Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

3.4.7. Магнитный момент равномерно вращающегося заряженного шара.

Рассмотрим шар радиуса^?, равномерно заряженный по объёму и несущий полный заряд Q. Пусть этот шар вращается с угловой скоро­ стью а>вокруг своей оси. Для нахождения его магнитного момента вос­ пользуемся тем, что отношение его магни тного момента и момента им­ пульса равно гиромагнитному отношению: m ;/L, у ■Q/lM c, где

М — масса шара, Q — его заряд. МоментИмпульса шара, вращающего­ ся с угловой скоростью со, равен

Учтено, что момент инерции полой сферы равен (2/3)MR2 а>.

3.4.8. Магнитное поле системы токов на большом расстоянии

Магнитное поле, создаваемое системой движ ущихся зарядов, в си­ лу принципа суперпозиции даётся формулой

где г -— радиус-вектор точки набшодения. Пусть заряды двигаются в ограниченной области пространства размером порядка L. Найдём поле

101

Содержимое суммы преобразуем следующим образом:

v^ rri)= | [vi(rri) - r^rvi)]+ |[v!(rr!.) +r!-(rv/)]

(3.4.11)

= - г х (у, х г ) + - — (г,(гг,)).

2 2 dl ’

Поскольку рассматривается стационарное движение зарядов и создаваемое ими стационарное магнитное поле, то величина Уд,-г,-(гг,) не

может зависеть от времени, определяясь только средним во времени распределением зарядов. Поэтому последнее слагаемое в (3.4.11) не да­ ёт вклада в векторный потенциал:

г

где ш — магнитный момент, определённый формулой

1

Заметим, что полученная формула совпадает по виду с формулой для электрического поля точечного диполя. Это значит, что точечный магнитный момент можно рассматривать формально как точечный ди­ поль, составленный из эффективных магнитных зарядов NviS, как пока­ зано на рис. 3.414.

Обозначая величину эффективного магнитного заряда qm и плечо магнитного диполя I, запишем дипольный момент эффективного маг­ нитного диполя как

Если не рассматривать поле внутри такого магнитного диполя, то оно всюду будет таким же, как и поле системы токов с магнитным мо­ ментом т . Для иллюстрации на рис. 3.4.4 показана картина силовых линий эффективного диполя и витка с током.

102

Рис. 3.4.4.Силовыё линии поля эффективного магнитного диполя (слева) и витка с током (справа)

По этой причине выражение для магнитного поля, создаваемого точечным магнитным моментом, в точности аналогично выражению для поля точечного электрического диполя.

103

Глава 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

4.1.Магнитное поле в веществе

4.1.1.Микрополе и среднее поле

Ввеществе магнитное поле формируется как внешним полем, так и циркулирующими в этом веществе токами. На микроуровне (т.е. на рас­ стояниях порядка размера атомов и менее) поле резко меняется во вре­

мени и пространстве. Это поле называется микрополем Вмикро . Однако

если произвести усреднение по малому объёму, в котором имеется мно­ го частиц-зарядов (т.е. по физически бесконечно малому объёму), то получим ср ед н ее поле:

Среднее поле меняется существенно медленнее вследствие статистиче­ ского усреднения при случайном движении частиц.

В соответствии со сказанным токи, создаваемые движущимися за­ рядами, можно разделить на две группы: токи проводимости и молеку­ лярные токи.

4.1.2. Токи проводимости и молекулярные токи

Totai проводимости связаны с перемещением свободных зарядов и являются сторонними по отношению к веществу.

Молекулярные токи обусловлены орбитальным движением и спи­ ном (собственным моментом импульса) электронов в атомах (молеку­ лах) и ядер вещества.

Частицы, формирующие молекулярные токи, мало смещаются от своего положения равновесия, в среднем оставаясь на своих местах. Эти токи можно усреднить по физически бесконечно малому объёму. Ус­ реднённые же токи меняются медленно в пространстве.

104

4.1.3. Вектор намагничивания

Вектором намагничивания (или намагниченностью) называется магнитный момент единицы объёма вещества:

I -eim/dV . (4.1.1)

Намагниченность называется однородной, если вектор I не зависит от выбора.точки в веществе, т.е. при 1= const. Если же I ^ const, то намагниченность называется неоднородной.

4.1.4. Связь намагниченности с молекулярными токам и

Выделим в веществе достаточно малый цилиндр, так что поле в нём можно считать практически однородным. В его объёме молекуляр­ ные токи компенсируют друг друга. На рис. 4.1.1 показан этот цилиндр (слева) и вид его торца (справа). Кольцевые токи, циркулирующие в объёме, компенсируют друг друга всюду, кроме точек боковой поверх­ ности. В результате остаётся только поверхностный ток, текущий по боковой поверхности цилиндра.

Рис. 4.1.1. Слева — малый косой цилиндр, по боковой поверхности которого циркулируют поверхностные токи, создающий его магнитный момент. Справа

— кольцевые токи, циркулирующие в сечении цилиндра и компенсирующие друг друга всюду; за исключением боковой поверхности цилиндра

По определению вектора намагничивания магнитный момент ци­ линдра равен

ю = VI.

С другой стороны, магнитный момент цилиндра направлен вдоль векто­ ра площади S и связан с кольцевым поверхностным током Jm соотноше­ нием

„ _ ^т о m =— ».

с

105

Поскольку объём цилиндра равен V=LS cos ar = LS, то, приравнивая два выражения для т , получаем

L S co sa I =^ - S .

с

Отсюда следует

/cos а =— . cL

Вводя линейную плотность тока, т.е. поверхностный ток, приходящийся на единицу длины образующей цилиндра, im = JmjL , получим

где введено обозначение

IL-- I cos а

для проекции вектора намагничивания на образующую цилиндра. Выберем теперь в веществе произвольный замкнутый контур L и

возьмём вокруг него тонкую трубку (т.е. возьмём тонкий тор, ось кото­ рого совпадает с контуром L) (рис. 4.1.2).

На единицу длины контура приходится ток намагничивания im =c l ^, Так что по боковой поверхности элементарного цилиндра течёт

Это соотношение представляет собой связь молекулярного тока с век­ тором намагничивания в интегральной форме.

Рис. 4.1.2. Замкнутый контур L и тороидальный цилиндр вокруг него. Указан также элементарный цилиндр, образующей которого является вектор dl

dl

Полученное выражение на основании теоремы Стокса преобразу­ ется к виду

J m =c j rotMS, s

106

где S — поверхность, опирающаяся на контур L. Поскольку, с другой стороны, ток, текущий через поверхность S, можно выразить через плотность тока формулой

s

то ввиду произвольности выбранного контура L и поверхности S заклю­ чаем, что плотность молекулярных токов связана с вектором намагни­

Это соотношение даёт связь молекулярного тока с вектором намагничи­ вания в дифференциальной форме.

4.1.5. Теорема о циркуляции магнитного поля. Вектор Н

Как показано выше, молекулярный ток, пересекающий контур L, связан с намагниченностью соотношением

L

Применим теорему о циркуляции для магнитного поля, сформулиронанную Для поля в вакууме:

L С

Здесь J и ./м — соответственно ток проводимости и молекулярный ток, пронизывающие контур L. Отсюда следует

(4.1.5)

(4.1.6)

Полученное соотношение представляет собой т еорем у о циркуля­ ции для магнитного поля в вещ ест ве в интегральной форме.

Введённый в (4.1.5) вектор Н называется напряж ённост ью маг­ нитного поля. Этот вектор является вспомогательным и служит для уп­ рощения вида уравнений. Существенно, что его циркуляция определя­ ется только токами проводимости, что позволяет в ряде задач упростить расчёт магнитного поля в среде.

107

Используем теперь теорему о циркуляции в дифференциальной форме:

rotB=— О'+Лм),

с

где все токи разделены натоки проводимости (j)и молекулярные (jM). Имея в виду связь плотности молекулярного токас вектором намагни­ чивания: j m =с rotl, получим

4я-

rotB =— (j +crotl).

Наконец, вводя вектор напряжённости магнитного поля Н =В-4я:1, получим

Это соотношение называется теоремой о циркуляции ё дифферен­ циальной форме.

4.1.6.Граничные условия для векторов В и Н

1)Применяя теорему Гаусса к бесконечно малому прямоугольному параллелепипеду, охватывающему часть границы раздела двух сред (см. рис. 4.1.3), имеем

2) Применяя теорему о циркуляции к бесконечно малому контуру, проходящему над и под поверхностью раздела сред (рис. 4.1.4), получаем:

108

Здесь вектор N задаёт нормаль к плоскости контура, так что величина iN есть линейная плотность тока, пересекающего контур по нормали к нему.

Л,

©

©

Рис. 4.1.4. К выводу граничного условия для Н. Слева — контур, проходящий ниже й выше границы раздела сред, справа — тройка векторов: вектор т направлен по касательной к контуру, а вектор N — по нормали к плоскости контура, а вектор п—по нормали к границе раздела сред

>)ТГ

Поскольку <Л2 =— , d\x=r d l , то (Ht -Н 2)т =iN£ртсюда нахо­

дим

Последнему условию можно придать иной вид, не связанный с конкретным выбором векторов N и т. Именно, положим (рис. 4.1.4) x= N xn. Тогда

(H j—Н2) т = ^ , ш (H1- H 2)(Nxn) =^ iV.

Произведя циклический сдвиг сомножителей в смешанном произведе­ нии векторов, получим

[п х (Н ,—H2)]N =— iN. ' ■

Отсюда ввиду произвольности выбора вектора N заключаем

Это есть граничное условие (4.1.9), записанное в векторной форме.

4.2.Магнитные среды

4.2.1.М агнитная восприимчивость и магнитная проницаемость

Если магнитное поле слабое и в среде нет изначальной намагни­ ченности, то можно положить

109