Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

U

Здесь Rmj =—-------магнитное сопротивление z'-ro сердечника, £,■ и S; — MS,

длина (от узла до узла) и площадь поперечного сечения этого сердечни­ ка ( z =1,2,3 ). Знаки магнитных потоков (в узле Yi) условно выбраны

так, как если бы все потоки были направлены к этому узлу.

Система трёх уравнений для трёх потоков Фь Фг и Ф3 полностью определяет магнитные потоки во всех участках сердечника и, следова­ тельно, магнитные поля всюду в цепи.

121

Глава 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

5.1. Работа сил Ампера при перемещении витка с током в магнитном поле

Возьмём рамку, по которой может свободно скользить перемычка, замыкающая верхний и нижний провода (рис. 5.1.1). Поместим эту сис­ тему в магнитное поле. Будем считать вначале, что поле перпендику­ лярно плоскости рамки.

J

Рис. 5.1.1. Рамка с током в магнитном поле. Перемычка может свободно скользить, непрерывно замыкая верхний и нижний провода рамки

Если по рамке через перемычку течёт ток J (как показано на рис. 5.1.1), то на перемычку действует сила Лоренца:

F =—1В,

с

где I — длина перемычки. При указанных на рис. 5.1.1 направлениях тока J и внешнего магнитного поля В сила F направлена вправо и при смещении перемычки на dx совершает работу

Сс

Площадь контура с током меняется на dS =Idx. Величина d<S? =d(BS)

представляет собой изменение магнитного потока через контур. При смещении перемычки на конечное расстояние

А12= - ( Ф 2 - Ф 1)-

с

122

Пусть поле направлено под произвольным углом к плоскости кон­ тура (рамки). Положим В = Вх + Вц, где В± — составляющая, направ­

ленная по нормали к площади, а Вц — лежащая в плоскости контура.

Составляющая Вц создаёт силу, перпендикулярную плоскости и, следо­

вательно, перпендикулярную смещению перемычки и поэтому не про­ изводящую работу. С учётом этого магнитный поток,, приводящий к производству работы, определяется только компонентой поля Вх :

Ф- В S - BS.

Вслучае произвольно деформируемого витка и поля, меняющегося от точки к точке, весь замкнутый контур нужно мысленно разбить на бесконечно малые замкнутые элементы тока (рис. 5.1.2). Поскольку то­ ки в общих участках соседних витков равны по величине и противопо­ ложны по направлению, то токи по всей площади исходного контура компенсируют друг друга, и остаётся только ток / в исходном контуре.

Считая поле в пределах одного элемента однородным, получаем

dA=-d<$>,

в которой интегрирование ведётся по площади, ограничиваемой конту­ ром с током.

Заметим, что в этом процессе совершается работа, тогда как само магнитное поле работу не может производить (сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения зарядов). Для разрешения этого противоречия учтём, что заряды в перемычке движутся не только в на­ правлении проводника (Иц), но и в направлении скорости перемычки

(u±) : u =Uj_ +Иц. Эта вторая составляющая скорости приводит к появ­

лению силы Лоренца: AF =eux хВ/с, действующей против направле­

123

ния тока J. Поэтому для поддержания неизменного тока в цепь должны быть включены сторонние ЭДС. Именно благодаря внешним источни­ кам энергии совершается работа по перемещению перемычки.

5.2. Электромагнитная индукция в движущихся и неподвижных проводниках

5.2.1.ЭДС индукции

Рассмотрим проводящую рамку, замкнутую подвижной перемыч­ кой (рис. 5.2.1). Пусть рамка помещена в магнитное поле с индукцией В, направленной перпендикулярно плоскости. Если перемычка движет­ ся со скоростью v, то на заряды в перемычке действует сила Лоренца:

F =—vxB. Как видно из рис. 5.2.1, эта сила приводит заряды в движе-

с

ние, вызывая индукционный ток в отрицательном направлении обхода контура. Она эквивалентна силе, создаваемой сторонним электрическим полем

Знак « -» здесь связан с тем, что £ШД создаёт ток в отрицательном на­

правлении (положительное направление задаётся вектором В), -«у,

v

В ,

qvxB /c

В

Рис. 5.2.1. Слева — рамка с током в магнитном поле. Перемычка может свобод­ но скользить, непрерывно замыкая верхний и нижний провода рамки; справа — направление силы Лоренца, действующей на движущиеся положительные заряды

Поскольку lu = dS/dt, где S — площадь контура, то

124

где Ф =BS — магнитный поток через контур.

Если имеется составляющая магнитного поля Вц, параллельная

плоскости контура, то она не приводит к появлению индукционного тока вдоль контура, поскольку соответствующая составляющая силы

Лоренца F® =—vxBn перпендикулярна плоскости контура, т.е. на-

с

правлена перпендикулярно проводнику. Это значит, что в выражении для потока Ф нужно учесть только составляющую Вь т.е. положить

Ф =В±Б =ВS.

Если магнитное поле неоднородно в границах контура, то нужно разбить контур на бесконечно малые замкнутые элементы тока и рас­ смотреть движение этих элементов, считая поле однородным в пределах отдельного элемента. Следовательно, магнитный поток определяется интегралом по площади, ограничиваемой контуром:

Ф= |Вй®. s

5.2.2. Правило Ленца

Пусть магнитный поток растёт со временем. Тогда возникает ЭДС индукции £шп, создающая ток J VBJl в отрицательном направлении.

Этот ток создаёт дополнительное магнитное поле АВ, ориентированное против исходного поля В. Таким образом, приходим к правилу Ленца:

индуцированный ток имеет т акое направление, чтобы с помощью создаваем ого им магнитного поля препятствовать изменению магнит­ ного потока, т.е. чтобы ослабить дейст вие причины, возбуж даю щ ей этот ток.

Индукционные токи, возбуждаемые в массивных проводниках, на­ зываются токами Фуко.

5.2.3. Возникновение индукционных токов

а) Если постоянный магнит неподвижен, а двигается провод (замк­ нутый виток), то в проводе возникнет индукционный ток, обусловлен­ ный ЭДС индукции: £ШД =- (l/c) (d<b/dt).

б) Если перейти в систему отсчёта, связанную с проводником, то ток остаётся, но двигается уже магнит.

в) Магнитный поток Ф в случаях «а» и «б» меняется за счёт изме­ нения относительного расположения магнита и провода. Но такое же изменение Ф можно получить, используя переменное магнитное поле,

125

точно совпадающее с полем движущегося магнита в месте нахождения провода.

Отсюда следует, что при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего контур движущегося или неподвижного проводника, возникает индукционный ток, причём ЭДС индукции во всех случаях равна £ша - —(1Д;)(ЛФДЛ).

5.2.4. З акон сох р а н ен и я м а гн и т н о го п от о к а

Пусть замкнутый виток с сопротивлением R находится во внешнем магнитном поле (рис. 5.2.2 слева). При всяком изменении магнитного поля в витке возбуждается ЭДС индукции и ток, стремящийся (по пра­ вилу Ленца) ослабить изменение магнитного потока через контур витка:

Полный магнитный поток складывается из потока внешнего поля (Фе) и потока, создаваемого индукционным током (Ф,). Если сопротивление контура мало, R —» 0, то из приведенной формулы следует

dt

(иначе даже малые изменения Ф вызывали бы бесконечные токи).

''В ''

<1

Рис. 5.2.2. Движущийся проводящий контур увлекает силовые линий неоднородного магнитного поля, пересекающие контур (эффект «вмороженного» поля)

Таким образом, магнитный поток через контур с малым сопротив­ лением сохраняется. Это, в частности, означает, что в неодйородном поле число силовых линий, пронизывающих виток, неизменно. Говорят, что силовые «вморожены» в проводящий контур. Описанный эффект проиллюстрирован на рис. 5.2.2.

126

5.2.5. Ф а р а д еев ск а я и м а к свел л овск а я т р акт овка эл ек т р ом а гн и т н ой и н д ук ц и и

Согласно Фарадею электромагнитная индукция состоит в возник­ новении индукционного электрического тока. Для её наблюдения тре­ буется замкнутый проводник. ,

Согласно Максвеллу явление электромагнитной индукции состоит в том, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в пространст­ ве электрическое поле; проводники для этого не требуются. Индукци­ онные же токи возбуждаются в проводниках индуцированным электри­ ческим полем.

5.2.6. В и х р ев ое эл ек т р и ч еск о е п о л е

с dt

L

Воспользуемся теоремой Стокса: cpEiil =J rotEJS . Ввиду произволь-

L S

ности контура получаем:

(5.2.4)

с dt

Последнее равенство представляет собой дифференциальную фор­ му закона электромагнитной индукции. В отличие от электростатики здесь rotЕ Ф 0. Это значит, что индуцируемое электрическое поле яв­ ляется не потенциальным, а вихревым.

5.2.6.В ы р а ж ен и е эл ек т р и ч еск о го п ол я ч ер ез п от енц и ал ы

Воспользуемся полученным выше уравнением (5.2.4). Подставим сюда выражение для магнитного поля через векторный потенциал

В =rot А :

Равенство нулю ротора некоторого векторного поля означает, что это поле потенциальное и может быть представлено как градиент скалярной функции. Таким образом, получаем

127

E = -grad ip— — .

с dt

В частном случае постоянных во времени полей приходим к известному равенству: Е =- grad tp, откуда видно, что введённая здесь функция <р

совпадает со скалярным потенциалом.

128

Глава 6. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ

6.1. Нерелятивистские законы преобразования по­ лей

6.1.1. П р ео бр а зов а н и е эл ек т р и ч еск о го п ол я

Пусть заряженная частица в системе отсчёта S движется со скоро­ стью v в полях Е и В. Тогда на неё действует сила

Перейдём в систему отсчёта S', движущуюся со скоростью v, в которой частица покоится. В этой системе на частицу действует только сила со стороны электрического поля (магнитное поле на покоящуюся частицу не действует):

6.1.2. П р ео бр а зова н и е м а гн и т н ого п ол я

Из закона Био-Савара следует, что магнитное поле заряда, движу­ щегося со скоростью V, равно

B = - v x E ', Е' =Ц -.

сГ

129

Рассмотрим систему покоящихся (в системе отсчёта S’) заряжен­ ных частиц. Они создают электростатическое поле

Перейдём в систему отсчёта S, движущуюся со скоростью v. Тогда каж­

дый из зарядов системы создаёт магнитное поле Bj. =—vxEJ^., а все

вместе они создают поле

В=—vxEr.

с

Таким образом, в системе отсчёта, в которой заряды движутся, возника­ ет магнитное поле. Если в исходной системе присутствует магнитное поле В' (создаваемое, например, собственным магнитным моментом частицы), то суммарное магнитное поле даётся формулой

Пары формул (6.1.1), (6.1.4) и (6.1.2), (6.1.3) дают нерелягивист-

ские законы преобразования полей при переходе от одной инерцйальной системы отсчёта к другой. Эти законы сведены втаблицу.

Нерелятивистские преобразования полей

6.2. Релятивистские законы преобразования полей

6.2.1.И н вари ан т н ост ь за р я д а

При выводе закона сохранения заряда:

dt

130