Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm
.pdfВведём функцию у/{г) =(р]{г) —(р2(т). Поскольку функции ^ (г ) и
(f>2(г) удовлетворяют уравнениям (1.3.7), то функция (//(г) удовлетво ряет краевой задаче
А$^ =0, г е Д
Но по теореме 1 решение последней задачи есть у/ =0. Поэтому всюду в D (г) =(р2(г), что и доказывает теорему.
1.3.6. Т еорем а о ц и р к ул яц и и дл я эл ек т р о ст а т и ч еск о го п ол я
Так как электростатическое поле потенциально, то работа поля над зарядом не зависит от формы траектории. Это значит, что для произ вольной траектории L при совпадении начальной и конечной точек име ем
^ ’E,dr =^[Exdx +Ey dy +Ezdz^ =Q.
/: /.
Входящий сюда интеграл называется циркуляцией вектора Е по контуру L, а сформулированное равенство называется т еоремой о циркуляции в интегральной форме.
1.3.7. Т еорем а о ц и р к ул яц и и в ди ф ф ер ен ц и а л ьн ой ф орм е
Пусть замкнутый контур L(AS) охватывает малую поверхность
площадью AS. Вектор AS направлен по нормали к рассматриваемой площадке и по величине равен площади этой площадки:
AS =nAS, п2 =1. Направление вектора п задаётся положительным на
правлением обхода контура L и |
определяется правилом винта |
(рис. 1.3.2). |
|
Рис. 1.3.2. Вектор площади |
n “ AS |
площадки AS. п — нормаль к |
|
площадке, направление кото |
|
рой определяется в соответст |
|
вии с обходом контура L по |
|
правилу винта |
|
Применим теорему о циркуляции, используя указанный контур:
(j) Ес/г--0.
L ( AS ) \ .
31
Рассмотрим предел
/
ф EJr ,
ДЛУ)
когда, контур стягивается в точку. Этот предел представляет собой про екцию вектора rotЕ на направление нормали п. Ввиду произвольности выбора контура заключаем, что
rotE = 0. |
(1.3.9) |
Сформулированное уравнение выражает теорему о циркуляции в диф ференциальной форме. В прямоугольных координатах оно имеет вид
^ J 5 l = o ^ - ^ - = 0, ^ |
- ^ = 0. |
|||
ду |
dz |
dz дх |
' дх |
су |
1.3.8. Г р а н и ч н ы е у сл о в и я
При переходе через границу раздела сред электрическое поле ме няется по определённым законам.
1) |
Применим теорему Гаусса к бесконечно малому прямоугольно |
му параллелепипеду, охватывающему часть границы раздела двух сред |
|
(рис. 1.3.3 |
слева). Полагая dSi =dS2 —dS, q =<rdS, dS2 = -dS 1, |
dSx=ndS, имеем
(j)Ea?S =4 щ => EjrfSj +E2^S2 =4kodS.
s
Отсюда следует первое граничное условие: (Ej - Е 2)в =4жт,
или, что эквивалентно,
If; © Т
| d s2 © |
<&2 |
Рис. 1.3.3. К выводу условий на границе раздела сред
2) Применяя теорему о циркуляции к бесконечно малому прямо угольному контуру, проходящему на бесконечно малом расстоянии над и под поверхностью раздела сред (рис. 1.3.3 справа), получаем
|
фЕс&=0 => |
Ejtflj + Е2<Я2 = О- |
|
/. |
|
Поскольку |
(Л2 =—dlj, d\.x=xdl, |
то (Е[—Е2)т = 0. Отсюда находим |
второе граничное условие: |
|
|
|
|
= 0 . |
1.3.9. |
П от енциал п ол я т о ч еч н о го ди п ол я |
Потенциал поля в точке А (рис. 1.3.4) складывается из потенциалов полей, создаваемых зарядами (-q) и (+#):
(рЛ^<р(г) = <р \<р,.
Рис. 1.3.4. К расчёту потенциала диполя
Пусть г_ и г+ — радиус-векторы точки наблюдения относительно поло жительного и отрицательного зарядов диполя. Поскольку г_ = r+ +1, то,
обозначая г =г+ и вводя вектор дипольного момента р =ql, получаем в пределе точечного диполя (/«?•):■
' |
а '3 1 0 ) |
1.3.10.П оле си ст ем ы за р я д о в н а бол ьш ом р а сст о я н и и
Рассмотрим систему зарядов {<^}, занимающую конечную область
в пространстве. Найдём поле, создаваемое этой системой на расстояни ях, много больших размера этой области. Пусть гг — радиус-вектор г'-го заряда, а г — радиус-вектор точки наблюдения. Тогда потенциал поля в точке наблюдения равен сумме потенциалов, создаваемых всеми заря дами:
*r)=J>(r) = £ r S - |
(13Л1) |
Величина |г—г,| в знаменателях есть расстояния от г-го заряда до точки наблюдения. Для преобразования этого выражения учтём, что г » rt. Поэтому
33
1
M l ^ (r - r ,-)2 ~ <jr2 -2rr,. r
Подстановка этого выражения в (1.3.11) даёт
/. \
» Z * |
Г\ г*-) |
Г |
+- т 5 М * г0 =т '+5 г- |
С1-3-12) |
|
I |
Г i |
г г |
|
||
Здесь введены полный заряд Q и дипольный момент р системы: |
|
||||
|
£ =Z?;> P =Z ^ rr |
|
|
||
|
I |
|
i |
|
|
Если Q * О, то на больших расстояниях поле такое же, |
как поле |
точечного заряда Q. Второе же слагаемое в (1.3.12) убывает быстрее с ростом расстояния г. Если же Q = 0, то поле оказывается таким же, как
поле точечного диполя р (см. (1.3.10)):
<z>(r)=£L, Е(г) =-grad у (г) = Р- -• (1.3.13)
г3
1.3.11.Э н ер ги я ж ё ст к о г о ди п о л я в эл ек т р и ч еск ом п о л е
Пусть вектор дипольного момента составляет угол в с направлени ем поля. Тогда момент сил, действующих на диполь, равен
М = -pE sm d .
Знак «—» здесь означает, что момент сил стремится уменьшить угол в, ориентируя диполь по направлению поля.
Работа сил поля по повороту диполя от начального угла во до угла в равна
о
А = j M d6 =рЕ (cos в - cos в0) =U(0O) - U(0).
Выбирая в качестве начала отсчёта в0 =я/2, U(<90) =0, получаем
U ■—рЕ. |
(1.3.14) |
|
1.3.12. Д ип ол ь в н ео д н о р о д н о м |
эл ек т р и ч еск ом п о л е |
|
Пусть диполь находится в |
неоднородном внешнем |
поле |
(рис. 1.3.5). Тогда силы, действующие на его компоненты, не равны по величине, и возникает сила, действующая на диполь как целое. Найдём эту силу:
F = (+?)Е++(~#)Е_.
34
Здесь Е+ и Е_ — поля в точках, где находятся соответственно поло |
|||
жительный и отрицательный заряды. |
|
|
|
Рис. 1.3.5. К расчёту |
|
|
|
сипы, действующей на |
|
|
|
диполь в неоднородном |
|
|
|
электрическом поле |
|
|
|
Учтём, что Г+ = 1 +г_, Е+=Е(г+), |
Е =Е(г_). Поэтому |
|
|
|
F =9 (E+-E _ ) = ?[E(r_+l)-E(r_)] = g (iy )E . |
|
|
Разлагая |
разность Е(г_+1)—Е(г_) по |
степеням малой |
величины 1, |
|l| |г|, |
и полагая радиус-вектор заряда (- q) равным радиус-вектору |
||
диполя: г_ =т, получим |
|
|
|
X |
F =?(1V)E. |
(1.3.15) |
Перепишем последнее выражение, введя вектор дипольного момента
Р - |
|
F =(pV)E. |
(1.3.16) |
Если поле однородное, то F =0. Если же поле неоднородное, то в общем случае сила отлична от нуля.
Выберем ось Z вдоль вектора напряжённости: Е |OZ. Предполо жим, что дипольный момент ориентирован по направлению поля. Тогда сила направлена поэтой же оси, причём F =Fz=pdE jdz.Отсюда сле
дует, в частности, что при dE/dz >0 окажется F > 0. Это значит, что диполь втягивается в область сильного поля.
Формула для энергии точечного диполя (1.3.14) в электростатике применима и в случае неоднородно поля. При этом силу можно вычис
лять как по формуле (1.3.16), так и по формуле |
|
F --g ra d U =grad(pE). |
(1.3.17) |
Эквивалентность формул (1.3.16) и (1.3.17) связана с тем, что напря
жённость электростатического поля |
может |
быть |
представлена как |
E =-grad<z>. Тогда |
|
|
|
F =V(pE) =-V(pV^) =-V |
дер |
д<р |
д<р'' |
^ +P v — + P y ~ |
|||
|
дх |
ду |
dz |
Перестановка порядка дифференцирования даёт окончательно
35
F =- |
Рх— |
(У<Р)+Ру — {Vp)+pz — (Vp) =(pV)E. |
|
V |
ox |
ay |
dz |
Отметим, что тождество grad(pE) =(pV)E справедливо только для
случая потенциального шля Е =—grad^p.
1.3.13. Э н ерги я у п р у го го ди п о л я в эл ек т р и ч еск ом п о л е
Выше мы нашли энергию жёсткого диполя, т.е. диполя с неизмен ным расстоянием между образующими его зарядами. Однако может оказаться, что расстояние между зарядами пренебрежимо мало, но рас тёт под действием внешнего электрического поля. Таким способом формируется дипольный момент у ряда веществ, имеющих неполярные молекулы. Найдём энергию такого упругого диполя, считая, что в от сутствие поля дипольный момент равен нулю.
Рассмотрим модель, в которой диполь (молекула) состоит из заря дов, соединённых пружиной с жёсткостью к (это допущение справедли во при не слишком сильных полях). Тогда под действием электрическо го поля длина пружины увеличивается на такую величину I, что сила со стороны поля уравновешивается силой упругости пружины:
к1 - qE.
Отсюда находим, что дипольный момент p =ql зависит от приложен
ного поля по закону
p —^ - — = fiE .
к
Коэффициент /?называется поляризуемостью молекулы. Потенциальная энергия деформации пружины равна
W 2 '
£/ = — .
2
Исключая отсюда жёсткость к пружины по формуле K =qE jl, получим
_ к12 _ qEl _ рЕ
Здесь вектор дипольного момента, индуцированный внешним полем, параллелен электрическому полю. Поэтому последнюю формулу можно переписать в векторной форме:
£/ =-^-рЕ. |
(1.3.18) |
36
I
1.4.Проводники в электрическом поле
1.4.1.Э л ек т р о ст а т и ч еск ое п о л е в п р оводн и к а х
Проводниками называют вещества, обладающие малым сопротив лением. В них имеются свободные заряды (электроны), которые могут перемещаться под действием сколь угодно слабых полей.
Если рассматривается стационарное состояние, когда нет токов, то в объёме проводника электрическое поле Е =0. Действительно, если бы имелось ненулевое поле, Е Ф 0, то возникло бы упорядоченное дви жение зарядов, т.е. ток. Ток будет течь до тех пор, пока заряды не рас положатся так, чтобы поле отсутствовало всюду в объёме вещества.
В состоянии равновесия
1) поле в объёме вещества равно нулю: Е® =0;
2) поскольку р ———div Е ^ , а Е® =0, то объёмная плотность за- „ Ап
рядов в веществе равна нулю: р =0. Это значит, что свободные заряды могут располагаться только на поверхности.
1.4.2.Г р а н и ч н ы е у сл о в и я н а п ов ер х н ост и п р ов од н и к а
1)Пусть среда 1 — вакуум, а среда 2 — проводник (рис. 1.4.1). Применяя теорему Гаусса к бесконечно малому прямоугольному парал лелепипеду, охватывающему часть границы раздела двух Сред, имеем:
|
ф EiiS =Anq => EjifSj +E2<iS2 =AncrdS. |
|
|
s |
dSl —dS2 =dS, q =crdS. Поскольку dS2 =-d S }, |
Здесь учтено, |
что |
|
c®! =ndS, to |
(Ej - E 2)n =Ana. Учтём также, что в проводнике 2 поле |
|
равно нулю, Е2 =0. |
Отсюда следует, что |
|
|
|
Е1п=Апа. |
2) Применяя теорему о циркуляции к бесконечно малому контуру, проходящему над и под поверхностью раздела сред (см. рис. 1.4.2), по
лучаем |
|
|
фЕсЛ =0 '=> |
+Е2*Я2 =0. |
|
l |
■ |
: |
Поскольку dl2 =—dl1, сЛ1=td l, Е2 =0, то
37
Таким образом, поле вблизи поверхности проводника направлено по нормали к поверхности и пропорционально поверхностной плотно сти заряда.
Рис. 1.4.1. К выводу граничного усло вия на поверхности проводника: прямоугольный параллелепипед охватывает поверхность dS металла
Рис. 1.4.2. К выводу граничного условия на поверхности проводника: прямоугольный кощур проходит над
ипод поверхностью металла
1.4.3.М ет о д зеркал ьн ы х и зо б р а ж ен и й
Пусть имеется система зарядов:
{?}+{?'}» {q}= {qi,q2,-,q„}, {q'} = {q{, q^ -> q’m}
Проведём мысленно эквипотенциальную поверхность S (на кото рой потенциал принимает значение <р = (р0), разделяющую пространство на две области: I и II. В этих областях находятся соответственно группы зарядов {q} и {</'} (рис. 1.4.3).
{?} |
1 |
П |
|
|
Рис. 1.4.3. Система зарядов, разделён |
|
|
ная эквипотенциальной поверхностью |
|
|
щ, на две группы, находящиеся по |
|
|
разные стороны от нее |
По теореме единственности поле в области I однозначно определя |
||
ется зарядами |
{q} и значением потенциала (р = <р0 на границе раздела |
областей. Иными словами, поле в этой области (и только здесь!) не из менится, если заменить систему зарядов {q'} другой системой {q”},
если только эта новая система создаёт (совместно с зарядами {q}) на поверхности S тот же потенциал <р =<рй. Это значит, что для расчёта
38
поля в области I можно, например, заменить группу зарядов {q'} про водящей поверхностью, имеющей потенциал <р=<р0.
Обратно, если имеется группа зарядов {q} и проводящая поверх ность S с потенциалом (р =<р0, то для расчёта поля можно заменить эту поверхность такой группой зарядов {q’}, которая совместно с зарядами
{q} создаёт в точках поверхности S требуемый потенциал (р=(р0.
Фиктивные заряды {q } в этом случае называются изображениями зарядов {q}.
1.4.4.П рим еры
1)Точечный заряд над плоской поверхност ью металла
Изображением точечного заряда q в этом случае является заряд
q' =—q, расположенный симметрично относительно плоскости
(рис. 1.4.4). При этом в точках плоскости потенциал равен
гг
Вобъёме металла напряжённость поля равна нулю, а вне металла сов
падает с полем диполя {q, q'} .
Рис. 1.4.4. Расчёт поля, созда ваемого точечным зарядом, на ходящимся над плоской поверх ностью металла
2) Заряд вблизи проводящ ей сф еры
а) Пусть сфера имеет потенциал q>=О (сфера заземлена).
Расположим заряд-изображение q\ заменяющий сферу, нарасстоя-
нии b =R2/d от центра сферы (рис. 1.4.5).
Тогда окажется, что треугольники OBq и Bq’q подобны, причём
39
Если величину заряда-изображения положить равной |
q' = —q —, то во |
всех точках сферы окаже тся <р —0. |
d |
|
|
Рис. 1.4.5. Расчёт поля, создавае |
|
мого точечным зарядом, находя |
|
щимся близи |
металлической |
сферы |
|
Ъ
б) ЕслИ сфера изолирована и несёт заряд q0, то её потенциал ока
зывается ненулевым. В этом случае изображение образуется двумя за рядами: первый находится на расстоянии Ъ=R1jd от центра сферы и
имеет заряд q =—q — (аналогично случаю заземлённой сферы). Кроме
а
того, добавляется второй заряд-изображение q", который находится в центре сферы и имеет величину
R
я я =Ч о -д ' =<1о+ч—-
а
Этот второй заряд оставляет сферическую поверхность эквипотенци альной, .но делает суммарный заряд области, ограничиваемой внешней поверхностью сферы, равным q0: q" +q' = q0. Потенциал сферы оказы
вается равным <p = q"/R.
1.4.5. Э л ек т р ост а т и ч еск а я за щ и т а
Идея электростатической защиты основана па теоремах Фарадея.
Теорема 1. Пусть заряды q находятся внутри металлической о б о лочки (рис. 1.4.6). Тогда сумма зарядов, индуцированных на внутренней ст ороне оболочки, равна по величине и противоположна по знаку сумме зарядов, находящихся внутри оболочки: q +q' =0.
Д оказат ельст во. Выберем поверхность S, Целиком проходящую в объёме оболочки. Так как оболочка проводящая, то на этой поверхности поле всюду равно нулю. Поэтому на основании теоремы Гаусса имеем
(j)EJS =4ж(д +q') =0.
40