Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm
.pdfпредполагалось, что величина заряда не зависит от его скорости. Данное утверждение есть фактически результат опыта. Допустим, что это не так, т.е. что заряд зависит от скорости, q =q ( v ). Возьмём электроней-
тральное тело, в котором положительные и отрицательные заряды точно скомпенсированы. Будем нагревать это тело. Тогда лёгкие частицы на чинают двигаться быстрее, чем тяжёлые (например, в газе
ит = ЪкТ/т ~ тГ1!2 ). В результате заряд одного знака начнёт преобла
дать — тело приобретёт нескомценсированный заряд.
Однако такой эффект не наблюдался ни в одном эксперименте. Это означает независимость заряда от скорости.
6.2.2. П р еобр а зова н и я п ол ей
Обозначим индексом «||» компоненты полей, параллельные векто
ру скорости, а индексом «1 » — компоненты, перпендикулярные скоро сти. Тогда законы преобразования полей записываются следующим об разом:
Обратные преобразования получаются изменением знака скорости. Нетрудно проверить, что приведённые выше нерелятивистские
формулы следуют из точных формул в предельном случае о « с . Имеются два инварианта электромагнитного поля:
1Л=Е2 - В 2 =inv,
I2 =EB =inv.
Эти инварианты, в частности, показывают, что если в какой-либо сис теме отсчёта /2 ^ 0, то не существует системы отсчёта, в которой одно
из полей обращалось бы в нуль. Другими словами, невозможно выбо ром системы отсчёта исключить хотя бы одно из полей.
Пусть в системе S' инвариант 12 =0, т.е. Е' ± В '.
Если при этом /j > 0, или |Е'| >|В'|, то существует система отсчёта
S, в которой присутствует только электрическое поле. Из формул пре
131
образований полей следует, что эта система отсчёта должна двигаться с такой скоростью, что
B '+ -vxE' =0 => v = |
Е'2 ■ |
с |
Если же < 0, то подходящим выбором системы отсчёта можно
исключить электрическое поле, так что остаётся только магнитное поле. Скорость соответствующей системы отсчёта такова, что
|
E ' - - v x B ' =0 => \ = |
В'2 |
|
|
|
с |
|
|
|
Взаимное расположение векторов {Е', В', v} |
показано на рис. 6.2.1. |
|||
В' |
|
Рис. |
6.2.1. |
Относительное |
|
|
|||
|
|
расположение |
векторов полей |
|
~ |
~^ |
и скорости системы отсчёта, |
||
в которой одно из полей |
||||
г |
|
обнуляется (в исходной системе |
||
Е ' -L В ' )
6.2.3. П р еобр а зова н и е п от ен ц и а л ов
Электромагнитное поле характеризуется скалярным q>и векторным
А потенциалами, причём |
|
1 |
<ЗА |
E--grad^>-------- , В =rot А. |
|
с |
dt |
Эта пара потенциалов полностью определяет электромагнитное поле и, оказывается, образует 4-вектор
A = (<p,Aoc,Ay,Az),
компоненты которого преобразуются при Переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой в соответствии с преобразованиями Лоренца:
|
<р'+(и / с)4 с |
у _ Ах’ +(о/с)<р' а _ а1 |
|
||
< р — |
.---------------------------— |
Л х |
Г |
------------— 9 А -у |
9 |
|
V1~ { °lc ) |
V1 |
( Ф ) |
|
|
^ _ р -( и / с )А х. |
а, _ Ах-{ о1с)<р л, _ л a, _ a |
||||
Ф ~ |
f---------------- |
5 |
I-------------- |
— 5 Я-y Siy, |
SLz z ‘ |
|
^ l- (v / c) |
Ф |
(v/c) |
|
|
Предполагается, что ось x направлена по вектору скорости v.
В качестве примера применения этих формул рассмотрим следую щую задачу. Пусть тонкий плоский лист диэлектрика равномерно заря
132
жен с поверхностной плотностью а-' (рис. 6.2.2). Найдём магнитное поле, создаваемое этим листом в том случае, когда лист движется (в своей плоскости) со скоростью V.
z, к
У,3
x,i
Рис. 6.2.2. Широкий длинный лист диэлектрика, равномерно заряженный по поверхности, движется равномерно и прямолинейно со скоростью v
Будем считать, что ось х направлена по вектору скорости листа, а ось z — перпендикулярно листу. Величины, относящиеся к собственной системе отсчёта листа, помечаем штрихом.
В собственной системе отсчёта заряженного листа имеется только электрическое поле:
Е’ - 2 л а ’к,
где к — единичный вектор, направленный вдоль оси z (мы рассматрива ем только область z > 0). Потенциал электрического поля в этой систе ме отсчёта
ср' =-2 ла'г'.
Векторный потенциал А' =0. В системе отсчёта, в которой лист дви жется, имеем
2л а 'г |
. |
2 ла 'г |
и |
9 = — , - |
, - |
\2 |
с |
|
|
Учтено, что при данном переходе координата z не меняется: z’ =z. Вы числение электрического поля даёт:
Е: -grad^ =- k дф |
2ла' |
dz |
y jl-(v / c f |
|
Имея в виду, что векторный потенциал имеет единственную ненулевую компоненту и зависит только от координаты z, находим магнитное поле:
i |
J |
k |
. aAr . 2ла' |
|
B=VxA= О |
0 |
djdz |
||
,2 С |
||||
|
О |
О |
||
|
|
Таким образом, магнитное поле является однородным и направле но параллельно плоскости листа и перпендикулярно скорости движе ния, как показано на рис. 6.2.2.
Полученные формулы для полей В и Е можно переписать в ином виде, если учесть, что
1) линейные масштабы сокращаются, а соответствующая плот ность заряда возрастает:
_ &
ф- ( и / с ) 2
2)Величина i = сю есть линейная плотность тока, создаваемая движущимися зарядами.
Врезультате находим магнитное поле:
■2я 2я .
В=------a v =------ 1.
сс
Электрическое же поле движущегося листа даётся, как и в электроста тике, формулой
Е = 2ясг,
но с преобразованной поверхностной плотностью заряда сг.
6.3.Магнитный момент в электрическом поле
Пусть частица с магнитным моментом m находится в однородном электрическом поле Е (рис. 6.3.1).
Если частица покоится, то сила со стороны поля на неё не действу ет, поскольку она в целом электронейтральна. Пусть теперь частица приведена в движение со скоростью v (рис. 6.3.1). Оказывается, в этом случае появляется момент сил, вызывающий поворот магнитного мо
мента. Найдём его. Будем считать, что u<s.c. |
|
|
- 0 |
/ |
■ Е |
Н' |
|
Рис. 6.3.1. Частица с магнитным моментом (изображена кружком со стрелкой) движется перпендикулярно силовым линиям однородного электрического поля
Для нахождения вращающего момента сил перейдём в систему от счёта, движущуюся вместе с моментом т . В этой системе появляется магнитное поле
-. Н' =——у х Е .
с
Соответственно вращающий момент оказывается равным
134
ч.
М =mxH' =- —mx(vxE).
с
Таким образом, магнитный момент стремится ориентироваться по на правлению вектора (—vx E ), т.е. так, чтобы оказалось
rn.Lv, m ± Е .
Если m ± Е , то выражение для момента сил упрощается:
М = -—[(mE)v-(mv)E] =—(mv)E .
Очевидно, что, если окажется m 1. V, то момент сил обратится в нуль. Таким образом, электрическое поле оказывает ориентирующее
действие на движущийся магнитный момент.
135
Глава 7 ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
7.1.Движение частиц в однородных полях
7.1.1.Д в и ж ен и е в од н о р о д н о м эл ек т р и ч еск ом п ол е
Если напряжённость поля Е = const, то из уравнения движения mi/ - qE
следует |
|
йгЕ |
<?Е 2 |
v = v0+— t, |
r =r0+x0t +f - t , |
т |
2т |
т.е. имеет место равноускоренное движение с ускорением, направлен ным вдоль вектора напряжённости поля.
7.1.2. Д в и ж ен и е в о д н о р о д н о м м агн ит ном п о л е
На частицу действует сила Лоренца, так что уравнение движения имеет вид
Я Т .
т\ =—vxB.
с
Очевидно, что v _L v ,'v -L В. Разложим вектор скорости на составляю щие параллельную и перпендикулярную полю: v = Уц + Vj_. Для этих
составляющих имеем уравнения mv,|=0,
тух = —v±xB.
с
Из первого уравнения следует Уц =const.
Второе уравнение перепишем в виде
. </В
V i = ( j ) X V i ! Ю = — - — .
тс
136
Оно описывает вращение вокруг направления магнитного поля с угло вой скоростью а>=q B jm c, называемой циклотронной част от ой -—
рис. 7.1.1.
Если в момент попадания в область действия поля составляющая скорости частицы vj_ равнялась (по величине) о±, то радиус окружно сти оказывается равным
R _ v ± тси± |
' \ |
a)qB
Рис. 7.1.1. Вращательное движение частицы с зарядом q> 0 вокруг направления магнитного поля (слева); разложение вектора скорости на параллельную и пер пендикулярную полю составляющие (справа)
7.1.3. Д в и ж ен и е в о дн ор одн ы х параллельны х эл ек т р и ч еск ом и м агн и т н ом п ол ях Е ||В
В уравнении движения
т у \■q'E+—vxB
с
полагаем v = V||+Vj_, где компоненты скорости соответственно V|( |В
и vx 1 В. Для этих компонент получаем уравнения
т% =q%
mv I Д у ±хВ,
Первое из них описывает равноускоренное движение вдоль направления электрического поля, а второе уравнение —- вращательное движение вокруг направления магнитного поля с циклотронной частотой п) = qB/mc. Траектория частицы представляет собой Спираль с возрас
137
тающим шагом и с осью, параллельной силовой линии магнитного поля
(рис. 7.1.2).
, Е, В
Рис. |
7.1.2. Траектория частицы |
|
в |
параллельных |
электрическом |
имагнитном полях
7.1.4.Д в и ж ен и е в ск р ещ ен н ы х п ол ях Е ± В
Как и выше, выделяем компоненты скорости, параллельную и пер
пендикулярную вектору магнитного поля: |
V = V|| +VX |
(рис. 7.1.3). Для |
|
этих компонент имеем уравнения |
|
|
|
m v|=0, |
|
|
|
( |
1 |
^ |
(7.1.1) |
m vx =#l Е +—v±xBj. |
|
||
Первое уравнение даёт Уц =const, что означает движение с постоянной
скоростью вдоль вектора В, определяемой начальными условиями.
1^ ■ |
Рис. 7.1.3. Взаимно перпендикулярные |
^ |
|
|
поля В и Е и скорость дрейфового |
|
движения |
Для нахождения компоненты vx положим v± =u +v' и подберём
вектор и так, чтобы исключить электрическое поле:
Е+ -ихВ =0.
с
Вэтом уравнении можно считать u J. В , иВ =0. Для нахождения век тора и умножим Почленно это уравнение векторно слева на В:
ВхЕ +—Вх(ихВ) =0.
с
Преобразуем двойное векторное произведение с учётом взаимной орто гональности векторов Вии:
138
В х (u X В) =иВ2 - B(uB) =liS2.
В итоге получаем
ЕхВ
U =c— — .
В
Это движение представляет собой дрейф (с постоянной скоростью) в направлении, перпендикулярном обоим полям (Е и В) (рис. 7,1.3). Со ответственно для компоненты v' получаем уравнение
wv' = —v'xB,
с
которое описывает вращательно£-движение с угловой скоростью (Я --д В / т с вокруг направления магнитного поля.
Суммарное движение представляет наложение
1) равномерного движения вдоль вектора В со скоростью (уц) , равной компоненте скорости Уц в начальный момент,
2)дрейфового движения со скоростью и,
3)вращения вокруг направления В.
Изложенный подход с выделением дрейфового движения со скоро
стью и справедлив только в случае слабых электрических полей Е |
В, |
когда выполняется условие нерелятивистского движения и = сЕ/В |
с. |
liam же условие Е с В не выполняется, следует решать релятивист ские уравнения движения.
Найдём траекторию путём прямого решения уравнений (7.1.1). Для этого запишем эти уравнения в системе координат, показанной на рис.
7.1.4. |
|
Рис. 7.1.4. Взаимная ориентация |
х |
полей Е и В и скорости дрейфа |
|
и, а также выбор системы |
|
координат
Введём орты {i, j, к} соответственно вдоль координатных осей {х, у, z}. Поскольку в рассматриваемом случае vxB =iBzvy -\Bzvx, то,
обозначая для краткости Еу =Е, В2 =В, имеем:
(а) 02 =0, (б) их =— о |
, |
(в) v |
= —Е - С^ |
и х. |
(7.1.2) |
т с |
' . |
|
т. т |
с |
|
139
Уравнение (7.1,2а) описывает равномерное движение вдоль векто
ра магнитного поля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Oz =Lj| =const, |
z =z0+V^t. |
|
|
|||
Далее считаем |
= 0. Для решения уравнений (7.1.26) и (7.1.2в) поло |
||||||
жим |
Vx = vx - u , и= сЕ /В. |
|
|
|
|||
; ' |
|
|
(7.1.3) |
||||
После этого уравнения (7.1.26, в) принимают вид |
|
|
|||||
|
Vx =ojuy , |
vy =~<oVx, |
|
|
(7.1.4) |
||
где введена циклотронная частота |
а>= yJqB/mc. Исключая отсюда пе |
||||||
ременную V„ приведём эту систему к уравнению гармонического ос |
|||||||
циллятора: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
оу = - а гиу , |
|
|
(7-1-5) |
|||
откуда находим: |
|
|
|
|
|
|
|
иу = u0cos(firf +^0), |
y =j>0+— sin(ftrf-t-^0). |
|
(7.1.6) |
||||
|
|
|
|
(О |
|
|
|
С помощью второго уравнения в (7.1.4) и (7.1.3) находим vx(t) |
и х(1): |
||||||
|
vx = u —- о |
=u +v0sm(wt +<pa\ |
|
|
|||
|
® |
оп |
|
|
|
|
(7.1.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x0+ut — - cos(cot +<р0). |
|
|
|
|||
|
|
со |
|
|
|
|
|
Формулы (7.1.6), (7.1.7) определяют траекторию частицы при лю |
|||||||
бых начальных |
условиях. Выберем начало координат |
так, что |
|||||
х(0) = 0, _у(0) =0. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
x = ut +^[cos< p0 -cos(a>t +<p0)], |
fu |
+ usm (0Jt +( p l |
|||||
1 |
ч . |
■, |
|
1 |
, |
v |
(7-1-8) |
V0 г . , |
|
IPV =t>0 COS(fitf + (Z>0). |
|
||||
со
Кривая, задаваемая уравнениями (7.1.8), называется трохоидой. Её кошфетный вид зависит от величины ц>, определяемой из начальных условий. Рассмотрим частный случай, когда начальная скорость части цы равна нулю:
«*(0) =«у(0) =0..
Тогда <ра = л;/2, и0 = -и , и из (7.1.8) находим:
140