Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Пусть имеется некоторая поверхность S (рис.2.1.2), опирающаяся на контур L. Тогда полный ток, текущий через эту поверхность, выра­

жается через плотность тока формулой

./=JjrfS.

Рис. 2.1.2. Ток с плотностью j течёт через поверхность S, опи­ рающуюся на контурZ

Если в системе присутствуют носители разного типа (электроны, ионы с различными зарядами), то плотность тока складывается из плот­ ностей тока каждой из компонент системы:

Если ток течёт по поверхности (рис. 2.1.3), то удобно вводить ли­ нейную плотность тока: так называется заряд, пересекающий участок контура единичной длины за единицу времени, т.е. ток в расчёте на единицу длины пересекаемого им контура,

i =dJ/dl.

71

2.1.2. Закон сохранения заряда иуравнение непрерывности

Выберем некоторую (произвольную) замкнутую поверхность S(V). Эта поверхность ограничивает объём V. Через площадку dS рас­

сматриваемой поверхности за единицу времени переносится заряд j dS,

а через всю поверхность из объёма Vуходит заряд (j)jdS . Если в объёме

: s

V находится заряд Q, то этот же интеграл даёт скорость убыли этого заряда:

1 '

S(V)

Полученное соотношение выражает закон сохранения заряда (в инте­ гральной форме): заряды не исчезают и не рождаются, но только могут со временем перераспределяться в пространстве.

Полный заряд в объёме Vравен Q = j р dV. Поэтому

Второе равенство есть результат преобразования поверхностного инте­ грала в интеграл по объёму на основании теоремы ОстроградскогоГаусса. Отсюда ввиду произвольности выбранного объёма Vзаключаем

Это соотношение называется законом сохранения заряда в дифференци­ альной форме илиуравнением непрерывности.

В стационарном случае, когда dp/9t =0, уравнение непрерывно­ сти принимает вид

divj =0.

Соответственно для интегральной формы получаем

^ j</S =0. ,

Данное равенство означает, что из объёма, ограниченного замкнутой поверхностью S, вытекает точно такое же количество заряда, какое в этот объём втекает.

72

(1) ^

для полного сопротивления рассматриваемого участка. Если удельное сопротивление.Аи поперечное сечение S постоянны по всей длине про­ водника, то R =l/AS =pJ/ S .

(4)

Далее учтём, что | Edl —<f\ —щ . Введём электродвижущую силу

(1)

(ЭДС) — источника сторонней силы:

Здесь используется следующее правило знаков:

£> 0 — при прохождении источника в направлении от « - » к «+»,

£<0 — при прохождении источника в направлении от «+» к «—».

Витоге приходим к закону Ома в интегральной форме для участка

цепи:

Если участок цепи замкнутый, т.е. точки 1 и 4 совпадают, то закон Ома принимает вид

2.2.2.Т еори я п р ов од и м о ст и (т ео р и я Д р уде)

В1900 году Пауль Друде предложил простую теорию, объясняю­ щую проводимость различных веществ. Она основана на представлении

одискретности заряда. Ввиду простоты и наглядности эта теория при­ меняется для различных оценок до настоящего времени.

Рассмотрим движение электрона в постоянном однородном поле Е.

Уравнение движения имеет вид та =еЕ или я —ёЕ/т. Если начальная скорость электрона была нулевой, то до столкновения с рассеивающим центром она меняется по закону v =a t =[eE jm)t. После столкновения

Скорость обращается в среднем в нуль, и начинается новый цикл уско­ рения. Если время свободного пробега равно г, то средняя скорость

74

упорядоченного движения электрона от столкновения до столкновения составит

Отсюда находим плотность тока:

j = пей = пе2тЕ =АЕ.

2 т

Тиким образом, мы получили закон Ома, а также явное выражение для проводимости:

2.2.3.П равила К ирхгоф а

1)Для любого узла сумма токов, входящих в узел (с учётом зна­ ков), равна нулю:

к

Это правило выражает закон сохранения заряда: заряды в узлах не мо­ гут рождаться или исчезать.

2) Для любого замкнутого участка цепи выполняется равенство

iк

Вэтих правилах токи и ЭДС являются алгебраическими величина­ ми, т.е. могут быть как положительными, так и отрицательными в зави­ симости от направления обхода контура (участка цепи).

1

Рис. 2.2.2. Замкнутый контур Г-2-3-1, содержащий элементы ЭДС и сопротивления

75

ИШИИМПВ

Получим второе правило Кирхгофа для случая цепи, показанной на рис. 2.2.2. Выберем положительное направление обхода контура как показано на рис. 2.2.2. Применим закон Ома к участкам цепи 12,23, 31:

(P2~< i+J 2^2 —&21

<ръ —ц\ +J 3R3 = £3 .

Складывая почленно эти равенства, получаем

2^2 ~ ^2 ^3*

Это равенство есть второе правило Кирхгофа. Аналогично рассматрива­ ется цепь, содержащая произвольное число разветвлений.

2.2.4. З акон Д ж оул я —Л енца

Пусть заряд движется со скоростью v и на него действует постоян­ ная: сила F =еЕ со стороны электрического поля. Скорость заряда можно представить как сумму средней (дрейфовой) скорости и и слу­ чайной составляющей v^, обусловленной столкновениями с атомами

(молекулами) среды:

y = u+vca, (усл) = 0.

За время dt заряд сместится на \ d t, и над ним будет совершена работа dA =E\dt =F(u +v cs)dt. При усреднении по всем зарядам системы

{Русл) =0 вследствие случайного характера vCJI. Если в единице объё­

ма находится п зарядов, то над ними за единицу времени совершается работа

системе и идёт на увеличение внутренней энергии.

Полученное соотношение называется законом Джоуля—Ленца в дифференциальной (локальной) форме. Ему можно придать другой вид, если воспользоваться законом Ома j =ЛЕ :

w =j 2 /л =ЛЕ2. .

При наличии в среде объёмных токов мощность энерговыделения, т.е. работа над зарядами в каком-то объёме в единицу времени, равна

76

Применим это равенство к току в проводнике. Если площадь сечения

где интегрирование выполняется по длине проводника. Здесь введено цопротивление

J AS

Соотношение W =J 2R представляет собой закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Для замкнутой цепи, содержащей ЭДС £, из закона Ома в инте­ гральной форме JR —£ следуют две другие формы закона Джоуля-

Поскольку £ = ^Естор<Л, т.е. ЭДС есть результат действия сторон­

н и х сил, то, как видно из равенства W =J£, электрическое, поле само НОпроизводит тепловую энергию. Тепло производится за счёт работы Сторонних сил (благодаря которым и возникает ток в системе). Иными словами, сторонние силы приводят заряды в движение, а сообщённая Этим зарядам кинетическая энергия расходуется на преодоление сил Трения в проводнике. Эти потери энергии проявляются в виде эдектричвского сопротивления.

2.3. Токи в неограниченных средах

Пусть в проводящую среду с проводимостью Аи диэлектрической Проницаемостью г помещены два электрода А и В (рис. 2.3.1). Будем Считать, что электроды — это хорошие проводники, так что их поверх­ ности являются эквипотенциальными, с потенциалами соответственно

Где принято, что на обкладках такого конденсатора помещёны заряды

•I f/ и —q.

11

Рис. 2.3.1. Два электрода в среде с проводимостьюЛ

Далее задача решается в три шага.

1) Из теоремы Гаусса для проводника с зарядом +q имеем

Ал

-ч*

где интегрирование проводится по внешней поверхности проводника.

2) По закону Ома плотность тока, стекающего с электрода А, равна j = ЛЕ, где Е — напряжённость электрического поля вблизи его по­

верхности. Полный ток, стекающий с электрода А, равен

J =^jrfS =A|ErfS.

Исключая отсюда поверхностный интеграл с помощью соотношения

£

3) Сопротивление между электродами определяется формулой

r - Pa ~ (Рв

J

Поэтому из (2.3.3) следует, что сопротивление среды между электрода­ ми равно

Поскольку ёмкость пропорциональна диэлектрической проницаемости: С ~е , то сопротивление не зависит от £

Если электроды представляют собой проводники с собственными ёмкостями Са и Св, удалённые друг от друга на большое расстояние, то их взаимная ёмкость равна

78

(см. раздел 1.7.6). В частном случае шаров радиусами гАи гв из (2.3.4) находим

Видно, что в этом случае сопротивление R практически не зависит от рнсстояния между шарами.

Если электроды представляют собой обкладки плоского конденса­ тора (с площадью пластин S и расстоянием между ними d), то

C =sSjA nd.

При этом формула для сопротивления принимает вид

R =dfXS,

что совпадает с известным выражением для сопротивления проводника длиной d, поперечным сечением S и проводимостью Л.

2.4. Закон «трёх вторых» Ленгмюра

Рассмотрим вакуумный диод (лампу) — систему из двух электро­ дов (катода и анода) в вакууме, между которыми поддерживается раз­ ность потенциалов V. Если один из электродов (катод) натрёт, то часть электронов имеет достаточную энергию, чтобы выйти из металла нару­ жу. Для чистых металлов работа выхода составляет несколько элекТроивольт. Далее электроны увлекаются внешним электрическим полем II направлении анода и создают ток J.

Если бы на анод попадали все эмитированные с катода электроны, то в стационарных условиях ток J не зависел бы от величины; прило­ женного напряжения Vи равнялся бы току насыщения. Последний оп­ ределяется только количеством электронов, испущенных катодом в единицу времени.

В действительности в пространстве между катодом и анодом обрачустся отрицательный объёмный заряд, препятствующий прохождению тока. Рассмотрим это явление подробнее.

Допустим, что электроды лампы плоские, имеющие площадь S (рис. 2.4.1). Будем считать температуру катода неизменной, чтобы ско­ рость эмиссии была постоянной. Распределение потенциала между ,ЧЛсктродами определяется из уравнения Пуассона:

79

ЖШМШШКГВi ИIit

d 2qj

-Ажр =—Anne, (2.4.1)

dx2

где e < 0 —- заряд электрона, п — концентрация Электронов в простран­ стве между электродами. Будем считать, что скорости электронов зави­ сят только от расстояния х до катода, и =и(х), причём начальная ско­

рость равна нулю, и(0) =0.

Анод

Рис. 2.4.1. Электроны, испускаемые нагретым катодом, попадают на анод

Ввиду стационарности рассматриваемого процесса эта величина не за­ висит от координаты, иначе согласно закону сохранения заряда

Параметр а не зависит от координаты и определяется только скоростью эмиссии электронов/.

Сформулируем граничные условия для уравнения (2.4.5). Одно ус­ ловие состоит в том, что <р(0) =0. Второе условие — напряжённость

80