог закона Ома для магнитной цепи. В роли тока

119

здесь выступает магнитный поток, а в роли ЭДС — магнитодвижущая сила (МДС).

4.3.3. Правила Кирхгофа для магнитных цепей

Подобно правилам Кирхгофа для электрических цепей, существу­ ют аналогичные правила для разветвлённых магнитных цепей.

Правило 1. Алгебраическая сумма магнитных потоков, сходящихся в узле, равна нулю:

1 ф,=°-

Это равенство выражает закон сохранения магнитного потока (аналог закона сохранения заряда для электрических цепей) и прямо следует из теоремы Гаусса

S

применённой к узлу (рис. 4.3.3) с учётом того, что все магнитные пото­ ки сосредоточены в сердечнике.

Правило 2- Для любого замкнуто^ контура

1 > д „ ,

iк

Вправой части равенства стоит сумма всех МДС, действующих в рас­ сматриваемом контуре. Это равенство прямо следует из теоремы о цир­ куляции для магнитного поля.

Вкачестве примера на рис. 4.3.4 приведён простейший пример разветвлённой магнитной цепи. Для этой цепи составим уравнения Кирхгофа.

Рис. 4.3.3. Узел, в котором сходятся магнитные потоки. S — замкнутая поверхность, охватывающая узел

Во-первых, для узла Ух имеем Ф1+Ф2 +Ф3 =0.

Далее, для контура, включающего сердечники 1 и 2, имеем

' " Ф А 1- Ф 2^ 2 ^ . + ^ -

а для контура, включающего сердечники 1 и 3, имеем

■120