Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

входить различные коэффициенты ц, что и приводит к неравенству

L \i h .\-

8.1.5. Установление то ка в LR-контуре, содержащем источник ЭДС

При изменении магнитного потока через проводящий, контур (или, в общем случае, катушку индуктивности), возникает ЭДС индукции1- £тя =- d ^ j d t . Имея в виду связь потока Ф с током в катущке J,

Ф = L J , получаем

d J

ИНД

dt

Пусть в электрической цепи присутствует сопротивление К и сто­ ронняя ЭДС (рис. 8.1.3 слева). Тогда в соответствии с законом Ома ток в цепи окажется равным

j _ £+ щ R

С учётом выражения для ЭДС индукции получаем

L— +JR =£. dt

+

Рис. 8.1.3. Слева -- iif -кошур, содержащий источник ЭДС, сопротивление и индуктивность, справа - - установление тока в контуре

Пусть £ = const. Считая, что в начальный момент t =0 ток в цепи отсутствует: /(0) =0, из полученного уравнения находим

I R /(/) = R 1-ехр| ——t

1 В этом и следующем разделах мы используем систему СИ, в которой

Ф = и , f.mK= d0/dt.

.151

Отсюда видно, что при t —><хз в цепи устанавливается постоянный ток: J —» J 0 =£/.#, такой же, как в отсутствие индуктивности. Эта зависи­

мость показана на рис. 8.1.3 справа. Характерное время установления тока составляет т =L/R. На малых временах ( « г имеем J(t) =£t/L.

8.1.6. Э кст ра т ок и эк ст р а н а п р я ж ен и е р а зм ы к а н и я

Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис. 8.1.4. На этом рисунке сопротивление катушки индуктивности, равное г, изображены отдельно.

R

Вначале ключ К замкнут. Тогда через сопротивление R и через ка­

После размыкания ключа (отключения ЭДС) начальный ток через со­ противление R очень быстро затухает. Это происходит за характерные времена свободного пробега электронов в веществе тТ. Однако ток че­ рез катушку индуктивности столь же быстро затухнуть не может вслед­

Дальнейшее изменение тока в LK-контуре описывается уравнением

(R +r ) J =£шщ, или (R +r ) J =-L — .

Решение этого уравнения имеет вид

Используем начальное условие

J(0 ) =J 0 = JLfi=£/r.

‘Сйедовательно,

152

Отсюда видно, что сразу после отключения внешней ЭДС £ возникает ЭДС индукции

£ =£——- ^ИНД ^ г

Если сопротивление катушки г мало по сравнению с внешним сопро­ тивлением/?, r « J J , то окажется

£ш п « - £ » £

г

Начальный ток через сопротивление R, возникающий сразу после размыкания ключа, ./^q =£ jr, называется экстратоком размыкания, а

начальное напряжение, равное £тщ ~ £R/r, — экстранапряжением размыкания. Время затухания этого напряжения г « L/(r +R) велико по сравнению со временем свободного затухания тока в цепи (без индук­ тивности): г » В о з м о ж н о с т ь возникновения значительного экстра­ напряжения должна учитываться при расчёте электрических цепей, что­ бы избежать перегрузки.

8.2. Магнитная энергия тока

8.2.1.М агнитная энергия

Рассмотрим проводящую рамку с перемычкой, которая может сво­ бодно скользить вдоль проводов (рис. 8.2.1). Пусть по цепи течёт ток в отрицательном направлении (как показано на рис. 8.2.1). Тогда на пере­ мычку со стороны магнитного поля будет действовать сила Ампера,

направленная влево: FA =—IB. Сместим перемычку вправо на dx. Для

с

этого нужно совершить работу

SA =FAdx =\^ЛВ^<1х =-М Ф , <1Ф =BdS, dS =ldx.

Эта работа совершается внешней силой против сил поля, т.е. против ЭДС индукции. Поэтому она идёт на увеличение магнитной энергии.

153

Рис. 8.2.1. Рамка с током в магнитном поле. Перемычка может свободно скользить, непрерывно замыкая верхнийи нижнийпроводарамки

В общем случае работа против ЭДС индукции в соответствии с за­

Здесь учтено, что мощность энерговыделения Q =J£, где следует по-

ложить £ =- £ шд.

Положим Ф =Ы /с. Тогда §A =L J - d jlc 2. При возрастании тока

от нуля до некоторого конечного значения «/магнитная энергия тока достигает значения

(выражение для энергии записано в трёх различных формах с учётом соотношения Ф =Ы / с).

8.2.2. Энергия магнитного поля в соленоиде

Рассмотрим идеальный соленоид, по которому течёт ток J. Длина соленоида /, число витков N, площадь поперечного сечения S. В этом соленоиде имеется однородное магнитное поле с напряжённостью

чина NJ есть полный ток, текущий по боковой поверхности соленоида. Если магнитный поток через соленоид меняется на dФ =SdB, то

связанное с этим изменение магнитной энергии составит

Здесь V - I S — объём соленоида.

Полученная формула даёт изменение магнитной энергии при вся- , ком изменении магнитного поля, независимо от того, связано это изме­

154

нение с токами проводимости или нет. В частном случае В = цН нахо­ дим:

В вакууме (j i =1) плотность энергии магнитного поля составляет

и -- — ~

U ~ V ~ 8ж

Рассмотренный пример показывает, что магнитная энергия сосре­ доточена в объёме соленоида, т.е. в той области пространства, где при­ сутствует магнитное поле.

8.2.3. Э н ер ги я м а гн и т н о го п ол я (о б щ и й сл учай )

Приведём теперь общий вывод выражения для энергии, не Ограни­ чиваемый каким-либо конкретным классом систем.

Вывод формулы для энергии магнитного поля отличается от тако­ вого для энергии электрического пола. Дело в том, что само магнитное поле работы над зарядами не производит, а производит её вихревое электрическое поле, возникающее (по закону индукции) на стадии «включения» магнитного поля.

По закону Джоуля—Ленца работа электрического поля Е над тока­ ми j в единичном объёме в единицу времени равна jE . Соответственно

за время dt в объёме Vработа сил поля равна

SAm:K-:dl\iEdV .

г .

Из теоремы о циркуляции (в дифференциальной форме) следует

так что

Мкше

Ч-Лу

Заметим, что в качестве области интегрирования здесь берётся всё про* странство.

Далее с учётом тождества

div(E х Н) =НrotE - Еrot Н

перепишем выражение для работы:

155

<ЧоЛе - ~ j [Hrot E-div(Ex \l)}dV.

Ц-7Г У

Второй интеграл обращается в нуль. Действительно, преобразуя объём­ ный интеграл по формуле Остроградского—Гаусса в поверхностный и учитывая, что на бесконечно удалённой поверхности поля обращаются в нуль ( Е, Н —>О), получим

fdiv(E х H)dV = (6 (ExH)^S =0.

Следовательно,

Я А ^ — ГНпЛЕdV. Ая v

Учтём теперь закон электромагнитной индукции

rot Е =- 15В

с d t

Это даёт

Обозначим

J SB dB = d t— dt

и учтём, что работа электромагнитного поля равна у б ы л и энергии:

го;ю■ В результате находим изменение магнитной энергии:

dUm =- 1f НdBdV ШJ (dum)dV,

^n 'v V

где dum— приращение плотности энергии: 1ЫВ

Если между полями имеется линейная связь В =//Н, то можно пе­

рейти от приращения к конечному значению плотности энергии:

156

8.2.4. Теорема взаимности

Пусть имеется набор п витков, по которым циркулируют токи J {.

Напомним, что Lti =L*\i=к —- коэффициент самоиндукции г-го витка, а

I i*k — коэффициент взаимной индукции i-ro и к-го витков. Будем

предполагать Lik = const. При изменении токов магнитные потоки ме­ няются:

Вследствие независимости смешанных производных от порядка диффе-

(8.2.5)

157

8.2.5. Энергия системы токов

Здесь dUc — приращение энергии самоиндукции, a dUB — приращение

энергии взаимной индукции: первая определяется ,только самоиндукцией контуров, а вторая — только взаимной индукцией контуров. Преобразу­ ем эти выражения, перейдя от приращений энергии к конечным значениям.

Энергию самоиндукции легко найти, выполнив интегрирование:

Для выполнения интегрирования в энергии взаимной индукции пе­ репишем выражение для dUB в следующем виде:

dUb =\ [{ L X2J ldJ2 + LnJ 2dJx) +

С

+{b3J xdJ3 + LilJ 3dJx) +(L23J 2dJ3+L32J 3dJ2) +..^

разбив все слагаемые на симметричные пары. Имея в виду утверждение

с

Последнее выражение можно переписать в симметричной форме, ещё раз используя теорему взаимности:

158

Выполняя теперь интегрирование, получим выражение для взаимной энергии системы контуров:

2с /Д; i-tk

Наконец, объединяя выражения для энергии самоиндукции и вза­ имной индукции, получим выражение для полной энергии системы кон­ туров:

Последнее выражение можно переписать в другой форме, не содержа­ щей явно коэффициентов индуктивности:

Поскольку состояние с током имеет большую энергию, чем состояние без тока, т.е. U >0, то условие положительной определённости квадра­ тичной формы U(JU J 2) в (8.2.10) даёт неравенство

1л?. - А 1^22-

8.2.6. П рим ер п р и м ен ен и я т еор ем ы взаи м ност и .

Пусть внутри длинного идеального соленоида с плотностью на­ мотки п вдали от концов расположен параллельно его оси намагничен­ ный стержень с магнитным моментом т . Требуется найти магнитный поток Ф|2, пронизывающий соленоид. Будем считать среду в соленоиде немагнитной, имеющей fi =1.

Для решения поставленной задачи заменим магнит витком с током, имеющим магнитный момент т . Для этого требуется, чтобы ток в витке был таким, что т =JS/c, где S-—площадь витка, т.е.

/ =cm/S.

Такой виток создаёт в соленоиде магнитный поток Ф12 =L ^J/ с.

Пусть теперь ток J\ течёт по соленоиду. Тогда в соленоиде Возник­ нет магнитное поле В = AnnJxf c , Создающее магнитный nordK

Ф21 —BS =AnnJ^Sjc

159

8.3. Энергетический метод вычисления сил в магнитном поле

8.3.1. Д ва п одх о да к вы ч и сл ен и ю си л

Энергетический метод вычисления сил основан на методе вирту­ альных (бесконечно малых) смещений, стартующем от определения работы искомой силы поля f на бесконечно малом перемещении:

^4 me=f<Sr.

Вчастном случае, когда достаточно рассматривать перемещения только вдоль одного направления, например, вдоль оси х, записываем

Мшде ~ f5x-

Выделяют два основных подхода к нахождению работы £>Д,оле-

когда при виртуальных смещениях

1)неизменны магнитные потоки,

2)неизменны токи.

Поскольку в состоянии равновесия силы определяются только мгновенными значениями токов, но не их изменениями, то в обоих под­ ходах должны получаться одинаковые значения сип.

Учтём, что силы зависят от токов, но не от сопротивлений в конту­ рах. Это позволяет считать проводники идеальными, пренебрегая джоулевыми потерями.

Мы рассматриваем системы, находящиеся в тепловом равновесии с окружающей средой, чтобы не учитывать изменений свойств вещества, обусловленных иными (кроме электромагнитных) факторами. Поэтому ограничимся процессами, протекающими при постоянной температуре: Т = const. В соответствии с выражением dF =-S dT -P dV заключаем,

что приработе сил поля меняется свободная энергия^ Имея в виду сказанное, рассмотрим оба упомянутых подхода.

1) Рассмотрим замкнутую систему контуров с токами и произведём малое смещение. Тогда работа сил поля выполняется за счётубыли сво­ бодной энергии поля. ЕСли считать, что сопротивления контуров пре­

160