Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

13.2.5.Общий случай ТЕ-волны (Н-еолны)

Вобщем случае в ТЕ-волне вектор напряжённости электрического поля может иметь компоненты, направленные вдоль осей х и у

(рис. 13.2.3). Эти компоненты, однако* не являются независимыми, а связаны соотношением

(13.2.16)

вытекающим из теоремы Гаусса. Если поперечные размеры волновода (рис. 13.2.1) таковы, что

0 < х< а, 0 < у< Ь,

то граничные условия, которым должна удовлетворять напряжённость

Рассмотрим, как и выше, волну, бегущую вдоль оси г:

Е =Е0(х, y)exp(ik zz -ico t).

Входящая сюда функция Е0(х, у ) удовлетворяет уравнению

(13.2.18)

Можно проверить, что это уравнение имеет решения вида

(13.2.19)

удовлетворяющие условию (13.2.16). Заметим, что при ку =Омы имеем исследованную выше ТЕп0 -волну (с вектором Е, направленным вдоль

241

оси у). Если же положить кх = 0, то получим волну с вектором Ё, на­

правленным вдоль оси х.

Чтобы решение (13.2.19) удовлетворяло граничным условиям (13.2.17), нужно положить

Волна, задаваемая уравнениями (13.2.19) совместно с условиями (13.2.20), называется ТЕпт-волной.

Между амплитудами Ах и Ау имеется связь, вытекающая из

(13.2.16):

кЛ + куАу =0

или, с учётом (13.2.20),

пАх +тАу =0.

т.д. Однако они не могут быть равны нулю одновременно, так как в этом случае, как следует из (13.2.19), (13.2.20), окажется Е =0. Соот­ ветственно критическая частота волны зависит от поперечных размеров волновода:

прия>Ъ а>Щ1=жс/а,

при а <Ъ (о^=жс1Ъ.

13.2.6. М агнитное поле ТЕ-волны

До сих пор, обсуждая волны в волноводе, мы изучали только элек­ трическое поле. Найдём магнитное поле ТЕ-волны. Воспользуемся уравнением Максвелла (для // =1):

8В rotE■ =--------1 .

с dt

Будем, как и выше, предполагать, что

Е =Е0(х, у ) exp(ikzz - ico t) =(Ех, Еу , о),

242

где вектор направлен перпендикулярно оси волновода (оси z). Тогда это

уравнение принимает вид Н =-—rotE или, подробно, ico

где выражения для Ех и Еу даются формулами (13.2.19), (13.2.20). Сле­ довательно, вектор магнитного поля в ТЕ-волне имеет в общем случае как продольную, так и поперечную Компоненты. Нетрудно заметить, что векторы Е и Н взаимно перпендикулярны:

ЕН = 0.

V а

Для неё допустимые значения частот даются выражением

243

Рис. 13.2.4. Силовые линии электрического и магнитного полей в ТЕю-волне в волноводе

Согласно (13.2.23) эта величина определяет пространственный период поля по оси z. В вакууме волна с частотой <х>имеет длину волны

Я,, =2ncja>. (13.2.27)

Имея в виду равенство (13.2.25), можно выразить длину волны в волно­ воде Я через длину волны в вакууме Яо:

'1-1 —

Нетрудно заметить, что Я >Яд. В пределе, когда Я^ —>2а, или, что эк­ вивалентно, &>—> = n c ja , окажется Я —>оо.

Найдём фазовую скорость волны в волноводе. Записывая зависи­ мость напряжённости поля (13.2.23) от координаты z и времени t в виде

244

мы видим, что профиль волны перемещается вдоль оси волновода со скоростью

Таким образом, фазовая скорость волны превышает скорость света: Оф > с. Следует, однако, иметь в виду, что скорость переноса энергии

равна групповой скорости1:

Здесь для краткости введено обозначение кх =я/а.

Из (13.2.32) видно, что волна в волноводе представляет собой су­ перпозицию двух бегущих плоских волн, распространяющихся под уг­ лом к оси волновода. Схематически эти волны показаны на рис. 13.2.5.

совпадающую с длиной волнового вектора в свободном пространстве. Угол, составляемый ими с осью волновода, определяется формулой

1 Смысл групповой скорости выясняется в главе 14.

245

Рис. 13.2.5. Волна в волноводе есть суперпозиция двух встречных волн, распространяющихся под углом а к оси волновода

Отсюда видно, что при со —» а>кр угол а —>ж/2 , т.е. волны в этом преде­

ле распространяются поперёк волновода — устанавливается стоячая волна

с узлами на стенках волновода. Переноса же энергии вдоль оси волно­ вода нет.

Наконец, отметим, что вектор Пойнтинга, определяющий перенос энергии, для ТЕ]0-волны равен

Поскольку согласно (13.2.22), (13.2.25) для ТЖю-волны

[а? "я? 1 Г 2 Y .

Нх =—ikz ^-sin^—^jexp (ikzz —icoi).

В пределе с о ^ с о щ оказывается

кг —>0, Нх->0, S .= /'

An '

что и означает отсутствие переноса энергии вдоль волновода.

Найдём компоненту Sx вектора Пойнтинга. Перейдём в выражени­ ях (13.2.22) для Еу и Н2к действительным величинам:

246

Отсюда следует, что

Таким образом, энергия поля при kz =0 циркулирует «туда и обратно»

в направлении, перпендикулярном оси волновода и векторам £ и Н. Интенсивность же волны — среднее значение вектора Пойнтинга по периоду колебаний Т =2л/со — обращается в нуль.

13.3. Собственные колебания поля в объёмных резонаторах

Резонат ор это устройство, в котором происходит накопление энергии колебаний, поставляемой из внешнего источника.

Объёмный резонат ор — это замкнутая (или почти замкнутая) по­ лость с хорошо проводящими стенками.

Резонатор можно рассматривать точно так же, как и волновод, имея только в виду, что вход и выход закрыты металлическими заглуш­ ками (рис. 13.3.1).

Рассмотрим волну, распространяющуюся в резонаторе вдоль оси z. Будем считать, что в объёме резонатора находится среда с £ =/и =\.

Ограничимся случаем Ш-волны, когда вектор напряжённости перпен­ дикулярен оси z (и параллелен плоскости (х, у))-

Рис. 13.3.1. Объёмный резонатор с размерами a x b x h

Из-за наличия стенок, ограничивающих распространение волны, результирующая волна есть суперпозиция прямой и отражённой бегу­ щих волн. Это значит, что зависимость поля от координаты z передаётся формулой

При этом частоты волн, присутствующих в резонаторе, определяются формулой

247

Поскольку вектор Е параллелен стенкам z =0 и z =h, то согласно гра­ ничным условиям (обращение в нуль касательной составляющей поля Е в точках поверхности) имеем

Подставляя найденное выражение для К в (13.3.2), получаем спектр волн в резонаторе:

Таким образом, в резонаторе допустимые частоты волн образуют дис­ кретный набор, который обозначают как а>птр (с индексами, указы­

вающими на число полуволн по соответствующей координате). Волну с такой частотой обозначают как ТЕптр . Заметим, что в случае резонато­

ра выбор координатных осей является условным. Поэтому обычно при­ нимают, что ось z направлена вдоль самой длинной стороны резонатора.

Как видно из (13.3.5), в резонаторе с идеально отражающими стен­ ками результирующая волна является суперпозицией прямой и отра­ жённой волн, имеющих равные амплитуды, т.е. является стоячей вол­ ной. Следовательно, в идеальном резонаторе волны всегда являются стоячими.

Найдём минимальную частоту волн, которые могут находиться в резонаторе. Положим р =1, так как при р =0 из (13.3.5) мы получили

бы кг =0 и, следовательно, Е = 0. Кроме того, нужно положить хотя

бы один из оставшихся индексов (п или т) равным единице (т.е. мини­ мально возможным, но ненулевым), иначе получилось бы тривиальное состояние с полем Е =0. Из (13.3.6) следует, что минимальная частота зависит от соотношения между размерами а и Ърезонатора:

248

при а > Ъ нужно положить п =1, т = 0, р =1,

при а < b нужно положить п =0, т =1, р =1.

Следовательно, минимальная частота — это либо а^01, либо ®011. На­

помним, что в обоих случаях р =1, поскольку по предположению

h > а и h > Ъ.

В качестве примера рассмотрим ТЕп0р-волну, у которой вектор Е

Напряжённость магнитного поля может бьггь найдена из уравнения Максвелла

1 дВ

r o t E = -

с dt

Для волн с частотой ®это уравнение принимает вид rotE =icoiL/c. От­ сюда находим:

(i, j, k — орты соответственно вдоль осей х, у, z). Подстановка сюда вы­ ражения (13.3.7) для Еу даёт

Н>о [ - ikz sin {кхх}cos(kzz) +ккх cos(^xx)sin(Azz)].сЕ

103

Качественный вид силовых линий магнитного поля в резонаторе показан на рис. 13.3.2.

Рассмотрение ГМ-волн проводится полностью аналогично рас­ смотрению ТЕ-волн.

13.4. Отражение волн от металлов

Пусть плоская электромагнитная волна падает по нормали из ва­ куума (среда 1) на поверхность металла (среда 2) (рис. 13.4.1). Будем считать металл идеальным проводником.

В рассматриваемых условиях волновые векторы падающей и отра­ жённой волн перпендикулярны поверхности металла. Вследствие попе-

249

речности волны векторы её электрического и магнитного полей парал­ лельны поверхности.

X

Рис. 13.3.2. Представление о силовых линиях магнитного поля в резонаторе в моде ТЕю2

Выберем систему координат так, что Е ||OX, Н ||OY. Рассматри­

вая монохроматические волны, распространяющиеся вдоль оси z, запи­ шем эти волны в комплексной форме:

Е'х =E'0ei(-k'z*-at), В'у =В ' ^ 2~ш ).

Здесь штрихом обозначены величины, относящиеся к отражённой вол­ не, а без штриха —. к падающей волне. Поле в вакууме (над металлом) складывается из полей падающей и отражённой волн:

Рис. 13.4.1. Отражение волны от границы разделавакуум (1) - металл (2)

Поскольку поле в идеальном проводнике отсутствует, то на внешней поверхности металла окажется

z =0 :.e P = 0 .

250