Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Эта траектория представляет собой циклоиду (рис. 7.1.5). Такую траек­ торию описывает точка на ободе колеса, катящегося без проскальзыва­ ния по плоскости. В соответствии со сказанным траектория представля­ ет собой суперпозицию дрейфа вдоль оси х и вращения вокруг оси z с циклотронной частотой оэ =qB jm c.

2 ш !а

Рис. 7.1.5. Траектория частицы вовзаимно перпендикулярных полях В и Е при условии, что начальная скорость равна нулю

7.1.5.О бщ ий сл уч а й ск р ещ ен н ы х п ол ей

В общем случае имеется составляющая вектора электрического поля, параллельная магнитному полю: Ец Ф 0. Тогда для компоненты скорости Уц имеет место уравнение т\^ =дЕц. Это значит, что на дви­ жение, описанное в предыдущем пункте, накладывается ускоренное движение в направлении Ец.||В. Дрейф со скоростью и =сЕхВ/i?2

сохраняется, так же как и вращение с циклотронной частотой ей = -q ll/ т с.

7.2. Методы измерения удельного заряда электрона

Удельным зарядом называется отношение q [m , где т — масса

частицы.

Движение частицы при наличии только электрических и магнит­ ных полей описывается уравнением

Отсюда видно, что оно полностью определяется удельным зарядом q jm , а не зарядом и массой порознь.

141

7.2.1.Измерение qhn по отклонению траектории

вэлектрическом поле

Вэтом методе пучок частиц пропускается между обкладками за­ ряженного конденсатора, и цо измеренному отклонению траектории

определяют отношение qjm . Схема опыта показана на рис. 7.2.1.

Рис. 7.2.1. Отклонение заряженной частицы электрическим полем конденсатора.

К— конденсатор, Э — экран

Вконденсаторе имеется однородное электрическое поле с напря­ жённостью Е, направленное перпендикулярно начальной скорости час­ тицы v0. Это поле вызывает движение с ускорением

а

а =—Е, aJ_v0.

т

Если бы поле отсутствовало, то частицы попадали бы в точку «О» экра­ на Э (рис. 1). Под действием поля отклонение частицы в конденсаторе в вертикальном направлении составляет

где t =1/и0 — время пролёта конденсатора. Здесь учтено, что посколь­

Далее частица летит прямолинейно, причём траектория образует угол а с осью х такой, что

142

Долетая до экрана, она приобретает дополнительное отклонение y ^ L t g a .

Полное смещение частицы в итоге составит-

tg a =- ^ - l [ —l+L

тип

Таким образом, по измеренному отклонению частицы у с помощью последней формулы определяется удельный заряд частицы q jт.

7.2.2.Измерение qlm по отклонению траектории

вмагнитном поле

Для измерения удельного заряда можно вместо электрического по­ ля использовать магнитное, также направленное перпендикулярно тра­ ектории частицы (рис. 7.2.2). На частицу действует сила Лоренца

F = —vxB, создавая ускорение а =— = -^-vxB.

с т т с

Рис. 7.2.2. Отклонение заряженной,частицы магнитным полем. М — магнит, Э — экран. Направление магнитного поля перпендикулярно плоскости листа и направлено «за лист»

Пусть скорость частицы велика, и отклонение за время пролёта по­ ля мало. Тогда можно принять

Отклонение частицы за время пролёта поля t =l/u0 составит

j] =—at2 =S —B ——. 2 2т и0с

Скорость и частицы на выходе из области действия поля равна

143

v=at =— B ,

тс

аугол, который образует вектор скорости с оСМо х, определяется равен­ ством

Измеряя это смещение, можно найти удельный заряд qjm частицы.

7.2.3. М ет о д Т ом сон а

Дж. Дж. Томсон использовал компенсационную схему, в которой движение частицы управлялось как электрическим, так и магнитным полем. Эта схема позволяла не измерять предварительно скорость час­ тиц ид- Суть метода в следующем. Сначала Томсон включал только магнитное поле (как описано выше) и измерял отклонение пучка заря­ женных частиц:

ти0с

Затем он дополнительно включал электрическое поле, перпендику­ лярное магнитному ( Е J_ В ), и подбирал его величину таким образом, чтобы полностью компенсировать отклонение пучка, вернув его в точку

j> =0 . Условием компенсации являлось равенство qE=—v0B, или

с

Отсюда по известным значениям смещения^ и полей В и Е определяет­ ся удельный заряд qjm .

144

Описанным методом Дж. Дж. Томсон в 1897 г. при изучении ка­ тодных лучей впервые измерил удельный заряд электрона. Измерения показали, что удельный заряд электрона составляет

е/m = -5,273-1017 ед.СГСЭг-1 =-1,795-1011 Кл-кг-1.

7.3. Опыты Милликена

В предыдущих опытах измерялся удельный заряд частиц. Р. Милликен в 1909 г. предложил способ непосредственного измерения заряда. Схема его установки показана на рис. 7.3.1.

Впространство между пластинами конденсатора Милликен вводил

Спомощью пульверизатора мельчайшие капельки масла. Капли ионизо­ вались, и их движением можно было управлять, меняя величину и знак наряда на конденсаторе.

-л — Пульверизатор

Рис. 7.3.1. Схема установки Милликена по измерению заряда электрона (сила r/Е указана для случая q <0)

Рассмотрим метод подробнее. Будем для определённое™ считать, что заряд капли отрицательный, q < 0.

На каплю действуют следующие силы:

1)сила со стороны электрического поля дЕ;

2)результирующая силы тяжести и архимедовой силы

Где г — радиус капли, р и ро — плотности капли и воздуха соответст­

145

Включив электрическое поле, заставляют каплю подниматься с неболь­ шой скоростью иЁ, которую можно найти из уравнения

(7.3.4)

С учётом равенства (7.3.3) перепишем это соотношение в виде

6nrTi(v0+uE) =qE, (7.3.5)

откуда можно найти заряд капли:

(7.3.6)

Практически измерение осуществлялось следующим способом. В отсутствие электрического поля измерялась скорость свободного паде­ ния капли i%. Затем из соотношения (7.3.3) определялся радиус капли:

(7.3.7)

Включив электрическое поле и измерив скорость подъёма капли иЕ, по формулам (7.3.6) —(7.3.7) или

можно найти заряд q.

Милликен вызывал ионизацию воздуха, облучая пространство ме­ жду пластинами конденсатора рентгеновскими лучами. Ионы, прилипая к капле, меняли её заряд, в результате чего менялась и скорость оЕ.

Анализируя результаты экспериментов, Милликен установил, что изменения заряда капель Aq и сам заряд q были всегда целыми кратны­ ми одной и той же минимальной величины:

е « 4,80-10-10 ед. СГСЭ =1,602 1(Г19 Кл.

По известным значениям удельного заряда е/т и заряда е элек­ трона можно найти массу:

- j —=т ■«9,11•10~28 г.

е/т

Значение опыта Милликена состоит в том, что была эксперимен­ тально доказана дискретность электрического заряда.

146

Глава 8. ИНДУКТИВНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО поля

8.1.Индуктивность

8.1.1.Коэффициенты самоиндукции и взаимной

индукции

Если имеется замкнутый контур L и опирающаяся на него поверх­ ность S, то магнитный поток через этот контур равен

ф - J b j s . s

Пусть цо витку течёт ток J. Он создаёт магнитное поле В, величина которого пропорциональна величине тока: В ~J . Соответственно маг­ нитный поток также пропорционален току: Ф ~ ./. Полагают (в гауссо­ вой системе единиц)

Ф = - Ы

с

(с — скорость света). В этой формуле коэффициент L называется ин­ дуктивностью провода или коэффициентом самоиндукции.

Пусть теперь имеются два витка, по одному из которых течёт ток J |. Тогда магнитное поле, создаваемое этим током, В - J u а магнитный

поток ч:ерез второй виток Ф2! ~J\- В гауссовой системе единиц запи­

сывают

®21

с

Величина Ьц называется коэффициентом взаимной индукции.

Аналогично, если в витке 2 течёт ток ,/2, то он создаёт магнитный поток через виток 1, равный

Ф|2 с-TrzJi-

147

8.1.2. Индуктивность идеального соленоида

Рассмотрим идеальный соленоид, т.е. соленоид, витки которого плотно расположены, а их плоскости можно считать параллельными основанию соленоида. Пусть S и 1— соответственно площадь основа­ ния и длина соленоида, а N — число витков. Магнитное поле внутри соленоида равно

Таким образом, находим индуктивность соленоида:

i/—---! !---- .

/

8.1.3. Индуктивность тороидальной катуш ки

Найдём индуктивность идеальной тороидальной катушки прямо­ угольного сечения с числом витков N (рис. 8.1.1а). Будем считать, что среда в объёме катушки имеет магнитную проницаемость //. Пусть че­ рез катушку течёт ток J. Магнитное поле локализовано в объёме катуш­ ки и может быть найдено с помощью теоремы о циркуляции. Выберем круговой контур L радиуса г с центром на оси катушки (рис. 8.1.16). Поскольку силовые линии магншного поля являются окружностями с центрами на оси катушки, то

Для нахождения магнитного потока, пронизывающего отдельный виток, <J>j =J"BdS, учтём, что dS =bdr (рис. 8.1.1в). Это даёт:

' s

148

где S =ab — площадь сечения катушки. Последняя формула справед­ лива в случае произвольного поперечного сечения, если только размер сечения (~ а) мал по сравнению с радиусом катушки (~К).

. а. .

а)

dr г

►» ч-----

R

в)

Рис. 8.1.1: а — тороидальная катушка с прямоугольным поперечным сечением; б — вид катушки сверху. Указан круговой контур, циркуляция по которому рассматривается при вычислений магнитного поля в катушке; в — сечение катушки вертикальной плоскостью, проходящей через ось

8.1.4. Взаимная индукция двух индуктивно связанных ка­ туш ек

Пусть на один сердечник насажены две катушки с числом витков соответственно N\ и N2 (рис. 8.1.2). Считаем, что сердечник имеет длину

149

I и постоянное сечение площадью S: Роль сердечника сводится к тему, что он полностью передаёт магнитный поток от одной катушки к дру­ гой. Катушки считаем идеальными соленоидами.

Рис. 8.1.2. Две катушки на общем сердечнике

Пустим по катушке 1 той'Jj.-Тогда в ней создаётся магнитное поле

„4я11 Л7,./, В1 =---------Г~

СI

исоответствующий магнитный поток

ф,=

c l

Этот поток пронизывает все N2витков второй катушки, что даёт полный магнитный поток через вторую катушку:

Ф21=ЩФ1=-Ал/л N{N2J i _ 1

Таким образом, получаем коэффициент взаимной индукции:

La 4^ NlN2 г.

Аналогично, пуская ток J2 через вторую катушку и вычисляя маг­ нитный поток, пронизывающий первую катушку, находим

■ = Ал/лЩЩ s

12/

Врассмотренном примере коэффициенты индуктивности удовле­ творяют соотношениям

Аг =д/^-^2'

Их справедливость связана, во-первых, с тем, что мы пренебрегли рас­ сеянием машитного, потока; а во-вторых, с тем, что магнитная прони­ цаемость сердечника не зависит от величины магнитного поля. Соот­ ношение 1 \ 2 = L2\ не будет выполняться, если окажется /л =/г(Н) и

Nj * N2- Тогда обмотки при одинаковых токах создают в сердечнике

различные магнитные поля, так что в выражения для 1^2 и Ь2] будут

150