Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

s

Рис. 1.4.6. Заряды q, находящиеся внутри металлической оболочки (к доказательству первой теоремы Фарадея)

Теорема 2. Если в полости зарядов нет, т о элект рост ат ическое

поле в ней равно нулю.

Д оказат ельст во. Предположим противное, т.е. поле отлично от цуля. Поскольку силовые линии электростатического поля могут начи­ наться и кончаться только на зарядах, то где-то на внутренней поверх­ ности оболочки должны присутствовать заряды, причём суммарный заряд должен быть равным нулю. Выберем силовую линию, идущую от положительных зарядов к отрицательным, и замкнём её в объёме обо­ лочки (рис. 1.4.7).

Циркуляция напряжённости поля по этому контуру (L) отлична от поскольку в полости контур совпадает с силовой ли-

нией и на нём Е<Л >0, а в оболочке Е = 0. Но согласно теореме о цир-

Рис. 1.4.7. К доказательству второй теоремы Фарадея

/'

Таким образом, на внутренней поверхности оболочки индуциро­ ванных зарядов нет, а поле в полости равно нулю. Этот вывод справед­ лив независимо от того, есть какие-либо заряды вне оболочки или их нет. Следовательно, проводящая оболочка полностью экранирует поле всех зарядов, находящихся вне оболочки.

1.4.6. П р оводящ и й ш ар в эл ек т р и ч еск ом п о л е

Пусть металлический шар помещён во внешнее однородное элек­ трическое поле Ео (рис. 1.4.8). В соответствии с теоремой Фарадея поле

внутри шара отсутствует: Ew =0. С другой стороны, это поле склады­

41

вается из внешнего поля Ео и поля Еиид, создаваемого индуцированны­ ми поверхностными зарядами:

Е « - К (,+Еиш;- 0 .

Поскольку внешнее поле однородное, то и индуцированное поле Е т -Е0 однородное.

Рис. 1.4.8. Металлический шар во "I внепшем электрическом поле приоб­ ретает дипольный момент вследствие перераспределения зарядов по его

поверхности

Как было показано в разделе 1.2.3, если заряды распределены по поверхности шара с плотностью сг =<т0 cos в, то поле внутри шара од­ нородное и равно

4яг

Еи в д = - — ^оП,

где п — единичный вектор, направленный по вектору Ео (рис. 1.4.8). Поскольку Еивд =-Е 0, то

3

а =+er0 cos#, а 0 =— Е0.

Аж

Согласно сказанному в 1.2.3, такое распределение заряда получает­ ся смещением шаров с плотностями зарядов соответственно +р и —р

на такое расстояние <51, что <т0 =pSl. Но в случае шара радиуса R это приводит к появлению дипольного момента

р=| p — r A s i ^ * ^ --R3Е0.

Сучётом сказанного находим поле во внешнем пространстве:

Е=Ео + 3 » г )^ р Л

Г

1.5. Диэлектрики в электрическом поле

1.5.1.О п р едел ен и я

При помещении вещества в электрическое поле происходит про­ странственное перераспределение заряда.

42

\

Свободные за р я д ы — это заряды, которые могут перемещаться на большие расстояния в веществе (много большие межатомных расстоя­ ний). В диэлектриках свободных зарядов, как правило, мало.

Связанные {поляризационные) заряды — это заряды, которые под действием внешних полей или сил мало смещаются относительно сво­ его положения равновесия и возвращаются назад, в положение равнове­ сия, после снятия внешнего воздействия.

Диэлектриками называют вещества, плохо проводящие электриче­ ский ток1. Их большое сопротивление связано с тем, что в них очень мало свободных зарядов. Связанные же заряды тока не производят.

Микрополе Ем — это результат сложения полей многих зарядов (покоящихся или движущихся). Это поле быстро меняется от точки к

точке и во времени.

С реднее поле Е — это результат усреднения микрополя по физиче­ ски бесконечно малому объёму AV:

1

(1.5.1)

Это поле меняется существенно медленнее, чем микрополе. При изуче­ нии среднего поля можно вводить объёмное распределение зарядов (с объёмной плотностью p —dqfdV), учитывая отдельно заряды, локали­

зованные на поверхности (с поверхностной плотностью а =dq/dS) или па нити (с линейной плотностью T =dq/dl). Далее мы будем рассмат­ ривать только среднее поле.

1.5.2. В ек т о р п ол яр и за ц и и

Поляризация — это пространственное перераспределение (смеще­ ние) связанных зарядов, приводящее к появлению объёмного дипольного момента среды. Поляризация может возникать как под действием электрических полей, так и при воздействии иных внешних факторов — механических усилий, изменения температуры.

Вектор поляризации Р — это диполъный момент единицы объёма

вещества.

Поляризация называется однородной, если вектор поляризации Р является постоянным по объёму вещества: Р =const, и неоднородной, если Р меняется от точки к точке.

1Полупроводники при низких температурах тоже плохо проводят ток. Однако при повышении температуры их сопротивление уменьшается — в отличие от диэлектриков, сопротивление которых велико вплоть до высоких температур.

Найдём связь вектора поляризации с поляризационными зарядами. 1) П оверхност ная плот ност ь поляризационны х зарядов

Пусть поляризация однородная. Рассмотрим косоугольный парал­ лелепипед, вырезанный из поляризованного вещества (см. рис. 1.5.1).

Р = р /У,

Найдём проекцию вектора поляризации на нормаль к торцу парал­ лелепипеда (т.е. проекцию Р на вектор площади торца S):

S S\ SI j

Таким образом, имеем Рп =а.

Рис. 1.5.1. К нахождению свя­ зи вектора поляризации с плотностью поляризационных зарядов

2)О бъёмная плот ност ь поляризационны х зарядов

Пусть теперь поляризация неоднородная. Рассмотрим в веществе некоторый объём произвольной формы. Разобьем всю его поверхность на элементарные площадки. Если в результате поляризации на площад­ ке dS внешней поверхности оказывается заряд dq =crdS ,то это можно

интерпретировать так, что в объём через рассматриваемую площадку вошёл заряд (dq)ax =- dq =- crdS . Тогда через всю поверхность в выде­ ленный объём вещества вошёл поляризационный заряд

Преобразуя поверхностный интеграл в объёмный с помощью теоремы ОстроградскогоГаусса, получаем

«/„о:, --\A\vVdV.

44

Если ввести объёмную плотность поляризационных зарядов по формуле Япол = JPn0ud v >т0 ВВИДУ произвольности выбранного объёма находим

Айш —О-

Найденную формулу можно получить, непосредственно рассмат­ ривая бесконечно малый элемент объёма. Именно, выберем прямо­ угольный параллелепипед со сторонами, направленными вдоль коорди­ натных осей {х, у , z) и имеющими длины соответственно dx, dy, dz

(рис. 1.5.2). Учтём, что на торцах параллелепипеда Рп =ст. Это значит,

что через площадку с координатой x + dx из объёма выйдет заряд

(фвых)х = а (х + У’ z)dydz =Px(x +dx, у , z)dydz,

а через площадку с координатой х в объём войдёт заряд

(dqBK )х =-а (х , у , z)dydz =Рх(х, у , z)dydz

(на этой грани Рп =~РХ, поскольку внешняя нормаль к грани ориенти­ рована противоположно осих, и на ней ег(х) =—Рх).

Рис. 1.5.2. К выводу связй вектора поляризации и объёмной плотности заряда

Итого, в результате поляризации в объём войдёт заряд

(dq)x =(dqBK)x- (d q BbJX)x =[Px(x ,y ,z ) - P x(x +dx, y,z )]d yd z =

дР

-—— dxdydz.

дх

Аналогично вычисляется заряд, попавший в рассматриваемый объ­ ём через другие грани параллелепипеда. Таким образом, в объём войдёт суммарный поляризационный заряд

45

Поскольку объём параллелепипеда равен dV = dxdydz, находим объ­ ёмную плотность поляризационных зарядов:

Pnoa=dqaaa-ldV =- ^ v T .

1.5.3. Т еорем а Г а у сса дл я эл ек т р и ч еск о го п ол я в ди эл ект р иках

Теорема Г аусса

В общем случае в теореме Гаусса (в дифференциальной форме) следует учесть наличие не только свободных, но и связанных (поляри­

где р — плотность свободных зарядов, а р ПОЛ — плотность поляриза-

Введённый в (1.5.6) вектор D называется вектором электрической ин­ дукции.

Соотношение (1.5.7) представляет собой т еорем у Г аусса для элек­ т рического поля в вещ ест ве в дифференциальной форме.

Сформулируем теорему Гаусса в интегральной форме. Разделяя за­

Вводя вектор электрической индукции соотношением (1.5.6), получаем

s

где q — суммарный свободный заряд, находящийся в объёме, ограни­ ченном поверхностью S.

Таким образом, в формулировку теоремы Гаусса для поля в веще­ стве входят только свободные заряды. Поляризационные же зарядьгучтены в определении вектора индукции D.

46

1.5.4. П ол яр и зуем ост ь и ди эл ек т р и ч еск а я п р он и ц а ем ост ь ср ед ы

При относительно слабых внешних полях смещение поляризаци­ онных зарядов мало и пропорционально приложенному полю. Поэтому

Коэффициент а называется поляризуемостью среды . Соответственно из определения вектораБ в (1.5.6) находим

называется диэлектрической проницаемостью среды. Для случая по­

Отсюда, в частности, следует, что поле точечного зардда в среде с ди­ электрической проницаемостью е равно

11оскольку s >1, то электростатическое поле, создаваемое в среде ка­ кой-либо системой зарядов, оказывается слабее поля, создаваемого той же системой зарядов в вакууме. Иными словами, поляризационные за­ ряды приводят к ослаблению поля.

1.5.5. Г р а н и ч н ы е у сл о в и я

1)Применяя теорему Гаусса к бесконечно малому прямоугольному параллелепипеду, охватывающему часть границы раздела двух сред

(рис. 1.5.3), имеем

(j)D<iS =4лq => Dj^Sj +D2dS2 =AmjdS.

s

Верхняя и нижняя грани параллелепипеда имеют одинаковые площади

2) Применяя теорему о циркуляции к бесконечно малому контуру, проходящему над и под поверхностью раздела сред (рис. 1.5.4), получаем

47

элементарного диполя равен R =r - r ls где Г] — радиус-вектор самого

диполя. Поэтому потенциал, создаваемый всеми Частями шара, равен

<Р:

Рис. 1.5.5. К вычислению, электрического поля однородно. поляризованного шара в точке А посредством суммирования полей элементарных диполей, образующих шар

Введённый здесь вектор Ei формально совпадает с напряжённо­ стью электрического поля, создаваемого распределением зарядов с объ­ емной плотностью р =1. Поэтому можно сразу записать

Здесь р = ^4я"а3/з|р — дипольный момент всего шара. Для напряжён­ ности поля по формуле Е =-grad#> находим

Таким образом, поле внутри шара однородно, а вне шара совпадает С полем точечного диполя, находящего в центре шара.

Что касается вектора электрической индукции D, то вне шара он совпадает с вектором напряжённости

49

К полученным результатам можно прийти, применив искусствен­ ный приём, использованный в разделе 1.2.3. Повторим те же рассужде­ ния применительно к поставленной задаче.

Однородно поляризованный шар можно рассматривать как резуль­ тат равномерного бесконечно малого смещения на <Я положительных зарядов относительно отрицательных в исходно электронейгральном шаре (рис. 1.5.6 слева). В результате такого смещения нескомпенсированными остаются заряды только вблизи поверхности шара.

Пусть г+ и г_ — радиус-векторы точки наблюдения относительно цешров положительно и отрицательно заряженных шаров (рис. 1.5.6 справа). Поля, создаваемые в точке наблюдения этими шарами во внут­ ренней области, равны

44

=Е _ = --я р г_ .

Здесь р и (-р ) — плотности зарядов шаров. Полное поле в точке наблю­ дения есть

Е =Е++Е_= j7 rp (r+-r_ ).

Как видно из рис. 1.5.6 справа, г+ -г_ =- S I . Вводя вектор поляризации Р =р8\, получаем

4 Е =----я-Р.

3

0+__ _____ jb А

о_

Рис. 1.5.6. Слева — смещение положительных зарядов относительно отрицательных на малое расстояние Л. 0 _и0+—центрышаров соответственно с отрицательным и положительным зарядами; справа — радиус-векторы точки наблюденияАотносительно центров положительно и отрицательно заряженных шаров

Вне шара поле совпадает с полем точечного диполя

50