Уравнение для магнитного поля получается применением опера ции rot к уравнению (12.3.2г) и последующим применением уравнения
(12.3.26):
1 |
32Н |
4 я |
(12.3.4) |
с2 |
8t2 ' |
•ДН =— rotj. |
/ |
с |
|
Перепишем теперь уравнения (12.3.3), (12.3.4), выразив поля через |
потенциалы по формулам |
|
|
|
|
|
, |
ч |
„ |
, |
15А |
(12.3.5) |
(6) |
H = rotA |
с Т - |
|
|
(первая из них получена в разделе 5.2.6, а вторая — в 3.3.1). Подстанов ка этих выражений в (12.3.3), (12.3.4) даёт
Л_Э1_Л |
-grad (р- 1 ЭА |
— |
— 4к grad р , |
с 2 dt2 |
|
|
с dt |
с-2 |
dt |
\_tf_ |
|
|
4я |
|
(12.3.6) |
-А |
|
|
|
с 2 dt2 |
rotA =— rotj.. |
|
|
|
|
с |
|
|
Последнее уравнение удовлетворится тождественно, если положить |
|
|
1 |
d2А |
4я |
(12.3.7) |
|
|
с2 |
ДА =— j. |
|
|
dt2 |
с |
|
С учётом (12.3.7) первое уравнение в (12.3.6) примет вид |
|
|
JL.il |
grad <р=4я grad р. |
|
|
с2 dt2 |
|
|
|
Данное равенство удовлетворится, если скалярный потенциал подчи нить уравнению
1 d2<p -А(р = 4яр. |
(12.3.8) |
с 2 dt2 ' |
|
Как известно, закон сохранения заряда (уравнение непрерывности) |
имеет вид |
|
dp + divj = 0. |
(12.3.9) |
dt |
|
Это уравнение накладывает ограничения на допустимые значения по
тенциалов. Действительно, применяя операцию —— к уравнению c d t
(12.3.8) й операцию div — к уравнению (12.3.7), а затем почленно скла дывая уравнения с учётом соотношения (12.3.9), получим
2 |
N/ |
\ |
|
|
, с dt |
+div A I =0. |
(12.3.10) |
|
J |
|
Последнее равенство означает, что в принятых допущениях между по тенциалами имеется связь
- ^ +divA = 0. |
(12.3.11) |
с dt |
|
Данное соотношение называется калибровкой потенциалов. Более точ но: равенство (12.3.11) задаёт лоренцеву калибровку.
12.3.2. О к а л и бр овк е п от ен ц и а л ов
Иногда, кроме лоренцевой, используют другие калибровки. Воз можность выбора разных калибровок связана с неоднозначностью зада ния потенциалов. Так, кроме сдвига на произвольную постоянную при выборе начала отсчёта скалярного потенциала р и н а произвольный по стоянный вектор — в выборе начала отсчёта векторного потенциала А, возможны различные иные преобразования потенциалов, не меняющие значений электрического и магнитного полей Е и В.
Поля выражаются через потенциалы формулами
1 яд
(а) Е =—grad^————, (б) H =rotA.
с dt.
Из последнего равенства видно, что в силу тождества rotgradу/ =0 за мена
А - » А '=A +grad^
не меняет магнитного поля:
Н =rot А =rotА '= Н'.
Здесь у/—1произвольная функция координат и времени. Имея в виду
это равенство, запишем выражение для Е: |
|
|
„ |
, |
I d , . , |
, |
л |
, , 1 оА' |
Е =—grad^----—(A - g r a d ^ j =-grad^>-------— = Е. |
|
|
с dt |
|
|
с |
dt |
Здесь введено обозначение |
1 |
dy/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Р =<Р—с |
dt |
|
|
Из приведённых уравнений следует,. что |
переход |
от потенциалов |
{(р, А} к потенциалам {(р\ А'} по формулам |
|
|
Л' - A +gradi/',
,1 дуг
*р ~р — НГ
С 01
не меняет электрического и магнитного полей. В то же время этот про извол позволяет иногда упростить вид уравнений^
12.3.3. З а п а зды ва ю щ и е п от ен ц и а л ы |
ч |
Рассмотрим уравнение для скалярного потенциала |
|
1 Я2 |
(12.3.12) |
— - ^ - К ( р =Аяр, |
с2 дГ |
|
вкотором плотность заряда — некоторая функция координат и времени,
р=p (r, t). Пусть заряды находятся в ограниченной области простран
ства с размерами порядка а. Нас будет интересовать решение уравнения (12.3.12) на расстояниях, значительно превышающих размер этой об ласти: г » а.
Необходимо учесть, что электромагнитная волна достигнет наблю дателя с запаздыванием, т.е. о состоянии зарядов, какое они имели в такой момент времени t0, неподвижный наблюдатель «узнает» только в момент времени
4=<о+—с |
.. |
(12.3.13) |
где r(t0) — расстояние от заряда до наблюдателя в момент t0. |
|
Если бы не было запаздывания, то решение уравнения (12.3.12) |
имело бы вид |
|
|
|
|
<p(r,t) |
|
|
(12.3.14) |
|
v |
lr ~ |
r il |
|
Для учёта запаздывания мы должны в этом выражении брать плотность |
заряда в более ранние моменты: |
|
|
|
г /7 ( г , , г —|г —Г, |
d vv (12.3.15) |
y ( r , 0 = f |
V |
, |
| |
V |
Ml . |
|
Аналогичньш образом можно записать и решение волнового уравнения |
для векторного потенциала: |
|
|
|
|
1 , j(r,,£~|r-rJ/c) |
d v\-(12.3.16) |
А(г, 0 = |
I |
, |
I |
c i |
lr - ril |
|
Интегрирование в (12.3.15), (12.3.16) должно проводиться по всей об ласти пространства, где находятся заряды и токи.
На больших расстояниях, когда источник выглядит как точечный, это уравнение имеет решение в виде сферических волн
12.3.4. П от енциал ы к о л еб л ю щ его ся т о ч еч н о го ди п ол я
Переходя к случаю точечного диполя, запишем решение (12.3.16) следующим образом:
c i ;г --п|
где суммирование производится по зарядам диполя. Поскольку рас сматривается точечный диполь, то можно пренебречь разницей рас стояний и времён запаздывания от различных зарядов диполя, положив
|
A(r, , ) = ‘ Z |
* ! i f c i M |
. |
‘ |
Учтём, что |
C i |
r |
|
|
|
|
|
|
Е 9tъ(* ~ Г1С) =Z « л (*■_ г! с) =р(*“ ■г( с): |
|
|
i |
i |
|
|
|
Таким образом, векторный потенциал оказывается равным |
|
|
|
А(г, |
СГ |
(12.3.17) |
|
|
|
|
Для нахождения скалярного потенциала можно воспользоваться ,усло вием калибровки (12.3.11). Подставляя в него выражение (12.3.17), по лучаем
дф |
р(t-r/ c) |
|
рi f - r j c ) |
по окт» |
— =- aiv 5-^-— |
или ср =-div—-----— |
(12.3.18) |
dt |
г |
|
г |
|
Дифференцирование подобных выражений осуществляется по сле |
дующему образцу: |
; |
|
|
|
^ - f { t - r l c ) =f ' { t - r lc ) - ^ - { t - r lc ) =- - f ' ( t - r l c ) , |
|
or |
|
or |
с |
£ =t - r j c |
где штрих обозначает |
производную |
по всему аргументу |
функцииf что эквивалентно дифференцированию по времени: / ' =/.
Имея в виду сказанное, вычисляем правую часть равенства
(12.3.18):
divM? — |
=A.div |
_ rj c ^\+p(t~ rj c)Vf— |
r |
r |
|
\r |
Л р Г Л у Л - Е = _ Р 1 _ Е |
r \ c |
J Г |
cr |
r |
Следовательно, из (12.3.18) находив |
|
|
|
с г |
г |
Второе слагаемое совпадает с потенциалом статического поля диполя,
убывающим с расстоянием как ^>стат ~ г-2. Первое слагаемое отлично от нуля, только если дипольный момент меняется со временем и убыва
ет с расстоянием медленнее: (рчш ~ г-1. Оно описывает электромагнит ное излучение диполя. Оставляя только это слагаемое, получаем
= |
(12.3.19) |
сг |
|
Напомним, что значениедипольногомомента р в |
формуле |
(12.3.19) следует брать в момент t - r / c . |
|
12.3.5. Излучение точечного диполя
Зная потенциалы (12.3.17), (12.3.19), можно найти электрическое и
магнитное поля по формулам |
1 |
йА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.3.20) |
Е =-grad^— — ,H =rotA. |
|
|
|
|
с |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Для магнитного поля находим следующее выражение: |
|
р ( t - r l c ) |
\(\ |
|
|
|
|
Л |
Н = rot—-----'-1 =- |
- r o t p - p x V - = |
|
с г |
|
с \ г |
|
|
|
|
г ) |
-pxvf-l-p xv- |
|
р хг |
рхг |
' |
с г |
з v |
с |
г |
г |
г ' |
г |
V с ) |
|
г |
|
|
|
|
Первое слагаемое убывает как ~ г |
2, тогда как второе слагаемое убыва |
ет медленнее, как г ~1. Именно это второе слагаемое описывает элек тромагнитное излучение в волновой зоне. Вводя единичный вектор в
направлении от источника к наблюдателю, |
п =г/г , перепишем полу |
ченное выражение для магнитного поля электромагнитной волны: |
Н = |
(12.3.21) |
С г |
|
Аналогично, с помощью формул (12.3.17), (12.3.19), (12.3.20) вы числяется электрическое поле волны:
Е _ |
=- g r . d f - E |
- 'l - i l f i 'l . |
C fcfcd d .. |
с dt |
к сг J |
c d t\ cr j |
с r |
Здесь мы сразу удержали только слагаемые, убывающие с расстоянием
как г-1, поскольку только они определяют поле излучения в волновой зоне. Вводя вектор единичный вектор в направлении от источника к наблюдателю: п =г/г, перепишем полученную формулу в виде
E |
C , , , , ; |
(12,з.22) |
|
■ |
|
Заметим, что из (12.3.21), (12.3.22) следует связь между электриче |
ским и магнитным полями в волне: |
|
; |
Е = Нхп. |
(12.3.23) |
Соотношения (12.3.21), (12.3.22), (12.3.23) были приведены в раз деле 12.2 (без вывода).
Глава 13 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
13.1. Электромагнитные волны в двухпроводной линии
13.1.1. Д вух п р оводн а я л и н и я
Линиями передачи называются системы, предназначенные для пе редачи по ним электромагнитной энергии.
Двухпроводная линия — это система для передачи электромагнит ной энергии из одного места в другое, состоящая из двух проводников. Поперечные размеры линии должны быть много меньше её длины.
Впервые такие линии стали применять в 30-х годах XIX века в те леграфии, а с конца XIX века — и для передачи энергии.
Различают
1)экранированные линии (например, коаксиальный кабель) (рис. 13.1.1 сверху),
2)открытые линии (например, в виде системы двух параллельных проводов) (рис. 13.1.1 внизу).
1-й провод
|
1-й провод |
|
Вход |
' |
Выход |
|
2-й провод |
’ |
Рис. 13.1.1. Коаксиальный кабель (сверху) и открытая двухпроводная линия (внизу) -
Экранированные линии могут оказаться предпочтительнее откры тых, поскольку в ходе распространения сигнала теряется (рассеивается в пространстве) меньше энергии.
Двухпроводные линии подключаются к генератору либо с помо щью индуктивной связи, либо с помощью ёмкостной связи (рис. 13.1.2).
Рис. 13.1.2. Двухпроводная линия, связанная с генератором индуктивной (свер ху) и ёмкостной(внизу) связью. На правом конце линия замкнута на нагрузку Za
Два одинаковых параллельных провода, в которых с помощью ге нератора могут возбуждаться токи высокой частоты, называются си с темой Лёхера.
В достаточно протяжённой двухпроводной линии условие квази стационарности нарушается: на характерных длинах цепи умещается несколько длин волн, так что мгновенные значения тока на разных уча стках оказываются различными. При этом в поперечном направлении (от одного провода к другому) условие квазистационарности должно выполняться.
13.1.2. Телеграфные уравнения. Волновое уравнение
Получим уравнения, описывающие изменение тока и напряжения в различных точках цепи. Для этого рассмотрим фрагмент цепи (рис. 13.1.3). Пусть х — координата вдоль цепи. Учтём, что ток в прово дах распространяется в противоположных направлениях, и рассмотрим изменения тока в проводе 1. Для упрощения расчётов будем пренебре гать омическим сопротивлением.
Запишем закон сохранения заряда (для провода 1). Пусть q\ — за ряд, приходящийся на единицу длины провода. Тогда на участке dx на ходится заряд qxdx . Изменение этого заряда за время dt равно
qx(х, t +d t)d x -q 1 (х, t)dx =[Л *, i) —J(x +dx, f)]dt,
или
Двухпроводная линия эквивалентна электрической цепи, содержа щей многократно повторяемый элемент длиной dx, включающий ём
кость (Qdx) и индуктивность (Lidx) (рис. 13.1.4). |
|
|
|
Дх) |
J(x + dx) |
Рис. |
13.1.3. |
Фрагмент |
О |
|
двухпроводнойлинии |
|
хч-dx
Рис. 13.1.4. Система, эквивалентная двухпровод ной линии. Она содержит многократно повторяемый элемент, обведённый штриховойлинией
|
|
L\dx |
- « |
j t |
» ' j " -* wООО-1- ] — |
|
|
C\dx |
_______i |
i |
T f- Л |
dx
Введём ёмкость системы, приходящуюся на единицу длины линии, соотношением
dq = qxdx =VdC => q± =СгУ,
где V— разность потенциалов между проводами 1 и 2. Это значит, что
ёмкость рассматриваемого участка длиной dx равна |
dC = Cjdx. Тогда |
уравнение (13.1.1) примет вид |
|
|
^ |
- 1 ^ : |
(1зл.2) |
dt |
Cj dx |
|
Получим второе уравнение, связьшающее ток и напряжение. Пусть индуктивность, приходящаяся на единицу длины линии, равна L\. Тогда индуктивность рассматриваемого участка цепи dx равна dL =Lydx.
Применим закон индукции к этому участку:
1 эф
с dt
Магнитный поток можно записать следующим образом:
Ф =-L ldx -J.
с
Тогда изменение тока SJjdt приводит к возникновению ЭДС индукции:
LydxdJ
=—
с"
В свою очередь эта ЭДС вызовет изменение напряжения на рассматри ваемом участке цепи
£mm=V(x +dx ,t)-V (x ,t) = ^ d x .
|
дх |
|
Таким образом, приходим к следующему уравнению: |
|
8V |
L BJ |
|
дх |
2^7- |
' С13-1-3) |
с dt |
|
Последнее соотношение представляет собой дифференциальную форму закона индукции для рассматриваемой цепи.
Мы пришли к системе двух уравнений в частных производных для тока и напряжения в цепи:
f - J |
- f . |
f = 4 |
f ■ |
<13.1.4) |
ot |
Cj dx |
dx |
с dt |
|
Эту систему называют «телеграфными уравнениями», поскольку имен но с телеграфом были исторически связаны двухпроводные линии.
Для решения системы (13.1.4) исключим из неё ток. Для этого применим операцию djdt к первому уравнению и d/dx — ко второму уравнению. В результате в обоих уравнениях в правой части будет сто
|
ять одна и та же величина d2jjd x d t, исключая которую, |
получаем |
|
уравнение только для напряжения в цепи: |
|
|
1 |
d2V |
d2V |
(13.1.5) |
|
и 2 |
dt2 |
dx2 |
|
|
|
Здесь введена величина |
|
|
|
|
и |
|
= |
(13.1.6) |
Уравнение (13.1.5) есть волновое уравнение, описывающее распро странение сигнала в одномерной системе, причём фазовая скорость сиг нала даётся формулой (13.1.6).
Уравнения (13.1.4), как и уравнение (13.1.5), должны быть допол нены граничными условиями. Пусть длина линии равна!,. Тогда:
если провода не соединены (свободны), то на конце
