Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Найдём магнитный момент, который приобретает сверхпроводник во внешнем магнитном поле В(е>. Пусть образец представляет собой длинный тонкий цилиндр, ориентированный вдоль силовых линий маг­ нитного поля (рис. 9.4.3). В рассматриваемой геометрии напряжённость

9.4.4. Эффект Мейсснера

Эффект М ейсснера состоит в том, что при температуре ниже кри­ тической магнитное поле полностью выталкивается из объема сверх­ проводника (рис. 9.4.6) независимо от момента перевода вещества в сверхпроводящее состояние: до или после наложения магнитного поля.

В В

Т > Т С

1’ис. 9.4.6. Эффект Мейсснера — выталкивание внешнего магнитного поля их инерхпроводника. Слева — проводник в нормальном состоянии, справа — сверхпроводник

Заметим, что полный эффект Мейсснера имеет место в случае сверхпроводников первого рода при Т <ТС. В случае же сверхпровод­ ников второго рода полное вытеснение магнитного поля из объёма ве­ щества происходит только при Т <Тс1, тогда как в интервале

Т(Л< Т < Тс2 выталкивание поля лишь частичное.

9.4.5. Граничные условия на поверхности сверхпроводника

Поскольку в объёме сверхпроводника В = 0 , то из граничного ус­ ловия ВХп = В2п следует, что на внешней поверхности сверхпроводника

Ип - 0. Это значит, что магнитное поле может иметь только касатель­ ную к поверхности компоненту.

181

9.4.6. Сверхпроводящий шар в магнитном поле

Пусть сверхпроводящий шар находится в однородном магнитном поле. Найдём магнитный момент, приобретаемый шаром, а также рас­ пределение токов по его поверхности (рис. 9.4.7 и 9.4.8).

ВРис. 9.4.7. Поверхностные токи на сверхпроводящем шаре, находящемся во внешнем магнитном поле В

Рис. 9.4.8. Индуцированный

Вмагнитный момент ш при наличии внешнего поля В

Поле вне шара складывается из внешнего поля В0 и поля индуци­ рованных поверхностных токов. Последнее равно полю точечного маг­ нитного диполя т . расположенного в центре шара:

Этот же результат можно полуЧить из приведённых в разделе'4!2.6 формул, определяющих магнитное поле в веществе и намагниченность в зависимости от величины внешнего магнитного поля:

182

Гл а в а 10 . УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

10.1.Ток смещения

10.1.1.Ток смещения и закон сохранения заряда

Теорема о циркуляции для постоянного магнитного поля

оказывается неверной в случае переменного электрического поля. Дей­ ствительно, применяя почленно операцию div ко второму уравнению и учитывая тождество div rot Н =0, получаем divj =0. С другой сторо­

ны, если плотность заряда меняется со временем, dp/dt^ 0, то в силу уравнения непрерывности

— + div j = 0 dt

получаем divj Ф 0. Это противоречие показывает, что необходимо ви­ доизменить теорему о циркуляции. Для решения этой задачи Дж. Мак­ свелл ввёл т ок смещения jCMсоотношением

rotH = ——(j +jCM)

с

и потребовал, чтобы уравнение непрерывности выполнялось. Применяя почленно, как и выше, операцию div к записанному уравнению, получаем

div(j +jCM) = 0 => divjCM= -d ivj =^ .

Согласно теореме Гаусса для электрического поля div D= Алр

имеем р ————div D. Подставляя это выражение для плотности заряда в

4ж

полученное выше выражение для div jCM, находим

184

')то равенство удовлетворяется тождественно, если положить

•-

JcM~~An dt '

Таким образом, теорема о циркуляции для магнитного поля, согла­ сующаяся с законом сохранения заряда, должна записываться в виде

с" с dt

Винтегральной форме теорема о циркуляции имеет вид

11олный ток смещения, пронизывающий контур L, равен

Таким образом, переменное электрическое поле приводит к воз­ никновению токов смещения, которые в свою очередь участвуют в соз­ дании магнитного поля.

10.1.2. Стенание заряда с шара во внешнюю среду

Пусть шар несёт заряд Q, который может стекать во внешнюю сре­ ду (рис. 10.1.1). Вследствие стекания заряда возникают токи, которые в общем случае могут индуцировать магнитное поле. Найдём магнитное поле в рассматриваемой задаче.

Рис. 10.1.1. Заряд, стекающий с шара во внешнюю среду, создаёт обычный ток j и ток смещения jCM

Выберем произвольную сферическую поверхность S, окружающую шряд Q (рис. 10.1.1). Прежде всего, поле не может быть направлено по рпдиусу (по нормали к поверхности), поскольку, допустив такое, полу­

чим неравенство (pBJS Ф 0, противоречащее теореме Гаусса (j)Bc?S =0.

S

185

Поле В не может быть направлено и по касательной к поверхности, по­ скольку вследствие сферической симметрии тока нет выделенных на­ правлений, перпендикулярных радиусу, все направления эквивалентны. Следовательно, нужно положить В=Н =0. Согласно уравнению

4тс

rotH = — (j +jCM) получаем jCM=- j. Имея в виду, что ток проводимо­

сти J =-dQ /dt (знак «—» связан с тем, что положительный ток возни­ кает при уменьшении заряда на шаре), получаем: J CM=dQ jdt. По зако­

Мы пришли к тому же выражению для тока смещения, что и рапьше.

10.1.3. Ток смещения в конденсаторе

Пусть пластины конденсатора заряжены и замкнуты с помощью проводника — рис. 10.1.2. Тогда по этому проводнику потечёт ток J. Выберем условно направление тока в проводнике так, как если бы он увеличивал заряд нижней пластины конденсатора (рис. 10,1.2). Тогда j =dQjdt.,

Магнитное поле однозначно определяете^ всюду величиной тока и не зависит от способа его вычисления.

Выберем некоторый контур L, охватывающий проводник. (рис. 10.1.3) и запишем теорему о циркуляции в следующем виде:

$Ш 1 =— (/пер +/ом) =— j(jnep +jCM) dS.

L C C S

Здесь j nep — ток, пересекающий поверхность S, опирающуюся на кон­ тур L. С формальной точки зрения интеграл, входящий в правую часть, Js (jnep +Jcm ) зависит от выбора поверхности S:

186

1) в случае поверхности S] (рис. 10.1.3 слева) следует положить J m p = J, поскольку ток/пересекает поверхность^;

2)в случае поверхности 5У(рис. 10.1.3 справа) следует положить /пер =0, поскольку поверхность S2 проходит между обкладками кон­

денсатора, где ток проводимости отсутствует..

Рис. 10.1.3. Контур L, охватывающий проводник, и два варианта поверхности, опирающейся на этот контур: поверхность Sb пересекающая проводник; (слева), и поверхность S2, проходящая между пластинами конденсатора и не пересе­ кающая проводник (справа)

Чтобы интеграл не зависел от выбора поверхности, достаточно вы­

вслучае поверхности S2(рис. 10.1.3 справа) J CM= J.

Вобоих случаях имеем: ./пер + JCM=•/.

В соответствии со сказанным оказывается, что в конденсаторе

СМ dt

Цоскольку поверхностная плотность заряда на нижней пластине равна а - Q/S, то получаем индукцию:

D = 4ж<т = 4ж— => Q = ^ -S . S 4ж

Таким образом, приходим к следующему выражению для тока смеще­ ния в конденсаторе:

Точно такое же выражение для тока смещения.было получено выше. В проводнике ток смещения равен нулю.

187

3) Теорема Гаусса для магнитного поля: divВ = 0.

4) Теорема о циркуляции для магнитного поля:

тт 4 * ,. . ч 4 * . 10D

10.2.3. М ат ери ал ьн ы е у р а в н ен и я

Уравнения Максвелла должны быть дополнены соотношениями, связывающими векторы полей.

1) Определение вектора электрической индукции: D = E + 4?rP,

где Р — вектор поляризации. Если Р =аЕ, то

D=г-Е, s =1 +4яа.

Величина а — поляризуемость среды, а величина £— диэлектрическая проницаемость.

2)Определение вектора напряжённости магнитного поля:

Н=В - Ая\,

где I — вектор намагничивания. Если I =аН , то

В = /иН, // =1 + 4як.

Величина к — магнитная восприимчивость среды, а величина /л— маг­ нитная проницаемость.

3) В случае тока, вызываемого электрическим полем в проводящей среде, имеет место закон Ома:

\= Ж .

10.2.4.Г р а н и ч н ы е у сл о в и я

При наличии чётко выраженной границы раздела сред (1 и 2) должны выполняться следующие граничные условия:

D2 „ - Din= 4™r,

^21=Ец,

В2п =В1п>

4я

H2r- H l t =— iN.

с

Последнее условие в векторной форме имеет следующий вид:

189

Аж

nxH2 - nxHj =— i.

с

Три вектора (н, N, т), встречающиеся в записи последнего граничного условия, показаны на рис. 10.2.1.

Рис. 10.2.1. Тройка векторов, входящая в формулировку граничного условия для напряжённости магнитного поля

Строго говоря, вывод граничных условий для касательных компо­ нент векторов напряжённости электрического и-магнитного полей не­ много отличается от вывода, приведенного для случая стационарных полей. Покажем соответствующий вывод для случая электрического поля.

Применяя теорему о циркуляции к бесконечно малому контуру, проходящему над и под поверхностью раздела сред (рис. 10.2.2), полу­ чаем:

В правую часть равенства входит величина (8Bn/8t)Q, представляющая

собой производную по времени от магнитного поля в некоторой внут­ ренней точке поверхности, ограниченной контуром L(S). Взята компо­ нента магнитного поля Вт нормальная к поверхности S, ограничивае­

мой контуром ( |BJS =J BndS ).

С учётом того, что S = hdl, получаем

190