Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

в котором операция V действует на координаты г. Соответственно имеем:

Преобразуем данное выражение с помощью тождества

ах V(р =- rot(ap),

вкотором считается а =const. Это даёт

<Ж(г) =—rot jfr) dVv

с|г-Г,|

Наконец, суммируя поля, создаваемые всеми элементами тока, получим

приходим к формуле

В =rotA.

Введённый здесь вектор А называется векторным потенциалом. Его роль по отношению к магнитному полю подобна той, которую ска­ лярный потенциал <риграет по отношению к электрическому полю.

Для системы движущихся зарядов векторный потенциал записыва­ ется следующим образом:

с i F-*i|

где г, и V, — радиус-вектор и скорость г-го заряда, а суммирование про­ изводится по всем зарядам, участвующим в создании поля.

Если ток течёт по тонкому проводнику L, то векторный потенциал поля вне проводника даётся контурным интегралом:

J г dxx

А(г) =

с1|г“г1Г

Покажем, что divA =0. Для этого, заменив переменные интегри­ рования г2 =г - Г|, перепишем выражение (3.3.1) для векторного по­ тенциала в следующей форме:

91

Находим дивергенцию:

Поскольку для стационарных токов в силу уравнения непрерывности div j =0, то получаем div А = 0.

3.3.2. Т еорем а Г а у сса дл я м а гн и т н о го п ол я

Имея в виду тождество div rot А = 0, из формулы В =rotА полу­ чаем т еорем у Г аусса в дифференциальной форме:

divB =0.

Применяя теорему Остроградского—Гаусса

S(V) V

получаем т еорем у Г аусса в интегральной форме:

фВсВ =0. s

Теорема Гаусса утверждает, что нет свободных (несвязанных) маг­ нитных зарядов,' на которых могли бы начинаться или кончаться сило­ вые линии индукции магнитного поля.

З.З.З.Теорем а о ц и р к ул яц и и м а гн и т н о го п ол я в вакуум е

Найдём ротор магнитного поля:

rotB =rotrotА =grad div А -А А =-АА,

где учтено, что div А =0. Для нахождения АА воспользуемся фор­ мальной аналогией с соотношениями электростатики:

с

Вспоминая, что rotB =-АА, приходим к т еорем е о циркуляции в диф­ ференциальной форме'.

92

.. А л. rotB =— j .

с

Выберем какую-либо поверхность S и проинтегрируем почленно последнее уравнение по этой поверхности:

J rotBrfS =— J jd S . s c s

Входящий в правую часть равенства интеграл |jc/S =J есть полный s

ток, пересекающий поверхность S. Левая часть равенства преобразуется по формуле Стокса:

JrotBrfS= ф В<Я,

S L(S)

где L -— контур, на который опирается поверхность S. Отсюда вытекает

теорема о циркуляции в интегральной форме'.

ф Вdl =— J .

L(S) С

( 3.3.4. М а гн и т н о е п о л е п р ям ого п р ов од а

В качестве простого примера применения теоремы о циркуляции (в интегральной форме) найдём поле прямого провода с током, ранее по­ лученное прямым применением закона Био-Савара.

т J dlx г

Из закона Био-Савара для линеиного элемента тока dB =———

с г

следует, что силовые линии — это окружности с центрами в точках про­ вода (рис. 3.3.1). Применяя теорему о циркуляции и используя в качест­ ве контура окружность радиуса R, находим:

<6ВЛ =— J => В -2 лК = — J ^ В =— . J ■ с с cR

Рис. 3.3.1. К расчёту магнитного поля прямого провода. Магнитное поле dB, создаваемое в точке Р линейным элементом тока Jd\, направлено по касательной к окружности с центром на оси провода

93

Введём единичный вектор (|т| =1), касательный к силовой пинии ра­ диуса R:

к х R

%~ R ’

где к — единичный вектор вдоль оси z. Тогда в векторной форме маг­ нитное поле провода записывается следующим образом:

В = -2-- т . cR

3.3.5. М а гн и т н ое п о л е вн ут р и и д еа л ь н о го со л ен о и д а

Рассмотрим длинный идеальный соленоид (рис. 3.3.2). Найдём сначала направление силовых линий магнитного поля такого соленоида. Возьмём точку наблюдения Р и выделим два витка, расположенные симметрично (по высоте) относительно точки Р. На витках возьмём элементы тока, расположенные точно друг под другом (рис. 3.3.2). То­ гда расстояние от этих элементов до точки наблюдения окажется оди­ наковым: Г] =г2.

Магнитное поле в точке Р, создаваемое выбранными элементами , тока, равно

Учтём, что <й}=<й2 =<Л, гх=г2 ^ г. Тогда

жJ d lx (r i +r2)

сг3

Поскольку векторы ij +г2 и <й направлены перпендикулярно оси соле­

ноида, то вектор <Жнаправлен вдоль оси соленоида. Таким образом, поле бесконечно длинного идеального соленоида всюду направлено параллельно его оси.

Рис. 3.3.2. Идеальный соленоид. Выбор пар витков для определения направления силовых ' линий магнитного поля

94

1) Поле вне соленоида (вдали от торцов)

Пусть соленоид имеет радиус R. Возьмём прямоугольный контур, начинающийся на расстоянии г > R от оси и включающий бесконечно удалённую точку, причём его плоскость параллельна оси соленоида. Пусть контур целиком проходит вне соленоида, так что ток его не пере­

или B(r)dh —B(co)dh =0 (горизонтальные участки не вносят вклада в циркуляцию, поскольку на этих участках d\ ± В ). Т.к. на бесконечности поле обращается в нуль, то всюду вне соленоида поле отсутствует:

В(г) =0 при r> R .

2)Поле внутри соленоида (вдали от торцов)

Выберем теперь контур, который начинается внутри соленоида (при г < R ) и также уходит на бесконечность (рис. 3.3.3 справа). Теперь плоскость контура пересекают линии тока. Если на единицу длины со­ леноида приходится п витков, в каждом из которых течёт ток J, то на единицу длины боковой поверхности соленоида приходится ток i =n J,

а ток, пересекающий контур ширины dh, равен J nep = nJ -dh =i-dh (i —

линейная плотность тока). -

Рис. 3.3.3. К вычислению магнитного поля идеального соленоида. Слева-. - токи не пересекают контур интегрирования (контур целиком лежит вне соленоида). Справа - - токи пересекают контур интегрирования (контур частично проходит

Применим теперь теорему о циркуляции:

L

Поскольку 5(<х>) =0, то находим

95

|сЛР| j —\dV21— R dh.

Силы dFl и dF2 равны по величине, противоположны по направлению

и образуют пару сил с плечом а. Поэтому создаваемый ими момент сил равен

Суммируя по всем парам, образующим контур витка, получаем полный момент сил:

тВ.,

где введён магнитный момент витка т =JS jc.

Рис. 3.4.2, Виток с током в магнитном поле. Поле Вц параллельно плоскости

витка. Цара сил d¥2) перпендикулярна плоскости витка и образует момент сил, поворачивающий плоскость витка

Если магнитное поле направлено произвольно по отношению к плоскости витка, то его можно разложить на две составляющие: парал­ лельную и"перпендикулярную плоскости витка: В =Вц+В±. Состав­

ляющая В± приводит к силам, лежащим в плоскости витка и перпенди­

кулярным к контуру. Поэтому эта составляющая поля может лишь вызывать деформации контура (растяжения-сжатия), не меняя его ори­ ентации в пространстве. Поэтому поворот витка связан только с компо­ нентой поля Вц. Таким образом, момент сил, действующий на виток с

током, в векторной форме может быть представлении в виде М =т х В .

Здесь в соответствии с определением (3.4.1) введён вектор магнитного момента витка с током m =JS/c.

97

Таким образом, магнитный момент m ориентируется по направле­ нию магнитного поля В.

3.4.3. Потенциальная энергия ви тка с током в магнитном поле

Рассмотрим виток, в котором циркулирует ток./. Если вектор пло­ щади витка есть S, то магнитный момент равен m =JS/c. Считаем, что

магнитный момент не меняется по величине, но только может менять направление в пространстве. Последнее допущение существенно, и оно предполагает, что в цепь витка включён источник энергии (батарея ЭДС), поддерживающий ток неизменным.

Если виток находится в магнитном поле, то возникает момент сил, стремящихся ориентировать его магнитный момент по направлению поля:

M =-m B sm 9 :

Здесь в — угол между направлениями поля и магнитного момента, а знак «—» отражает тот факт, что под действием только сил поля угол в уменьшается.

Работа сил поля по повороту магнитного момента от данного угла 6*до некоторого принимаемого в качестве начала отсчёта, равна

при 9 =0, означает, что момент стремится ориентироваться по направ­ лению поля ( m T t В ).

3.4.4. Сила, действующая на магнитный момент

в н ео д н о р о д н о м м агн и т н ом п ол е

Во внешнем магнитном поле потенциальная энергия магнитного момента равна U =-т В . Сила, действующая на момент, есть

F - - grad <7 =grad(mB).

Если в среде, в которой находится момент, отсутствуют токи проводи­ мости, то rotB = 0 . Тогда имеет место тождество

О=m х rotВ =m х (V х В) =V(mB) - (mV)B,

или

98

В частном случае, когда момент направлен вдоль поля, а поле зависит только от коорданаты z, сипа направлена по оси z и равна

3.4.5. М агнитный момент системы движущихся зарядов и токов

Магнитным моментом системы зарядов называется вектор

где суммирование распространяется на все заряды. Здесь г, и v, — ради­ ус-вектор и скорость г'-гозаряда qt.

Пусть движение зарядов производит токи с плотностью j(r). По­

лучим выражение для магнитного момента этой системы, исходя из (3.4.4). Разобьём пространство, где циркулируют токи, на участки объё­ мом dV, в которых заряд имеет плотность р и движется со скоростью v(r). Тогда в объёме dV содержится заряд dq =pdV. Выполнив сумми­

Здесь учтено выражение для плотности тока j =p v . Полученное выра­

жение определяет магнитный момент произвольной системы токов. Покажем, как из этого выражения получается формула для магнитного момента витка с током.

Пусть,ток / циркулирует по витку площадью S (рис. 3.4.3). Для ка­ ждого участка провода длиной dl заменяем объёмный элемент тока эк­ вивалентным линейным элементом: jdV =Jdl.

По фор'муле (3.4.5) находим магнитный момент кольцевого тока:

Здесь учтено, что ток одинаков во всех участках витка, а интегрирова­ ние по объёму, занимаемому токами, замейено интегрированием по

99

контуру Г, образующему виток. Кроме того, мы сменили обозначение: d\ -> dr.

m 'JS

Рис. 3.4.3. Ток, циркулирующий по витку, образующему контур Г

J

Найдём интеграл, входящий в (3.4.6). Выделим сектор (рис. 3.4.3), описываемый радиус-вектором в ходе циркуляции тока за малое время dt. Вектор площади этого сектора запишем в виде

dS =—rx (r +^r) =—rxdr.

Следовательно, формулу (3.4.6) можно переписать в виде

Это совпадает с определением магнитного момента (3.4.1).

3.4.6. Гиромагнитное отношение

Пусть система частиц, обладающих одинаковыми зарядами q и массами т, циркулирует в некоторой области пространства. Найдём соотношение между магнитным моментом и моментом импульса этой системы.

Преобразуем формулу (3.4.4) для магнитного момента системы за­ ряженных частиц:

Здесь учтено, что момент импульса системы частиц равен

L =2 > r; x V

Таким образом, в принятых условиях, независимо от характера

Коэффициент у =q jlm c называется гиромагнитным отношением.

100