Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Предисловие

Предлагаемое пособие основано на лекциях, читавшихся автором студентам МФТИ в курсе общей физики. Изложены основные вопросы, включённые в настоящее время в программу.

Общая физика — это динамичный, развивающийся предмет, куда включаются, наряду с устоявшимися фундаментальными разделами, и актуальные вопросы, затрагивающие основные направления современ­ ной физики. Поэтому в традиционных учебниках не всегда можно найти нужную информацию. Данное пособие имеет целью частично заполнить

этот пробел.

К сожалению, из-за ограниченного объёма книги большое число интересных и важных вопросов не получило отражения. В частности, почти не затрагивались вопросы эксперимента. В то же время изложе­ ние построено так, чтобы логика физики, её методы были понятны, а все основные утверждения получили обоснование.

Поскольку в электродинамике широко используется векторный анализ, в приложении приведены важнейшие определения и'формулы из этого раздела математики. Используемая при изучении колебаний и волн теория рядов и интегралов Фурье излагается непосредственно в тексте книги.

В данной книге используется преимущественно гауссова система единиц. Вместе с тем в приложении даётся вид важнейших соотноше­ ний в системе СИ. Там же приводятся основные единицы измерения. При изложении теории колебаний в электрических цепях используется

система СИ.

Для более полного изучения предмета можно рекомендовать книги [1-9], список которых приведён в конце пособия.

11

Глава 1 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

1.1.Основные понятия

1.1.1.О п р едел ен и я

Электромагнитное взаимодействие является одним из фундамен­ тальных типов взаимодействий, наряду с гравитационным, слабым и сильным взаимодействиями. Оно осуществляется на расстоянии, без прямого контакта взаимодействующих тел, и передается с помощью особого носителя — электромагнитного поля.

. Электромагнитным полем называется область пространства, где действуют электрические и магнитные силы.

Поле создаётся электрическими зарядами и действует на заряды. Заряд — это мера взаимодействия заряженного тела с полем. Фак­

тически, заряд определяет интенсивность взаимодействия заряженных тел.

Опытным путём было установлено, что в природе существуют за­ ряды двух типов, которые условно делят на положительные и отрица­ тельные. Положительный заряд несут, например, протоны, а отрица­ тельный— электроны.

В природе заряд меняется (переносится) дискретно, причём любой ненулевой заряд кратен некоторому элементарному заряду, численно равному заряду электрона:

е = 4,803-10-10 ед. СГСЭ =1,602-10“19Кл,

будучи либо положительным, либо отрицательным1.

Заряд — это сохраняющаяся величина. Положительные и отрица­ тельные заряды могут рождаться в равных количествах или взаимно уничтожать друг друга. При этом суммарный электрический заряд ве­ щества не меняется.

Строго говоря, минимальная порция заряда — в три раза меньше. Зарядами

±е/3, ± е/3 обладают кварки.

12

Для исследования поля, создаваемого какими-либо зарядами (за­ ряженными телами), можно использовать пробны е заряды.

Пробным называется такой небольшой по величине точечный за­ ряд, который не производит заметного перераспределения зарядов, соз­ дающих исследуемое поле.

Покоящиеся заряды создают неизменное во времени поле, которое называется электростатическим:

1.1.2. З акон К ул она

Экспериментально установлено, что заряды одного знака (одно­ имённые заряды) отталкиваются, а заряды разного знака (разноимённые

заряды) — притягиваются.

Точечным называется такой заряд, размерами и формой которого в рассматриваемых условиях можно пренебречь.

Закон, установленный Ш. Кулоном в 1785 г., утверждает, что сила, действующая на точечный заряд q со стороны точечного заряда Q, равна по величине

и направлена по прямой, соединяющей заряды. В векторной форме за­ кон Кулона записывается в виде

К - Щ г.

Г

Радиус-вектор г направлен от центра (заряда Q) к заряду q (рис. 1.1.1). На рисунке направление силы отвечает случаю зарядов б и ? одинако­ вого знака.

1.1.3. Н а п р я ж ен н о ст ь эл ек т р и ч еск о го п ол я

Опытным путём установлено, что если поместить в электрическое поле точечный заряд q, то отношение силы F, действующей на этот за­ ряд, к величине заряда не зависит от величины заряда. Следовательно, отношение F/q характеризует поле, но не заряд.

Н апряжённостью электрического поля в некоторой точке называ­ ется сила, действующая на единичный точечный заряд:

13

F

E =—, F = 9E.

4

В соответствии с законом Кулона напряжённость поля точечного заряда Q равна

FО

г3

1.1.4. С иловая л и н и я

Силовой линией называется такая линия, в каждой точке которой направление касательной к ней совпадает с направлением напряжённо­ сти поля в той же точке (рис. 1.1.2).

Е _ Е

1.1.5. П ринцип су п ер п о зи ц и и

Сила, действующая на заряд q со стороны системы других зарядов, равна векторной сумме сил, независимо действующих на рассматривае­ мый заряд со стороны каждого из зарядов системы:

Поскольку Б)- =#Ег, то напряжённость поля в данной точке также

равна векторной сумме напряжённостей полей, независимо создаваемых

вданной точке каждым из зарядов системы:

Е=Ё Ег

2=1

1.1.6. Д и п ол ьн ы й м ом ен т си ст ем ы за р я д о в

Для произвольной системы зарядов дипольный момент определя­ ется формулой

.

где гг — радиус-вектор г-го заряда.

14

В общем случае эта величина зависит от выбора начала отсчёта.

ный момент р определён однозначно. Действительно, сменим в опреде­ лении вектора р начало отсчёта, так что новое начало отсчёта имеет радиус-вектор г0 относительно прежнего. Тогда, обозначая новые ради­ ус-векторы зарядов как г/, имеем г/=гг- —г0, откуда следует

из двух точечных зарядов, одинаковых по величине и противоположных по знаку (рис. 1.1.3).

Плечо диполя — это вектор, идущий от отрицательного заряда к положительному, длина которого равна расстоянию между зарядами.

Дипольным моментом диполя называется вектор р = ql.

Диполь называется точечным, если расстояние между его заряда­ ми (плечо диполя) I мало по сравнению с расстоянием г от диполя до точки наблюдения: /«: г .

В случае элементарного диполя общее определение дипольного момента совпадает с определением, данным для частного случая:

Р = (+?К + (-з)г- = Ч(*■+- г- ) = Ф,

где 1=г+-г_ , Диполь называется жёстким , если расстояние между образующи­

ми его зарядами неизменно. Если же расстояние между зарядами .может меняться под действием внешних сил, то такой диполь называется упру­ гим (или квазиупругим).

1.1.7. П оле т о ч еч н о го ди п ол я

Поле точечного диполя можно найти (рис. 1.1.4) с помощью прин­

15

Обозначим Е0 =q r j г 3, r+ =г. Считая /« г +/_ и разлагая функ­ цию Е по степеням малого смещения l =(!x,ly , lz), получаем

Рис. 1.1.4. К расчёту поля точечного диполя

Здесь введён вектор дипольного момента р = . Кроме того, для ком­ пактности записи содержимого квадратной скобки использован вектор­

Таким образом, напряжённость поля точечного диполя убывает с расстоянием по закону Е ~1/г3.

Силовые линии диполя идут от положительного заряда к отрица­ тельному, как это показано на рис. 1.1.5.

Рис. 1.1.5. Силовые линии поля ди­ поля

1.1.8. М ом ент сил , д ей ст в ую щ и й н а ди п ол ь в о д н о р о д н о м эл ек т р и ч еск ом п о л е

Рассмотрим поведение жёсткого точечного диполя, находящегося в однородном электрическом поле — рис. 1.1.6. Поскольку в однородном поле силы, действующие на заряды диполя, одинаковы по величине и противоположно направлены, F+=—F =gE, находим

16

dE =dEr = a '27!? d p co s 9.

Учтём, что

Тогда поле, создаваемое всем диском в точке Р, оказывается равным

В частных случаях малого и большого расстояний d от плоскости диска находим:

Е =2п а при d - >(),

Таким образом, поле вдали от заряженного диска совпадает с по­ лем точечного заряда той же величины.

Рис. 1.1.7. К расчёту поля на оси равномерно заряженного диска

Заметим, что по другую сторону диска ( х <0 ) поле даётся теми же формулами, но направлено в противоположную сторону.

Формула Е = 2тт даёт величину напряжённости поля, создавае­ мого бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхност­ ной плотностью заряда егна произвольном расстоянии от этой плоско­ сти. Действительно, устремляя формально радиус пластины к бесконечности, R -^ со, замечаем, что любая точка на поверхности мо­ жет быть выбрана за начало отсчёта. Кроме того, на любом конечном расстоянии от плоскости (i? —> po) окажется d/R —» 0. Сказанное озна-

18

чает, что бесконечная плоскость создаёт однородное поле е напряжён­ ностью, по величине равной Е =2п и , и направленной симметрично в противоположные стороны по разные стороны плоскости.

1.2.Теорема Гаусса для электрического поля

ввакууме

1.2.1.Ф орм ул и ровка т еорем ы Г а усса

.Для расчёта электрических полей, а также для формулировки об­ щих уравнений электродинамики большое значение имеет теорема Га­ усса.

Определим вектор площади элементарной площадки dS как dS =ndS, где dS — площадь элементарной площадки, а п — единич­ ный вектор нормали к этой площадке (рис. 1.2.1).

dS

Поток вектора напряжённости поля Е через площадку dS равен

(рис. 1.2.1)

й?Ф =EdS cos в - EJS.

Поток через замкнутую поверхность равен Ф =фЕ<$>.

где q — полный заряд, находящийся в объёме V, ограниченном поверх­

Это равенство содержит операцию «дивергенция», Даваемую в декарто­ вых координатах формулой

19

В последнем равенстве использован векторный оператор «набла»:

1.2.2.Д ок а за т ел ьст во т еор ем ы Г а у сса

1)Точечный заряд q в цент ре сф еры р а ди уса г

Поместим начало координат в центр сферы. В этом случае вектор элементарной площадки на поверхности сферы параллелен радиусвектору этой площадки: dS |г (в случае замкнутой поверхности за на­ правление вектора dS принимается внешняя нормаль к поверхности).

Поскольку Е =qr/r3, то поток напряжённости поля через рассматри­ ваемую площадку равен

d<S>=^dS =\ d S :

г

Суммируя потоки по всем элементарным площадкам, находим поток через всю поверхность сферы:

Ф =ArS =\ 4 я г 2 =47iq.

г 1 г 1

2) П оверхность — несф ерическая

,В этом случае для элементарного потока имеем выражение dO = EdS =\ r d S =4 - ^ ц ,

гг

где dS^ — проекция вектора dS на радиус-вектор г (рис. 1.2.2).

3) Заряд находит ся вне зам кнут ой поверхност и

Выберем произвольную силовую линию, дважды пересекающую поверхность, и вокруг неё конус с телесным углом при вершине dfi. Этот конус вырезает на рассматриваемой поверхности две элементар­ ные площадки (рис. 1.2.3). Соответственно поток напряжённости поля через эти площадки </Ф =d 0 1+й?Ф2.

20